高中数学所有公式(非常有用)上课讲义.doc

高中数学所有公式(非常有用)

精品文档

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系
,.
2.德摩根公式
.
3.包含关系

4． 集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；
非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个.

5.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式;
(2)顶点式;
(3)零点式.

6.闭区间上的二次函数的最值
二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若，则； 若，，.
(2)当a<0时，若，则，
若，则，.

7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是
(2)在给定区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.
(3)恒成立的充要条件是或.

8.四种命题的相互关系

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题
若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　
若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ

9.充要条件
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

10.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.

11．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

12.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与 的图象关于直线对称.

13.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数与函数的图象关于直线对称.
(3)函数和的图象关于直线y=x对称.
14.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.

15.几个常见的函数方程
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.

16．有理指数幂的运算性质
(1) .
(2) .
(3).
注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

17.指数式与对数式的互化式
.
18.对数的换底公式
(,且,,且, ).
推论 (,且,,且,, ).

19．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);
(2) ;
(3).

20.等差数列的通项公式
；
其前n项和公式为

.
21.等比数列的通项公式
；
其前n项的和公式为

22．常见三角不等式
（1）若，则.
(2) 若，则.
(3) .

23.同角三角函数的基本关系式
，=，.
24.正弦、余弦的诱导公式
奇变偶不变 符号看象限

25.和角与差角公式
;
;

=(辅助角所在象限由点的象限决定, ).
26.二倍角公式
.
.
.
.
27.三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；
函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
28.正弦定理 
.（R是外接圆的半径）

29.余弦定理
;
;
.

30.面积定理
（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.

31.三角形内角和定理
在△ABC中，有
.

32.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

33.平面向量基本定理 
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

34. a与b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ．数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cosθ的乘积．

35.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=，则a+b=.
(2)设a=,b=，则a-b=.
(3)设A，B,则.
(4)设a=，则a=.
(5)设a=,b=，则a·b=.

36.两向量的夹角公式
(a=,b=).

37.平面两点间的距离公式
=
(A，B).

38.向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
a||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.

39.线段的定比分点公式  
设，，是线段的分点,是实数，且，则

（）.

40.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
为的重心.

41.点的平移公式
.
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.

42.“按向量平移”的几个结论
（1）点按向量a=平移后得到点.
(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.
(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.
(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.
(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.

43.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4）柯西不等式：
（5）.

44.最值定理（积定和最小）
已知都是正数，则有
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
推广 已知，则有
（1）若积是定值,则当最大时,最大；
当最小时,最小.
（2）若和是定值,则当最大时, 最小；
当最小时, 最大.

45.指数不等式与对数不等式
(1)当时,
;
.
(2)当时,
;

46.斜率公式
（、）.

47.直线的五种方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).

48.两条直线的平行和垂直
若，
①;
②.

49. 到的倒角公式
(1).
(，,)

50．两种常用直线系方程
(1)平行直线系方程：与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(2)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．

51.点到直线的距离
(点,直线：).

52. 或所表示的平面区域
设直线，则或所表示的平面区域是：
（1）若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

（2）若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

53. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).

54.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:
;
;
.
其中.

55.椭圆的参数方程是.

椭圆焦半径公式
，.

椭圆的的内外部
（1）点在椭圆的内部.
（2）点在椭圆的外部.

56.双曲线的焦半径公式
，.

双曲线的内外部
(1)点在双曲线的内部.
(2)点在双曲线的外部.

双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.

57. 抛物线的焦半径公式
抛物线焦半径.
过焦点弦长.

58.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.

59．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
（5）转化为面面平行.

证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.

证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.

证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.

60.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

61.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．
三点共线.
、共线且不共线且不共线.

62.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使．
推论:空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使.

63.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．
四点共面与、共面
（平面ABC）.

64.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．
推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.

65.向量的直角坐标运算
设a＝，b＝则
(1)a＋b＝；
(2)a－b＝；
(3)λa＝ (λ∈R)；
(4)a·b＝；

设A，B，则
= .

66．空间的线线平行或垂直
设，，则
a||b；
.

67.夹角公式
设a＝，b＝，则
cos〈a，b〉=.
推论 ，此即三维柯西不等式.

68．异面直线所成角

=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）

69.直线与平面所成角
(为平面的法向量).

70..二面角的平面角
或（，为平面，的法向量）.

71.空间两点间的距离公式
若A，B，则
=.

72.点到直线距离
(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).

73.异面直线间的距离
(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).

74.点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.

75.异面直线上两点距离公式
.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,).

76.三个向量和的平方公式

77. 面积射影定理
.
(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).

78.欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；
（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.

79.球的半径是R，则
其体积,
其表面积．
（是锥体的底面积、是锥体的高）.
.
80.组合数公式
===(∈N*，，且).

性质：(1)= ;
(2) +=.
注:规定.
(3).

81.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

82.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1）;
（2）.

83.数学期望

数学期望的性质:
（1）.
（2）若～,则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
84.方差
标准差=.
方差的性质:(1)；
(2）若～，则.
(3) 若服从几何分布,且，则.
方差与期望的关系:.

85.在处的导数（或变化率）
.

函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

86.几种常见函数的导数
(1) （C为常数）.
(2) .
(3) .
(4) .
(5) ；.
(6) ; .

87.导数的运算法则
（1）.
（2）.
（3）.
88.复合函数的求导法则
设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.

89.判别是极大（小）值的方法
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
90.复数的相等.（）

复数的模（或绝对值）==.

91.复数的四则运算法则
(1);
(2);
(3);
(4).
92.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程，
①若,则;
②若,则;
③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除