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高中数学必修五第一章《解三角形》知识点

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高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c
3、三角形中的基本关系：

4、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：，，；
②化边为角：，，；
③；
④．
6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）
7、三角形面积公式：．=2R2sinAsinBsinC===
8、余弦定理：在中，有，，
．
9、余弦定理的推论：，，．
10、余弦定理主要解决的问题：
①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角）
11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式。设、、是的角、、的对边，则：
①若，则；
②若，则；
③若，则．
12、三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

第一章 解三角形单元测试
一 选择题：
1.已知△ABC中，，，，则等于 （ ）
A B C D
2. △ABC中，，，，则最短边的边长等于 （ ）
A B C D
3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )
A 90° B 120° C 135° D 150°
4. △ABC中，，则△ABC一定是 （ ）
A 直角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
5. △ABC中，，，则△ABC一定是 （ ）
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形
6.△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 那么满足条件的△ABC ( )
A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定
7. △ABC中，，，，则等于 （ ）
A B C 或 D 或
8.△ABC中，若，，则等于 （ ）
A 2 B C D
9. △ABC中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ ）
A B C D
10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定

11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（    ）
A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米
12 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 (    )
A.10 海里    B.5海里     C. 5 海里      D.5 海里
二、填空题：
13.在△ABC中，如果，那么等于 。
14.在△ABC中，已知，，，则边长 。
15.在钝角△ABC中，已知，，则最大边的取值范围是 。
16.三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的
面积为 。

三、解答题：
17（本题10分）在△ABC中，已知边c=10, 又知，求边a、b 的长。

18（本题12分）在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。

19（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足：
2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。

20（本题12分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）

第一章 解三角形单元测试参考答案
一、选择题
BABDD CCACA C
二、填空题（）
13 14、或 15、 16、
三、解答题

15、（本题8分）
解：由，,可得 ，变形为sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC为直角三角形.
由a2+b2=102和，解得a=6, b=8。
16、（本题8分）
解：由正弦定理得：，，
。
所以由可得：，即：。
又已知，所以，所以，即，
因而。故由得：，。所以，△ABC
为等边三角形。
17、（本题9分）
解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=, ∵△ABC为锐角三角形
∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2,
∴c=, =×2×= 。
a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
∴c=, =×2×= 。

18、（本题9分）
解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，。
在△AOB中，由正弦定理，得， ∴而，即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球.

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