上海市上海中学届高考数学模拟试题(9)(含解析)教学文案.doc

上海市上海中学2017届高考数学模拟试题(9)(含解析)

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2017年上海中学高考数学模拟试卷（9）

一．选择题
1．（3分）已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（　　）

A．
B．
C．
D．当时，当x≥时
2．（3分）已知函数f（x）=2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞） D．
3．（3分）如果数列{an}满足：首项a1=1且那么下列说法中正确的是（　　）
A．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等比数列，偶数项a2，a4，a6，…．成等差数列
B．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等差数列，偶数项项a2，a4，a6，…．成等比数列
C．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列
D．该数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列
4．（3分）点O为△ABC内一点，且存在正数，设△AOB，△AOC的面积分别为S1、S2，则S1：S2=（　　）
A．λ1：λ2 B．λ2：λ3 C．λ3：λ2 D．λ2：λ1

二．填空题
5．（3分）已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是　 　．
6．（3分）已知函数的值为=　 　．
7．（3分）已知有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n=　 　．
8．（3分）一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为　 　．
9．（3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤π）的部分图象如图所示，记则的值为　 　．

10．（3分）在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有　 　颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为　 　颗．（结果用n表示）

11．（3分）已知复数，又，而u的实部和虚部相等，求u．
12．（3分）定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是　 　．
13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣a|x+b，给出下列命题：
①当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；
②当x＞a时，f（x）是递增函数；
③f（x）=0至多有两个实数根；
④当0≤x≤a时，f（x）的最大值为．
其中正确的序号是　 　．
14．（3分）F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，，且△F1PF2的面积为1，则a的值是　 　．
15．（3分）平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是　 　．
16．（3分）已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且对任意m，n∈N*都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2； ②f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（2007，2008）的值=　 　．

三．解答题
17．已知函数．
（1）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点对称，且t∈（0，π），求t的值．
（2）设的充分条件，求实数m的取值范围．
18．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并求出EF到平面PAC的距离；
（2）命题：“不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF”，是否成立，并说明理由．

19．已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足： •=k||2，
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．
20．阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券…
（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）．
（1）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？
（2）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠．
21．已知一次函数f（x）的图象关于直线x﹣y=0对称的图象为C，且f（f（1））=﹣1，若点在曲线C上，并有．
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设，求的值．

2017年上海中学高考数学模拟试卷（9）
参考答案与试题解析

一．选择题
1．已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（　　）

A．
B．
C．
D．当时，当x≥时
【考点】35：函数的图象与图象变化．
【分析】由题设条件及图象知，此函数是图象是先增后减，考查四个选项，研究的是比较的是两个数大小，由它们的形式知几何意义是（x，f（x））与原点（0，0）连线的斜率，由此规律即可选出正确选项．
【解答】解：由函数的图象知，此函数的图象先增后减，其变化率先正后负，逐渐变小
考察四个选项，要比较的是两个数大小，由其形式，其几何意义是（x，f（x））与原点（0，0）连线的斜率
由此函数图象的变化特征知，随着自变量的增大，图象上的点与原点连线的斜率逐渐变小，当0＜x1＜x2＜1，一定有
考察四个选项，应选C
故选C
【点评】本题考查函数的图象及图象变化，解题的关键是考查四个选项，找出问题探究的方向，再结合图象的变化得出答案，本题形式新颖，由图象给出题设，由形入数，考查了数形结合的思想及理解能力．

2．已知函数f（x）=2sinωx在区间[]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞） D．
【考点】HW：三角函数的最值；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
【分析】先根据x的范围求出ωx的范围，根据函数f（x）在区间[]上的最小值为﹣2，可得到﹣ω≤﹣，即ω≥，然后对ω分大于0和小于0两种情况讨论最值可确定答案．
【解答】解：当ω＞0时，﹣ω≤ωx≤ω，
由题意知﹣ω≤﹣，即ω≥，
当ω＜0时，ω≤ωx≤﹣ω，
由题意知ω≤﹣，即ω≤﹣2，
综上知，ω的取值范围是（﹣∪[）．
故选：D．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值问题．考查三角函数基础知识的掌握程度，三角函数是高考的一个重要考点一定要强化复习．

3．如果数列{an}满足：首项a1=1且那么下列说法中正确的是（　　）
A．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等比数列，偶数项a2，a4，a6，…．成等差数列
B．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．成等差数列，偶数项项a2，a4，a6，…．成等比数列
C．该数列的奇数项a1，a3，a5，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列
D．该数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后构成一个公比为2的等比数列
【考点】8H：数列递推式．
【分析】先根据首项和递推式求出前8项，然后取出奇数项根据等差数列和等比数列的定义可判定选项A、B的真假，将数列的奇数项a1，a3，a5，…，分别加4后可判定C的真假，数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后可判定D的真假．
【解答】解：∵首项a1=1且
∴a2=2，a3=4，a4=8，a5=10，a6=20，a7=22，a8=44
该数列的奇数项1，4，10，22…既不成等差数列，也不成等比数列，故选项A、B不正确；
该数列的奇数项a1，a3，a5，…，分别加4后为5，9，14，26，…，不成等比数列，故C不正确；
该数列的偶数项项a2，a4，a6，…．分别加4后为6，12，24，48，…，构成一个公比为2的等比数列，故正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了数列递推式，以及等差数列与等比数列的判定，属于中档题．

4．点O为△ABC内一点，且存在正数，设△AOB，△AOC的面积分别为S1、S2，则S1：S2=（　　）
A．λ1：λ2 B．λ2：λ3 C．λ3：λ2 D．λ2：λ1
【考点】9V：向量在几何中的应用．
【分析】本选择题利用特殊化方法解决．取正数，结合向量的运算法则：平行四边形法则得到O是三角形AB1C1的重心，得到三角形面积的关系．
【解答】解：取正数，
∵满足即：
，
∴，
设，如图，
则O是三角形AB1C1的重心，
故三角形AOB1和AOC1的面积相等，
又由图可知：
△AOB与△AOC的面积分别是三角形AOB1和AOC1的面积的一半和三分之一，
则△AOB与△AOC的面积之比是．即λ3：λ2
故选C．

【点评】本小题主要考查向量在几何中的应用、向量的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、特殊化思想．属于基础题．

二．填空题
5．已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是　（﹣4，﹣3）　．
【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系；3W：二次函数的性质．
【分析】根据方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合对应二次函数性质得到，得到关于a的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：由程x2+（1+a）x+4+a=0，
知对应的函数f（x）=x2+（1+a）x+4+a图象开口方向朝上
又∵方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，
则
即
即，
∴﹣4＜a＜﹣3
故答案为（﹣4，﹣3）
【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，本题解题的关键是由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合二次函数图象得到．

6．已知函数的值为=　0　．
【考点】3T：函数的值．
【分析】推导出f（）=alog2+blog3+2=4，从而得到alog22008+blog32008=﹣2，由此能求出f（2008）．
【解答】解：∵函数，
∴f（）=alog2+blog3+2=4，
∴﹣alog22008﹣blog32008+2=4，
即alog22008+blog32008=﹣2，
∴f（2008）=alog22008+blog32008+2=﹣2+2=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

7．已知有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n=　19　．
【考点】8I：数列与函数的综合．
【分析】要求Sn取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候an小于或等于0，而an+1大于0，由，我们不难得到a11＜0＜a10，根据等差数列的性质，我们易求出当Sn取得最小正值时，n的值．
【解答】解：∵Sn有最大值，
∴d＜0
则a10＞a11，
又，
∴a11＜0＜a10
∴a10+a11＜0，
S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，
S19=19a10＞0
又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12
∴S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21
又∵S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0
∴S19为最小正值
故答案为：19
【点评】本题考查数列的函数性质，一般的{an}为等差数列，若它的前n项和Sn有最小值，则数列的公差d小于0；{an}为等差数列，若它的前n项和Sn有最大值，则数列的公差d大于0．

8．一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，则6个正方体暴露在外面部分的面积和为　　．
【考点】L2：棱柱的结构特征．
【分析】由已知中一单位正方体形积木，平放在桌面上，在其上放置5个小正方体形积木摆成塔形，其中上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，我们易得相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半，进而得到各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列，由此求出各侧面的和，加上顶面暴露在外面部分的面积和为1，累加后即可得到答案．
【解答】解：最下边正方体的侧面积为4×1=4
从下边数第二个正方体的侧面积为4×=2
从下边数第三个正方体的侧面积为4×=1
…
即相邻两个正方体中，上边一个正方体的侧面积为下边一个正方体的侧面积的一半．
各个正方体的侧面积组成一个以4首项，以为公比的等比数列
故Sn=
当n=6时
S6==
而除侧面外其它面的和为1，
故6个正方体暴露在外面部分的面积和为+1=
故答案为：
【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，等比数列的前n项和，其中根据已知条件将问题转化为等比数列的前n项和问题，是解答本题的关键．解答时易忽略6个正方体暴露在外面部分不包括下底面，但包括上底面，而错解为或．

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A＞0，ω＞0，0≤ϕ≤π）的部分图象如图所示，记则的值为　2+2　．

【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】先求出函数f（x）=2sin（），求出f（1）、f（2）、f（3）、…f（8 ）的值，根据函数的周期性求出的值．
【解答】解：由函数f（x）的图象可得，此函数的周期等于8，A=2，∴ =8，ω=．
把点（0，0）代入函数f（x）的解析式可得∅=0．
故函数f（x）=2sin（）．f（1）=，f（2）=2，f（3）=，f（4）=0，
f（5）=﹣，f（6）=﹣2，f（7）=﹣，f（8）=0．
故 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0．
∴=+f（25）+f（26）+f（27）=0+f（1）+f（2）+f（3）=2+2．
故答案为：2+2．
【点评】本题主要考查函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的周期性以及根据图象求解析式，求出函数f（x）=2sin（），是解题的关键．

10．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有　66　颗珠宝；则前n件首饰所用珠宝总数为　　颗．（结果用n表示）

【考点】8B：数列的应用．
【分析】由题意可知a1，a2，a3，a4，a5的值，则a2﹣a1=5，a3﹣a2=9，a4﹣a3=13，a5﹣a4=17，猜想a6﹣a5=21，从而得a6的值和an﹣an﹣1=4n﹣3；所以（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）+…+（an﹣an﹣1）=an﹣a1求得通项公式an，从而求得前n项和sn．
【解答】解：由题意，知a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，…；
∴a2﹣a1=5，a3﹣a2=9，a4﹣a3=13，a5﹣a4=17，a6﹣a5=21，…，an﹣an﹣1=4n﹣3；
∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+（a5﹣a4）+（a6﹣a5）+…+（an﹣an﹣1）
=an﹣a1=5+9+13+17+21+…+（4n﹣3）==2n2﹣n﹣1；
∴an=2n2﹣n，其前n项和为sn=2（12+22+32+…+n2）﹣（1+2+3+…+n）
=2×﹣=．
故答案为：66，．
【点评】本题考查了数列的递推关系以及求和公式的综合应用，解题时要探究数列的递推关系，得出通项公式，并能正确求和．

11．已知复数，又，而u的实部和虚部相等，求u．
【考点】A7：复数代数形式的混合运算；A2：复数的基本概念．
【分析】由条件求出u=i（a﹣bi）=b+ai，可得，解出a、b的值，即可得到u．
【解答】解：∵，∴u=i（a﹣bi）=b+ai．
∴，…（6分）
∴a=b=1或a=b=﹣1，
∴u=1+i或u=﹣1﹣i …（12分）
【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，属于基础题．

12．定义，设实数x，y满足约束条件，z=max{4x+y，3x﹣y}，则z的取值范围是　﹣7≤Z≤10　．
【考点】7D：简单线性规划的应用．
【分析】先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（4x+y）与（3x﹣y）相等的分界线x+2y=0，令z=4x+y时，点（x，y）在四边形MNCD上及其内部，求得z范围；令z=3x﹣y，点（x，y）在四边形ABNM上及其内部（除AB边）求得z范围，将这2个范围取并集可得答案．
【解答】解：当4x+y≥3x﹣y时可得x+2y≥0
则原题可转化为：当，Z=4x+y
作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的MDCN，作直线l0：4x+y=0然后把直线l0向可行域平移
则可知直线平移到C（2，2）时Zmax=10，平移到点N（﹣2，1）时Zmin=﹣6
此时有﹣6≤z≤10

当，Z=3x﹣y
作出不等式组所表示的平面区域如图所示的ABNM作直线l0：3x﹣y=0，然后把直线3x﹣y=0向可行域平移
则可知直线平移到M（﹣2，1）时Zmin=﹣7，平移到点B（2，﹣2）时，Zmax=8
此时有﹣7≤z≤8
综上可得，﹣7≤Z≤10

【点评】本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x﹣y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．解题的关键是通过比较4x+y与3x﹣y的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．此题构思比较巧妙．

13．已知函数f（x）=|x﹣a|x+b，给出下列命题：
①当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；
②当x＞a时，f（x）是递增函数；
③f（x）=0至多有两个实数根；
④当0≤x≤a时，f（x）的最大值为．
其中正确的序号是　①②④　．
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【分析】根据函数的单调性和奇偶性，对各个选项加以判断．利用奇函数图象关于原点对称，可得①正确；利用二次函数图象及其单调性，得出②正确；举出一个反例，可得③不正确；利用二次函数图象与性质，求函数的最值可得出④正确．
【解答】解：对各个选项分别加以判别：
对于①，当a=0时，f（x）=|x|x+b，可得f（﹣x）=﹣|x|x+b
∴f（x）+f（﹣x）=2b，可得f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；
对于②，当x＞a时，f（x）=x（x﹣a）+b，图象的对称轴为，开口向上
因此在对称轴的右侧为增函数，所以当x＞a时，f（x）是递增函数；
对于③，可以取a=3，b=﹣2时，f（x）=0有三个实数根：
，故③不正确；
对于④，当0≤x≤a时，f（x）=﹣x2+ax+b
当x=时，函数的最大值为f（）=．
故答案为：①②④
【点评】本题以函数的奇偶性和单调性为载体，考查了命题真假的判断，属于中档题，熟练掌握函数的基本性质是解决本题的关键所在．

14．F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上一点，，且△F1PF2的面积为1，则a的值是　a=1或﹣　．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】讨论a＞0，a＜0，运用双曲线的定义和向量垂直的条件，以及三角形的面积公式，结合勾股定理，解方程即可得到所求值．
【解答】解：设P为双曲线右支上一点，
当a＞0时，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=4，
，可得PF1⊥PF2，
△F1PF2的面积为1，可得|PF1|•|PF2|=1，
即有|PF1|•|PF2|=2，
由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20a，
即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|•|PF2|=16a+4=20a，
解得a=1；
当a＜0时，双曲线即为﹣=1，
由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2，
，可得PF1⊥PF2，
△F1PF2的面积为1，可得|PF1|•|PF2|=1，
即有|PF1|•|PF2|=2，
由勾股定理可得，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=﹣20a，
即有（|PF1|﹣|PF2|）2+2|PF1|•|PF2|=﹣4a+4=﹣20a，
解得a=﹣．
综上可得a=1或﹣．
故答案为：a=1或﹣．
【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的勾股定理和面积公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．

15．平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条直线，则任取其中的三个点，构成三角形的概率是　　．
【考点】C7：等可能事件的概率．
【分析】通过讨论先判断出11个点中有一个4点共线，一个3点共线，然后利用组合的方法求出从11个点中任取三个点的方法及
任取三个点能构成三角形的方法，利用古典概型的概率公式求出答案．
【解答】解：若任意三点不共线，则任两点一条直线，
共有直线C112=55，
因为共得48条直线，少了7条，
所以存在多点共线的情况，
若3点共线的话则减少C32﹣1=2条，
若4点共线减少C42﹣1=5条，
若5点以上共线减少超过7条，所以11个点中有一个4点共线，一个3点共线，从11个点中任取三个点共有C113=165种，共线有C43+C33=5种 由古典概型的概率公式得构成三角形概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的概率的求法，关键是求出事件包含的基本事件的个数，常用的方法有：排列组合的方法、列举法、列表法、树状图的方法等．

16．已知，f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*）且对任意m，n∈N*都有①f（m，n+1）=f（m，n）+2； ②f（m+1，1）=2f（m，1）．则f（2007，2008）的值=　22006+4014　．
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】根据条件可知{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出f（1，n），以及{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，求出f（n，1）和f（m，n+1），从而求出所求．
【解答】解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2
∴{f（m，n）}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴f（1，n）=2n﹣1
又∵f（m+1，1）=2f（m，1）
∴{f（m，1）}是以1为首项2为公比的等比数列，
∴f（n，1）=2n﹣1
∴f（m，n+1）=2m﹣1+2n
∴f（2007，2008）=22006+4014
故答案为：22006+4014．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，推出f（n，1）=2n﹣1，f（n，1）=2n﹣1，f（m，n+1）=2m﹣1+2n，是解答本题的关键，属中档题．

三．解答题
17．（2017•徐汇区校级模拟）已知函数．
（1）若函数h（x）=f（x+t）的图象关于点对称，且t∈（0，π），求t的值．
（2）设的充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【分析】（1）求出h（x）的表达式，利用图象关于点（﹣，0）对称，建立条件关系即可求t的值；
（2）求出当x∈[，]，函数f（x）的值域，利用p是q的充分条件，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x﹣1=﹣cos2（x+）﹣cos2x
=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），
∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t﹣），
∵h（x）=f（x+t）的图象关于点（﹣，0）对称
∴h（﹣）=2sin（﹣×2+2t﹣）=2sin（2t﹣）=0，
即2t﹣=0+kπ，
∴t=+，
∵t∈（0，π），
∴当k=0时，t=，
当k=1时，t=．
（2）∵|f（x）﹣m|＜3，
∴：﹣3＜f（x）﹣m＜3，
即m﹣3＜f（x）＜m+3，
当x∈[，]，2x﹣∈[，]，
此时2sin（2x﹣）∈[1，2]，
即f（x）∈[1，2]，
要使p是q的充分条件，
则，即，
∴﹣1≤m≤4，
即实数m的取值范围是[﹣1，4]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期，对称性和最值的性质，涉及的知识点较多，综合性较强，运算量较大．

18．（2017•徐汇区校级模拟）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并求出EF到平面PAC的距离；
（2）命题：“不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF”，是否成立，并说明理由．

【考点】MK：点、线、面间的距离计算．
【分析】（1）由题设中的条件E，F为中点可得EF∥PC，由此可判断出EF与平面PAC的位置关系是平行，再根据体积相等即可求出EF到平面PAC的距离；
（2）由题设条件及图形可得出AF⊥平面PBE，由线面垂直的定义可得出无论点E在边BC的何处两线都垂直．
【解答】解：（1）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行．
∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC又EF⊄平面PAC
而PC⊂平面PAC
∴EF∥平面PAC．
所以：点E到平面PAC的距离和EF到平面PAC的距离相等．
∵PD与平面ABCD所成的角是30°，
∴PD=，AC=2．
设E到平面PAC的距离为h．
∵VE﹣PAC=vP﹣AEC⇒•h•S△PAC=•PA•S△AEC⇒h===．
所以：EF到平面PAC的距离为：．
（2）∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，∴EB⊥平面PAB，
又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE．
又PA=AB=1，点F是PB的中点，∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE．
∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE．
即不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF成立．
即命题成立．
【点评】本题中涉及到点、线、面间的距离计算．一般在求点到面的距离当垂线直接不好求时，常用体积相等来求．

19．（2017•徐汇区校级模拟）已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足： •=k||2，
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．
【考点】J3：轨迹方程；93：向量的模；9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（1）设出P点坐标，求出向量的坐标，然后分k=1和k≠1由•=k||2得到P点轨迹；
（2）把k=2代入（1）求出的轨迹方程，得到x2+y2=4x﹣3，利用向量的坐标运算求出|2+|，把x2+y2=4x﹣3整体代入后转化为求6x﹣y的最值，令t=6x﹣y，由圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆的半径求t的范围，从而得到结论．
【解答】解：（1）设P（x，y），，．
当k=1时，由•=k||2，得x2+y2﹣1=（1﹣x）2+y2，
整理得：x=1，表示过（1，0）且平行于y轴的直线；
当k≠1时，由•=k||2，得x2+y2﹣1=k（1﹣x）2+ky2，
整理得： =，表示以点为圆心，以为半径的圆．
（2）当k=2时，方程化为（x﹣2）2+y2=1，即x2+y2=4x﹣3，
∵2，
∴，又x2+y2=4x﹣3，
∴=．
问题归结为求6x﹣y的最值，令t=6x﹣y，
∵点P在圆（x﹣2）2+y2=1，圆心到直线t=6x﹣y的距离不大于圆的半径，
∴，解得12﹣．
∴．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了轨迹方程的求法，考查了向量模的求法，体现了数学转化思想方法及整体运算思想方法，属有一定难度题目．

20．（2017•徐汇区校级模拟）阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券…
（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）．
（1）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？
（2）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠．
【考点】5D：函数模型的选择与应用．
【分析】（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，故可得解；
（2）根据（1）的求解得知：阳光商场用a元钱最多能购回小于元钱的货物，而新世纪百货用a元钱能购回元钱的货物，故可解．
【解答】解：（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，所以这位顾客按下述方法可获得最多货物，
第一次使用7000元，可得奖励券
第二次使用2100元，可得奖励券
第三次使用600元，可得奖励券（此时剩下奖励券30元）
第四次使用200元，可得奖励券60元（此时剩下奖励券10元）
最后一次使用70元，没有奖励券
故共可购回7000+2100+600+200+70=9970（元）货物 …6分
（2）设阳光商场用a元钱最多能购回m元钱的货物，
则由（1）小题知：
新世纪百货用a元钱能购回元钱的货物，故新世纪的优惠更多．
…12分
【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查实际问题向数学问题的转化，关键是理解题意，合理分析．

21．（2017•徐汇区校级模拟）已知一次函数f（x）的图象关于直线x﹣y=0对称的图象为C，且f（f（1））=﹣1，若点在曲线C上，并有．
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设，求的值．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；8E：数列的求和．
【分析】（1）设f（x）=kx+b（k≠0），所以f[f（1）]=k2+kb+b=﹣1．因为f（x）的图象关于直线x﹣y=0的对称为C，所以曲线C为：f﹣1（x）=﹣，故f﹣1（n）﹣f﹣1（n﹣1）=．由此能够推导出f（x）的解析式及曲线C的方程．
（2）由f﹣1（n）=，知=n+1，由此能够求出数列{an}的通项公式．
（3）由===﹣，知=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣，由此能够求出求的值．
【解答】解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），
∴f[f（1）]=k2+kb+b=﹣1．①
因为f（x）的图象关于直线x﹣y=0的对称为C，
∴曲线C为：f﹣1（x）=﹣，
∴f﹣1（n）=﹣，
f﹣1（n﹣1）=﹣，
f﹣1（n）﹣f﹣1（n﹣1）=．
又点（n，）（n∈N*）在曲线C上，
∴f﹣1（n）=②
f﹣1（n﹣1）=，
∴f﹣1（n）﹣f﹣1（n﹣1）=﹣=1，
∴k=1，b=﹣1．
∴f（x）=x﹣1，
曲线C：y=x+1；
（2）由②f﹣1（n）=
∴=n+1，
∴an=••…••=n（n﹣1）…3•2=n!，
∵a1=1，
∴an=n!；
（3）∵===﹣，
∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
=﹣．
则=（﹣）=．
【点评】本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

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