高考导数题的解题技巧-----绝版知识讲解.doc

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导数题的解题技巧

导数命题趋势：
（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.
（2）求极值,证明不等式， 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
【考点透视】
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
例1．（2007年北京卷）是的导函数，则的值是 ．
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷）设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答过程]由

综上可得MP时,
考点2 曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.（2007年湖南文）已知函数在区间，内各有一个极值点．
（I）求的最大值；
（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率.
解答过程：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为（），则，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．
（II）解法一：由知在点处的切线的方程是
，即，
因为切线在点处空过的图象，
所以在两边附近的函数值异号，则
不是的极值点．
而，且
．
若，则和都是的极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，则
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是的一个极值点，则，
所以，又由，得，故．
例4.（2006年安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为.
故选A.
例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( )
A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1：设切线的方程为
又

故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为由

故选A.
例6.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
思路启迪：先对求导数.
解答过程：函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，即 　 ①
曲线在点Q的切线方程是即
　 ②
若直线是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是的方程，故得
，消去得方程，
若△=，即时，解得，此时点P、Q重合.
∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7．（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）
A．1个

B．2个
C．3个
D． 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8 . （福建省2008年普通高中毕业班质量检查）已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x = 0处取得极值．
(I)求实数a的值；
(Ⅱ)若关于x的方程，f(x)= 在区间[O，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
(Ⅲ)证明：对任意的正整数n，不等式ln 都成立．
[考查目的]本小题主要考查函数的导数、单调性、极值和不等式等基础知识；考查化归及数形结合的思想方法；考查分析问题、解决问题的能力。
解答过程：解：(Ⅰ) =
∵x=0时，f(x)取得极值，∴=0，
故 =0，解得a=1.经检验a=1符合题意.
(Ⅱ)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x2 - x，由f(x)= +b,
得ln(x+1)-x2+ x-b=0，
令φ(x)= ln(x+1)-x2+ x-b，
则f(x)= +b在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]
恰有两个不同实数根．
，
当x∈(O，1)时， >O，于是φ(x)在(O，1)上单调递增；
当x∈(1，2)时， <0，于是φ(x)在(1，2)上单调递减．
依题意有
∴ln3 -1≤b<ln2 +.
(Ⅲ) f(x)=ln(x+1)-x2 –x的定义域为{x|x> -1}，
由(Ⅰ)知，
令=0得，x=0或x= -(舍去)，
∴当-1<x<0时，>0，f(x)单调递增；
当x>0时，<0，f(x)单调递减.
∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最大值.
∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(当且仅当x=0时，等号成立).
对任意正整数n，取x=>0得，ln(+1)< +，故ln()<.
例9.函数的值域是_____________.
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由得，，即函数的定义域为.
，
又，
当时，，
函数在上是增函数，而，的值域是.
例10．（2006年天津卷）已知函数，其中为参数，且．
（1）当时，判断函数是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当时，，则在内是增函数，故无极值.
（Ⅱ），令，得.
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表：
x

0

+
0
-
0
+

↗
极大值

↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
②当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表：

+
0
-
0
+

极大值

极小值

因此，函数处取得极小值，且
若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.
综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为.
（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组
或
由（II），参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以的取值范围是.
例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数的定义域为，且
（1）当时，函数在上单调递减，
（2）当时，由解得
、随的变化情况如下表

—
0
+

极小值

从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．（2006年北京卷）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：
（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
（Ⅱ）
由
得
解得
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设
又
所以

由即得
所以
例13．（2006年湖北卷）设是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（Ⅱ）设，.若存在使得成立，求的取值范围.
[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x2<3＝x1，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]，
由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须
（a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.
故a的取值范围是（0，）.
例14 （2007年全国二）
已知函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
（1）证明；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
[解答过程]求函数的导数．
（Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．
所以
当时，为增函数，，由，得．
（Ⅱ）在题设下，等价于　即．
化简得．
此不等式组表示的区域为平面上三条直线：．
所围成的的内部，其三个顶点分别为：．

b
a
2
1
2
4
O

在这三点的值依次为．
所以的取值范围为．

考点4导数在不等式的证明及解决不等式中求参数的问题中的应用.
一、构造函数，利用函数的导数证明不等式
1.直接由所证不等式构造函数， 讨论构造函数单调性,达到证明不等式的目的
把要证明的不等式通过构造函数转化为 再通过求的最值,从而实现对不等式的证明.
例1（2010年全国理科卷2）设函数．
证明：当时，,
设当时，，求的取值范围．
证明： 当时，，当且仅当
构造函数：
，
则对求导得：
.
当时，，在上是增函数, 当时，，在上是减函数.
于是在处达到最小值，因而当时，，即
，
所以当时， .
② 略.
2.常系数变易法
对形如(或可化为）的不等式，根据题意可适当选择（或）为主元，构造函数（或）.
例2（2004年全国理科卷2）已知函数，
求函数的最大值；
设，证明：.
解: 略
由 ，则.
首先选择为主元，构造函数：
，
则对求导得：
.
当时，，因此在内为减函数，当时，，因此在上为增函数.
从而，当时，有极小值，因为，由, 所以，即
,
其次构造函数：
，
则对求导得：
.
当时,,因此在上为减函数，因为,，所以 ， 即 ：
,
综上所述，原不等式成立.
二、利用导数求出函数的极值、最值(或值域) 后,再证明不等式
最值证明在不等式中的应用,一般将不等式通过移项，构造一个函数，然后求这个函数的极(最)值,应用恒成立关系就可以证明.
例3（2009年全国理科卷2）设函数有两个极值点，且，
求的取值范围，并讨论的单调性,
证明： .
解: 对求导得：

令，其对称轴为.由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为
，
得.
当时，，所以在内为增函数；当时，，所以在内为减函数；当时，，所以在内为增函数.
由可知，有
，
所以
.
设
，
则
.
当时，，所以在单调递增；当时，，在单调递减.
所以，当时，
，
故．W.
三、利用导数解决不等式中求参数的问题
不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，有些往往把变量分离后可以转化为(或)恒成立,于是大于 的最大值(或小于 的最小值),从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.但是有些不能把变量分离或者分离之后求解非常麻烦的，要通过适当的变换来求解，在求解的过程中往往都要结合函数的性质通过分类讨论的思想进行求解.总之，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法.
1.变量分离后，不等式可以转化为(或）的恒成立问题
例4（2008年安徽理科卷20题）设函数
求函数的单调区间,
已知对任意成立，求实数的取值范围.
解: 对求导得：

若 则 列表如下

+
0
-
-

单调增
极大值
单调减
单调减
在 两边取对数, 得 ,由于所以
，
由 的结果可知,当时,
,
为使对所有成立,当且仅当,即
.
2.通过适当的变换，构造函数解决不等式恒成立问题
例5（2008年全国理科卷2）设函数．
求的单调区间,
如果对任何，都有，求的取值范围.
解：对求导得：
．
当（）时，，即,
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数．
构造函数，设，则

．
从而，当时，．又，所以当时，，即
．
当时，令
，
则
.
由，有，因此在上单调增加，又，即
．
于是，
．
当时，有
．
因此，的取值范围是．
总之，导数是解决不等式问题的一个很有用的工具，利用导数解决不等式的问题其实就是要适当的构造函数，运用导数来研究所构造函数的单调性，进而解决不等式中的问题.

考点5 导数的实际应用
建立函数模型,利用导数研究最值
典型例题
例15. （2007年重庆文）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
.
故长方体的体积为

从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。

例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米.
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没（升）.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得

令得
当时，是减函数；当时，是增函数.
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.

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