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高中数学必修5课后习题答案精品文档人教版高中数学必修5课后习题解答第一章 解三角形11两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P4）1、（1），； （2）cm，cm，.2、（1），；或，； （2），.练习（P8）1、（1）； （2）.2、（1）； （2）.习题1.1 A组（P10）1、（1）； （2）2、（1） （2）； （3）；3、（1）； （2）； （3）；（第1题图1）4、（1）； （2）；习题1.1 A组（P10）1、证明：如图1，设的外接圆的半径是，当时直角三角形时，时，的外接圆的圆心在的斜边上.在中，即，所以，又所以当时锐角三角形时，它的外接圆的圆心在三角形内（图2），（第1题图2）作过的直径，连接，则直角三角形，.在中， 即， 所以，同理：，当时钝角三角形时，不妨假设为钝角，它的外接圆的圆心在外（图3）作过的直径，连接.（第1题图3）则直角三角形，且，在中，即即同理：，综上，对任意三角形，如果它的外接圆半径等于，则2、因为，所以，即 因为，所以，或，或. 即或.所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.在得到后，也可以化为 所以 ，或 即，或，得到问题的结论.12应用举例练习（P13）1、在中， n mile，根据正弦定理，得到直线的距离是（cm）.这艘船可以继续沿正北方向航行.2、顶杆约长1.89 m.练习（P15）1、在中， 在中，根据正弦定理，所以，山高为2、在中，m， 根据正弦定理， m 井架的高约9.8m.3、山的高度为m练习（P16）1、约.练习（P18）1、（1）约； （2）约； （3）约.2、约3、右边 左边 【类似可以证明另外两个等式】习题1.2 A组（P19）1、在中， n mile， ， 根据正弦定理， n mile 货轮到达点时与灯塔的距离是约8.82 n mile.2、70 n mile.3、在中， n mile 根据正弦定理， 在中， 根据正弦定理，即 n mile n mile 如果一切正常，此船从开始到所需要的时间为： min即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达岛.4、约5821.71 m5、在中， 根据正弦定理， ， 所以路程比原来远了约86.89 km.6、飞机离处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的高度是约4574.23 m.7、飞机在150秒内飞行的距离是 根据正弦定理， 这里是飞机看到山顶的俯角为时飞机与山顶的距离. 飞机与山顶的海拔的差是： 山顶的海拔是8、在中， 根据正弦定理，即（第9题） 塔的高度为9、 在中，根据余弦定理： 根据正弦定理， 在中，根据余弦定理： 在中，根据余弦定理： （第10题） 所以，飞机应该以南偏西的方向飞行，飞行距离约.10、如图，在中，根据余弦定理： ， 所以，仰角为11、（1） （2）根据正弦定理：， （第13题） （3）约为1597.94 12、.13、根据余弦定理： 所以 所以，同理，14、根据余弦定理的推论， 所以，左边 右边习题1.2 B组（P20）1、根据正弦定理：，所以 代入三角形面积公式得2、（1）根据余弦定理的推论： 由同角三角函数之间的关系， 代入，得 记，则可得到，代入可证得公式 （2）三角形的面积与三角形内切圆半径之间有关系式 其中，所以 （3）根据三角形面积公式 所以，即 同理，第一章 复习参考题A组（P24）1、（1）； （2）；或 （3）； （4）； （5）； （6）；（第2题）2、解法1：设海轮在处望见小岛在北偏东，在处望见小岛在北偏东，从小岛向海轮的航线作垂线，垂线段的长度为 n mile，为 n mile.则 所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.3、根据余弦定理： 所以 从的余弦值可以确定它的大小.（第4题） 类似地，可以得到下面的值，从而确定的大小. 4、如图，是两个观测点，到的距离是，航船在时刻在处，以从到的航向航行，在此时测出和.在时刻，航船航行到处，此时，测出和. 根据正弦定理，在中，可以计算出的长，在中，可以计算出的长. 在中，、已经算出，解，求出的长，即航船航行的距离，算出，这样就可以算出航船的航向和速度.（第7题）5、河流宽度是. 6、47.7 m.7、如图，是已知的两个小岛，航船在时刻在处，以从到的航向航行，测出和. 在时刻，航船航行到处，根据时间和航船的速度，可以计算出到的距离是，在处测出和. 根据正弦定理，在中，可以计算出的长，在中，可以计算出的长. 在中，、已经算出，根据余弦定理，就可以求出的长，即两个海岛的距离.（第1题）第一章 复习参考题B组（P25）1、如图，是两个底部不可到达的建筑物的尖顶，在地面某点处，测出图中，的大小，以及的距离. 利用正弦定理，解，算出. 在中，测出和，利用正弦定理，算出. 在中，测出，利用余弦定理，算出的长. 本题有其他的测量方法.2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式： （1）已知一边和这边上的高：； （2）已知两边及其夹角：； （3）已知三边：，这里； （4）已知两角及两角的共同边：； （5）已知三边和外接圆半径：.3、设三角形三边长分别是，三个角分别是.由正弦定理，所以.由余弦定理，.即，化简，得所以，或. 不合题意，舍去. 故所以，三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍.另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数. （1）三边的长不可能是1,2,3. 这是因为，而三角形任何两边之和大于第三边. （2）如果三边分别是. 因为 在此三角形中，是最小角，是最大角，但是， 所以，边长为2,3,4的三角形不满足条件. （3）如果三边分别是，此三角形是直角三角形，最大角是，最小角不等于. 此三角形不满足条件. （4）如果三边分别是. 此时， 此时，而，所以 所以，边长为4,5,6的三角形满足条件. （5）当，三角形的三边是时，三角形的最小角是，最大角是. 随的增大而减小，随之增大，随的增大而增大，随之变小. 由于时有，所以，不可能. 综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.第二章 数列21数列的概念与简单表示法练习（P31）125122133691531、2、前5项分别是：.3、例1（1）； （2） 说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）； （2）； （3）习题2.1 A组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19； （2）； （3）1,1.7,1.73,1.732,1.732050； 2,1.8,1.74,1.733,1.732051.2、（1）； （2）.3、（1）（1），9，（），25，（），49； ； （2）1，（），2，（），； .4、（1）； （2）.5、对应的答案分别是：（1）16,21；（2）10,13；（3）24,35；.6、15,21,28； .习题2.1 B组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681. 该数列的递推公式是：.通项公式是：.2、； ； ； .3、（1）1,2,3,5,8； （2）.22等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，.2、，. 3、4、（1）是，首项是，公差不变，仍为； （2）是，首项是，公差；（3）仍然是等差数列；首项是；公差为.5、（1）因为，所以. 同理有也成立； （2）成立；也成立.习题2.2 A组（P40）1、（1）； （2）； （3）； （4）. 2、略.3、. 4、；. 5、（1）； （2）588 cm，5 s.习题2.2 B组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，再加上原有的沙化面积，答案为； （2）2021年底，沙化面积开始小于. 2、略.23等差数列的前项和练习（P45）1、（1）； （2）604.5.2、 3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3 A组（P46）1、（1）； （2）； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.2、（1）将代入，并解得； 将代入，并解得.（2）将代入，得；解这个方程组，得.（3）将代入，并解得；将代入，得.（4）将代入，并解得；将代入，得.3、m. 4、4.5、这些数的通项公式：，项数是14，和为665. 6、1472.习题2.3 B组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐. 现提供2个证明方法供参考.（1）由 ， 可得.（2） 同样可得：，因此.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分. （2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前项和公式，这个车队所有车的行驶时间为 h.乘以车速 km/h，得行驶总路程为2550 km.4、数列的通项公式为 所以 类似地，我们可以求出通项公式为的数列的前项和.24等比数列练习（P52）24816或5020.080.00320.21、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为，公比为的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数为 .3、（1）将数列中的前项去掉，剩余的数列为. 令，则数列可视为. 因为，所以，是等比数列，即是等比数列. （2）中的所有奇数列是，则 . 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）中每隔10项取出一项组成的数列是，则 所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.猜想：在数列中每隔（是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以为首项，为公比的等比数列.4、（1）设的公比为，则，而 所以，同理 （2）用上面的方法不难证明. 由此得出，是和的等比中项. 同理：可证明，. 由此得出，是和的等比中项.5、（1）设年后这辆车的价值为，则. （2）（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.习题2.4 A组（P53）1、（1）可由，得，. 也可由，得 （2）由，解得，或 （3）由，解得， 还可由也成等比数列，即，得. （4）由 的两边分别除以的两边，得，由此解得或. 当时，. 此时. 当时，. 此时.2、设年后，需退耕，则是一个等比数列，其中. 那么2005年需退耕（万公顷）3、若是各项均为正数的等比数列，则首项和公比都是正数. 由，得. 那么数列是以为首项，为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05 mm，对折一次后厚度为0.052 mm，再对折后厚度为0.05 mm，再对折后厚度为0.05 mm. 设，对折次后报纸的厚度为，则是一个等比数列，公比. 对折50次后，报纸的厚度为 这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为，年后空气质量为良的天数为，则是一个等比数列. 由，得，解得6、由已知条件知，且 所以有，等号成立的条件是. 而是互异正数，所以一定有.7、（1）； （2）. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10.习题2.4 B组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得，其中所以 2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为，年后的残留量为，则是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730 则 ，解得 （2）设动物约在距今年前死亡，由，得.（第3题） 解得 ，所以动物约在距今4221年前死亡.3、在等差数列1，2，3，中， 有， 由此可以猜想，在等差数列中 若，则. 从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列的图象，可以看出， 根据等式的性质，有，所以.猜想对于等比数列，类似的性质为：若，则.25等比数列的前项和练习（P58）1、（1）. （2）.2、设这个等比数列的公比为 所以 同理 . 因为 ，所以由得 代入，得.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项，公比 设近10年的国内生产总值是，则（亿元）习题2.5 A组（P61）1、（1）由，解得，所以. （2）因为，所以，即 解这个方程，得或. 当时，；当时，.2、这5年的产值是一个以为首项，为公比的等比数列 所以（万元）3、（1）第1个正方形的面积为4，第2个正方形的面积为2，这是一个以为首项，为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为（） （2）这10个正方形的面积和为（）4、（1）当时， 当时， （2） （3）设 则 得， 当时，；当时，由得，5、（1）第10次着地时，经过的路程为 （2）设第次着地时，经过的路程为293.75 m，则所以，解得，所以，则6、证明：因为成等差数列，所以公比，且 即， 于是，即 上式两边同乘以，得 即，故成等差数列习题2.5 B组（P62）1、证明：2、证明：因为 所以成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为，公比为. 所以，2010年能回收的废旧物资为（t） （2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为（t） 可节约的土地为（）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入元，连续存个月，计算利息的公式为月利率. 因为整存整取定期储蓄存款年利率为，月利率为 故到期3年时一次可支取本息共（元） 若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略. （2）略. （3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为，且需支付的利息税所以到期3年时一次可支取本息共元，比教育储蓄的方式少收益元. （4）设每月应存入元，由教育储蓄的计算公式得 解得（元），即每月应存入（元） （5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为，2005年初存入的钱到2010年底利和为，2010年初存入的钱到2010年底利和为.根据题意，根据等比数列前项和公式，得，解得（元）故，每年大约应存入52498元第二章 复习参考题A组（P67）1、（1）； （2）； （3）； （4）.2、（1）； （2）； （3）； （4）或.3、4、如果成等差数列，则；如果成等比数列，则，或.5、按顺序输出的值为：12，36，108，324，972. .6、（万）7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布. . 由得：.所以第二种领奖方式获奖者受益更多.8、因为 所以，则.9、容易得到，得.10、 容易验证. 所以，也是等差数列，公差为.11、 因为是等差数列，所以也是等差数列. 所以，. 即，. 解得或. 当时，. 由此可求出. 当时，. 由此可求出.第二章 复习参考题B组（P68）1、（1）； （2）.2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释. 成等差，则通项公式为的形式，且位于同一直线上，而的通项公式却是的形式，不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列. （2）成等比数列. 因为成等比，有. 又由于非零，两边同时取倒数，则有. 所以，也成等比数列.3、体积分数：，质量分数：.4、设工作时间为，三种付费方式的前项和分别为. 第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列. 则， .下面考察看出时，.因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式. 时，因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择种菜的人数为，即，选择种菜的人数为.所以有以下关系式：所以，如果，则，6、解：由得 以及所以，.由以上两式得，所以，数列的通项公式是7、设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金 2002年底剩余资金是 2003年底剩余资金是 5年后达到资金 解得 （万元）第三章 不等式31不等关系与不等式练习（P74）1、（1）； （2）； （3）.2、这给两位数是57. 3、（1）； （2）； （3）； （4）；习题3.1 A组（P75）1、略. 2、（1）； （2）.3、证明：因为，所以 因为，所以4、设型号帐篷有个，则型号帐篷有个，5、设方案的期限为年时，方案的投入不少于方案的投入. 所以， 即，.习题3.1 B组（P75）1、（1）因为，所以 （2）因为所以 （3）因为，所以 （4）因为 所以2、证明：因为，所以 又因为，所以 于是，所以3、设安排甲种货箱节，乙种货箱节，总运费为. 所以 所以，且 所以 ，或，或 所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节. 当时，总运费（万元），此时运费较少.32一元二次不等式及其解法练习（P80）1、（1）； （2）R； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）.2、（1）使的值等于0的的集合是； 使的值大于0的的集合为； 使的值小于0的的集合是.（2）使的值等于0的的集合； 使的值大于0的的集合为； 使的值小于0的的集合是.（3）因为抛物线的开口方向向上，且与轴无交点 所以使的等于0的集合为； 使的小于0的集合为； 使的大于0的集合为R. （4）使的值等于0的的集合为； 使的值大于0的的集合为； 使的值小于0的的集合为.习题3.2 A组（P80）1、（1）； （2）；（3）； （4）.2、（1）解，因为，方程无实数根 所以不等式的解集是R，所以的定义域是R. （2）解，即，所以 所以的定义域是3、； 4、R.5、设能够在抛出点2 m以上的位置最多停留t秒. 依题意，即. 这里. 所以t最大为2（精确到秒） 答：能够在抛出点2 m以上的位置最多停留2秒.6、设每盏台灯售价元，则. 即.所以售价习题3.2 B组（P81）1、（1）； （2）； （3）； （4）.2、由，整理，得，因为方程有两个实数根和，所以，或，的取值范围是.3、使函数的值大于0的解集为.4、设风暴中心坐标为，则，所以，即 而（h），. 所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.33二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86）1、. 2、. 3、.4、分析：把已知条件用下表表示：工序所需时间/分钟收益/元打磨着色上漆桌子106640桌子512930工作最长时间450480450 解：设家具厂每天生产类桌子张，类桌子张. 对于类桌子，张桌子需要打磨min，着色min，上漆min 对于类桌子，张桌子需要打磨min，着色min，上漆min 而打磨工人每天最长工作时间是min，所以有. 类似地， 在实际问题中，； 所以，题目中包含的限制条件为 练习（P91）yx（1）（2）（第1题）1、（1）目标函数为，可行域如图所示，作出直线，可知要取最大值，即直线经过点时，解方程组 得，所以，. （2）目标函数为，可行域如图所示，作出直线 可知，直线经过点时，取得最大值. 直线经过点时，取得最小值. 解方程组 ，和 可得点和点. 所以，（第2题）2、设每月生产甲产品件，生产乙产品件，每月收入为元，目标函数为，需要满足的条件是 ，作直线，当直线经过点时，取得最大值.解方程组 可得点，的最大值为800000元.习题3.3 A组（P93）1、画图求解二元一次不等式： （1）； （2）； （3）； （4）（1）（2）（3）（4） （第2题）2、3、分析：将所给信息下表表示：每次播放时间/分广告时间/分收视观众/万连续剧甲80160连续剧乙40120播放最长时间320最少广告时间6（第3题） 解：设每周播放连续剧甲次，播放连续剧乙次，收视率为. 目标函数为， 所以，题目中包含的限制条件为 可行域如图. 解方程组 得点的坐标为，所以（万） 答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.4、设每周生产空调器台，彩电台，则生产冰箱台，产值为. 则，目标函数为 所以，题目中包含的限制条件为即，可行域如图，解方程组得点的坐标为，所以（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3 B组（P93）（第1题）1、画出二元一次不等式组 ， 所表示的区域如右图（第2题）2、画出表示的区域. 3、设甲粮库要向镇运送大米吨、向镇运送大米吨，总运费为. 则乙粮库要向镇运送大米吨、向镇运送大米吨，目标函数（总运费）为 . 所以，题目中包含的限制条件为 . 所以当时，总运费最省 （元） 所以当时，总运费最不合理 （元） 使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向镇运送大米70吨，向镇运送大米30吨，乙粮库要向镇运送大米0吨，向镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向镇运送大米0吨，向镇运送大米100吨，乙粮库要向镇运送大米70吨，向镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.34基本不等式练习（P100）1、因为，所以 当且仅当时，即时取等号，所以当时，即的值最小，最小值是2.2、设两条直角边的长分别为，且，因为直角三角形的面积等于50. 即 ，所以 ，当且仅当时取等号. 答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20.3、设矩形的长与宽分别为cm，cm. ， 因为周长等于20，所以 所以 ，当且仅当时取等号. 答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.4、设底面的长与宽分别为m，m. ， 因为体积等于32，高2，所以底面积为16，即 所以用纸面积是 当且仅当时取等号 答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.习题3.4 A组（P100）1、（1）设两个正数为，则，且 所以 ，当且仅当时取等号. 答：当这两个正数均为6时，它们的和最小. （2）设两个正数为，依题意，且 所以，当且仅当时取等号. 答：当这两个正数均为9时，它们的积最大.2、设矩形的长为m，宽为m，菜园的面积为. 则， 由基本不等式与不等式的性质，可得. 当，即时，菜园的面积最大，最大面积是.3、设矩形的长和宽分别为和，圆柱的侧面积为，因为，即. 所以，当时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为m，宽为m，总造价为元，则， 当且仅当时，即时，有最小值，最低总造价为34600元.习题3.4 B组（P101）1、设矩形的长为，由矩形的周长为24，可知，宽. 设，则 所以 ，可得，. 所以的面积 由基本不等式与不等式的性质 当，即m时，的面积最大，最大面积是.2、过点作，交延长线于点. 设，. 在中，. 在中， 则 当且仅当，即时，取得最大，从而视角也最大.第三章 复习参考题A组（P103）1、.2、化简得，所以3、当时，一元二次不等式对一切实数都成立，即二次函数在轴下方，解之得：.当时，二次函数开口朝上一元二次不等式不可能对一切实数都成立，所以，.4、不等式组表示的平面区域的整点坐标是.5、设每天派出型车辆，型车辆，成本为. 所以 ，目标函数为 把变形为，得到斜率为，在轴上的截距为，随变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点使得取得最小值. 所以每天派出型车5辆，型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是，扇形的弧长为，因为 扇形的周长为 当，即，时，可以取得最小值，最小值为.7、设扇形的半径是，扇形的弧长为，因为扇形的面积为 当，即，时，可以取得最大值，半径为时扇形面积最大值为.8、设汽车的运输成本为， 当时，即且时，有最小值. ，最小值为. 当时，由函数的单调性可知，时有最小值，最小值为.第三章 复习参考题B组（P103）（第4题）1、 2、（1） （2）3、4、设生产裤子条，裙子条，收益为. 则目标函数为，所以约束条件为 （第5题）5、因为是区域内的点到原点的距离的平方所以，当即时，的最大值为13.当时，最小，最小值是.6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购kg，第二次购物时的价格为，仍购kg，按这种策略购物时两次购物的平均价格为.若按第二种策略购物，第一次花元钱，能购kg物品，第二次仍花元钱，能购kg物品，两次购物的平均价格为比较两次购物的平均价格：所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济.一般地，如果是次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济. 1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！ 2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除