较好较难的几个立体几何教学教材.doc

较好较难的几个立体几何

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49、B
FAF
D
A
E
C
M
矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD平面ABEF，如图所示，FD， AD=1， EF=．
（Ⅰ）证明：AE 平面FCB；
（Ⅱ）求异面直线BD与AE所成角的余弦值
（Ⅲ）若M是棱AB的中点，在线段FD上是
否存在一点N，使得MN∥平面FCB？
证明你的结论．
解：(1) 平面ABCD平面ABEF,
且四边形ABCD与ABEF是矩形,
AD平面ABEF,ADAE,
BC∥AD BCAE
又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,
所以四边形ABEF为正方形.AEFB,
又BFBF平面BCF，BC平面BCF
所以AE平面BCF……………………………………………4分
(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在 OH//BD,
HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),
在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=
异面直线BD与AE所成的角的余弦值为………………………….8分
(3)当N为FD的中点时, MN∥平面FCB
证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，
则NG//FC,MG//BC,
又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G
所以平面NGM//平面FBC,
MN平面NGM
MN//平面FBC……………………………………………………………12分
50、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
E是BC的中点。
(1)求异面直线AE与A1C所成的角；
(2)若G为C1C上一点，且EG⊥A1C，试确定点G的位置；
(3)在（2）的条件下，求二面角A1-AG-E的大小（文科求其正切值）。
解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。设，则

中， 。
所以异面直线AE与A1C所成的角为。 ------------------4分
（2）.由（1）知，A1E1⊥B1C1,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱
⊥BCC1B1,又EG⊥A1C CE1⊥EG.
∠=∠GEC ~
即得
所以G是CC1的中点 ---------------------------- --8分
（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC.
又平面ABC⊥平面ACC1A1 EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG EQ⊥AG.∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.
由EP=a,AP=a,PQ=,得
所以二面角C-AG-E的平面角是arctan，而所求二面角是二面角C-AG-E的补角，故二面角的平面角是π－arctan ------------------------12分
（文）二面角的平面角的正切值为－。------------------------12分

45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如图) .
(1) 当x=2时，求证：BD⊥EG ；
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；
(3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.
解:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。…………………………………………… 1分
则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）…………2分

x
y
z

（－2，2，2），（2，2，0）…………………………………………………3分
H
（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴ ……………………………4分
（法二）作DH⊥EF于H，连BH，GH，……………1分
由平面平面知：DH⊥平面EBCF，
而EG平面EBCF，故EG⊥DH。
又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，
BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，………………… 3分
而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。………………… 4分
（或者直接利用三垂线定理得出结果）
（2）∵AD∥面BFC，
所以 VA-BFC＝＝4(4-x)x
………………………………………………………………………7分
即时有最大值为。…………………………………………………………8分
（3）（法一）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），
H
_
E
M
F
D
B
A
C
G
F（0，3，0）,∴（－2，2，2）, ………………………………9分
则 ，
即，
取x＝3，则y＝2，z＝1，∴
面BCF的一个法向量为 ……………………………12分
则cos<>= …………………………………………13分
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－ ……………14分
（法二）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。
由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。…………………………9分
由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。
又DH＝2，
∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，
因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝， ………………………………13分
而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，
故二面角D-BF-C的余弦值为－。 ………………………………14分
46、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点在斜边上。
（I）求证：平面平面；
（II）当为的中点时，求异面直线与所
成角的大小；
（III）（理）求与平面所成角的最大值。
（文）当为的中点时，求与平面所成的角。
解：（I）由题意，，，是二面角是直二面角，
又二面角是直二面角，，又，
平面，又平面，平面平面．……4分
（II）解法一：作，垂足为，连结（如图），则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，．
又．在中，．
异面直线与所成角的大小为．……8分

解法二：建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，
．异面直线与所成角的大小为．……8分

（III）（理）由（I）知，平面，是与平面所成的角，
且．当最小时，最大，这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．……12分
（文）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且＝45o。……12分
47、(安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检)如图，在几何体中，面为矩形，面，
（1）求证；当时，平面PBD⊥平面PAC；
（2）当时，求二面角的取值范围。
以A为坐标原点，射线AP、AB、AD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的坐标系。设，由已知得
（1）当时，，
∴ 4分
∴，∴
又，∴平面PBD⊥平面PAC； 6分
解法二：当时，矩形为正方形，∴
∵面，∴ 2分
又，∴BD⊥平面PAC，BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC
（2）由
得
设平面PDC，∴
∴ 不妨设，则
设平面PDB，∴
∴ 不妨设，则 10分
∴
当变化时，即，

又，∴
40、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)如图，棱柱ABCD—A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°。
（Ⅰ）证明：BD⊥AA1；
（Ⅱ）求二面角D—A1A—C的平面角的余弦值；

（Ⅲ）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由。
解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，
连接A1O
在△AA1O中，AA1=2，AO=1，
∠A1AO=60°
∴A1O2=AA12+AO2－2AA1·Aocos60°=3
∴AO2+A1O2=A12
∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥
平面ABCD，
所以A1O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）

……………………2分
（Ⅰ）由于

则
∴BD⊥AA1……………………4分
（Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C
∴平面AA1C1C的法向量
设⊥平面AA1D
则
得到……………………6分

所以二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1
设
则
得……………………9分
设
则设
得到……………………10分
又因为平面DA1C1
则·
即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP……………………12分
法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C1C⊥平面
ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，
又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………4分
（Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°
∴AO=AA1·cos60°=1
所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以
O也是BD中点
由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C
过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE
则∠DEO为二面角D—AA1—C的平面角
……………………6分
在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO=
在Rt△AEO中，OE=OA·sin∠EAO=
DE=
∴cos∠DEO=
∴二面角D—A1A—C的平面角的余弦值是……………………8分
（Ⅲ）存在这样的点P
连接B1C，因为A1B1ABDC
∴四边形A1B1CD为平行四边形。
∴A1D//B1C
在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP……………………10分
因B1BCC1，……………………12分
∴BB1CP
∴四边形BB1CP为平行四边形
则BP//B1C
∴BP//A1D
∴BP//平面DA1C1
12、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)如图，、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
D
A1
D1
C1
B1
E1
B
A
C
P
O
（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的大小；
(Ⅲ) 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心?

解法一：（Ⅰ）过P作MN∥B1C1，分别交A1B1、D1C1于M、N，则M、N分别为 A1B1、D1C1的中点，连MB、NC，则四边形BCNM是平行四边形 …………… 2分
D
A1
D1
C1
B1
E1
B
A
C
P
O
M
N
F
∵E、M分别为AB、A1B1中点，∴A1E∥MB
又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。………… 4分
（Ⅱ） 过A作AF⊥MB，垂足为F，连PF，
∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，
∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，
∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，…… 7分
设AA1=a，则AB=a，AF=，AP=，
sin∠APF=。所以，直线AP与平面PBC所成的角是。 ………… 9分
（Ⅲ）连OP、OB、OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形。即PB=PC=BC，所以。
反之，当k=时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心 ………… 13分
z
x
y
D
A1
D1
C1
B1
E1
B
A
C
P
O
解法二：以点为原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则得、、、、 ……………………2分
(Ⅰ)由上得、、
，设得

解得， ∴

， ∴∥平面 ………………4分
_
（Ⅱ）当时，由、得、、
设平面的法向量为，则由，得，…………7分
，∴直线与平面所成角的大小为. …………9分
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知的重心为，则，
若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得
∴当时，在平面内的射影恰好为的重心.
13、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=120°，AC=CB=A1A=1，D1是A1B1上一动点(可
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
以与A1或B1重合），过D1和C1C的平面与AB交于D.
（Ⅰ）证明BC∥平面AB1C1；
（Ⅱ）若D1为A1B1的中点，求三棱
锥B1-C1AD1的体积；
（Ⅲ）求二面角D1-AC1-C的取值范围.
方法1：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
（Ⅰ）证明：依条件有CB∥C1B1，
又C1B1平面A B1C1，
CB平面A B1C1，
所以CB∥平面A B1C1.…………………3分

（Ⅱ）解：
因为D为AB的中点，
依条件可知C1D⊥A1B1.
所以=
=×C1D1×(×A1A×D1B1)
= ××(×1×)=.………………………………………………………7分

（Ⅲ）解：
因为D1是A1B1上一动点，
所以当D1与A1重合时，二面角D1-
A
B(D)
C
A1
B1(D1)
C1
E
F
AC1-C的大小为π； ……………………………………………………………9分
当D1与B1重合时，
如图，分别延长A1C1和AC1，
过B1作B1E⊥A1C1延长于E，
依条件可知平面A1B1C1⊥平面
ACC1A1，
所以B1E⊥平面ACC1A1.
过点E作EF⊥A1C1，垂直为F.
连结FB1，
所以FB1⊥A1C1.
所以∠B1FE是所求二面角的平面角. ……………………………………………11分
容易求出B1E=，FE=.
所以tan∠B1FE==.
所以∠B1FE= arctan. （或arccos）
所以二面角D1-AC1-C的取值范围是[arctan，π]（或[arccos，π]）.……13分

A
B(D)
C
A1
B1(D1)
C1
x
y
z
方法2：

（Ⅰ），（Ⅱ）略
（Ⅲ）解：
如图建立空间直角坐标系，则有
A(1，0，0)，B1(-，，1)，
C1(0，0，1).
因为D1是A1B1上一动点，
所以当D1与A1重合时，二面角
D1-AC1-C的大小为π；……………………………………………………………9分
当D1与B1重合时，
显然向量n1=(0，1，0)是平面A
CC1A1的一个法向量.
因为=(1，0，-1)，
=(-，，1)，
设平面C1AB1的法向量是n2=(x，y，z)，
由·n2=0，·n2=0，解得平面C1AB1的一个法向量n2=(1，，1).
因为n1·n2=，| n1|=1，| n2|=，
设二面角B1-AC1-C的大小为β，
所以cosβ=.
即β=arccos.
所以二面角D1-AC1-C的取值范围是[arccos，π]（或[arctan，π]）.
29、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)如图所示，等腰△ABC 的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记 V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。
解: (1)即;
(2),时, 时,
时取得最大值.
(3)以E为空间坐标原点,直线EF为轴,直线EB为轴,直线EP为轴建立空间直角坐标系,则;
,设异面直线AC与PF夹角是

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