数学教师用书配套习题：课时提升作业(六十九)-10.8条件概率与独立事件、二项分布、正态分布.doc

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课时提升作业(六十九)
条件概率与独立事件、二项分布、(*)正态分布
(25分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·南昌模拟)在正态分布N中,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为　(　　)
A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.003
【解析】选D.因为μ=0,σ=,所以P(X<-1或X>1)=1-P(-1≤X≤1)
=1-P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=1-0.997=0.003.
【方法技巧】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值.
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
2.(2015·宜春模拟)两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.设事件A:甲实习生加工的零件为一等品;
事件B:乙实习生加工的零件为一等品,
则P(A)=,P(B)=,所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.
3.已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为　(　　)
A.0.85 B.0.8192 C.0.8 D.0.75
【解析】选B.P=0.83·0.2+0.84=0.819 2.
【加固训练】(2014·厦门模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为,则甲以3∶1的比分获胜的概率为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.第四局甲第三次获胜,并且前三局甲获胜两次,所以所求的概率为P=××=.
4.(2015·汉中模拟)盒中有红球5个,蓝球11个,其中红球中有2个玻璃球,3个木质球;蓝球中有4个玻璃球,7个木质球,现从中任取一球,假设每个球摸到的可能性相同.若已知取到的球是玻璃球,则它是蓝球的概率为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选A.记“取到蓝球”为事件A,“取到玻璃球”为事件B,则已知取到的球为玻璃球,它是蓝球的概率就是B发生的条件下A发生的概率,记作P(A|B).因为P(AB)==,P(B)==,所以P(A|B)===.
5.袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率为p.若A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,则p的值为　(　　)
A. B. C. D.
【解题提示】根据A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,得到两个方程,即可求得概率.
【解析】选B.设A中有x个球,B中有y个球,则因为A,B两个袋子中的球数之比为1∶2,将A,B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,所以=且=.
解得p=.
【误区警示】本题考查概率的计算,考查学生的理解能力,很容易得不出方程组无法求解.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·宿州模拟)随机变量X～N(10,100),若P(X>11)=a,则P(9<X≤11)=
　　　　.
【解析】由题意知,x=10是对称轴,P(9<X≤11)=2P(10<X≤11)=2=1-2a.
答案:1-2a
7.设事件A在每次试验中发生的概率相同,且在三次独立重复试验中,若事件A至少发生一次的概率为,则事件A恰好发生一次的概率为　　　　.
【解析】假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得,事件A发生的次数X～B(3,p),则有1-(1-p)3=,得p=,则事件A恰好发生一次的概率为××=.
答案:
8.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,则两颗骰子的点数之和大于8的概率为　　　　.
【解析】P(A)==.因为两颗骰子的点数之和共有36个等可能的结果,点数之和大于8的结果共有10个.所以P(B)==.
当蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个,故P(AB)=.
所以P(B|A)===.
答案:
【加固训练】(2015·德阳模拟)一盒中放有大小相同的10个小球,其中8个黑球、2个红球,现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球,已知甲取到了2个黑球,则乙也取到2个黑球的概率是　　　　.
【解析】记事件“甲取到2个黑球”为A,“乙取到2个黑球”为B,则有P(B|A)===,即所求事件的概率是.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p.
(2)求甲投球2次,至少命中1次的概率.
(3)若甲、乙两人各投球2次,求共命中2次的概率.
【解析】(1)设“甲投一次球命中”为事件A,“乙投一次球命中”为事件B.由题意得(1-P(B))2=(1-p)2=,
解得p=或p=(舍去),
所以乙投球的命中率为.
(2)由题设知,P(A)=,P()=.
故甲投球2次,至少命中1次的概率为
1-P(·)=.
(3)由题设和(1)知,P(A)=,P()=,
P(B)=,P()=.
甲、乙两人各投球2次,共命中2次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中2次,乙2次均不中;甲2次均不中,乙中2次.
概率分别为P(A)P()P(B)P()=,
P(A)P(A)P()P()=,
P()P()P(B)P(B)=.
所以甲、乙两人各投球2次,共命中2次的概率为
++=.
【一题多解】本题还可以用如下方法解决:
(1)设“甲投一次球命中”为事件A,“乙投一次球命中”为事件B.由题意得:P()P()=,
于是P()=或P()=-(舍去).
故p=1-P()=.所以乙投球的命中率为.
(2)由题设知,P(A)=,P()=.
故甲投球2次,至少命中1次的概率为
P(A)P()+P(A)P(A)=.
(3)同上法.
10.某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试,成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图),已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数.
(2)用此测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名,记X表示两人中成绩不合格的人数,求X的分布列及数学期望.
(3)经过多次测试后,甲成绩在8～10米之间,乙成绩在9.5～10.5米之间,现甲、乙各投掷一次,求甲比乙投掷远的概率.

【解析】(1)第6小组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,
所以此次测试抽取总人数为=50(人).
所以第4,5,6组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人).
(2)X=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为=,
所以X～B,
P(X=0)==,
P(X=1)=××=,
P(X=2)==,
所以分布列为
X
0
1
2
P

EX=0×+1×+2×=.
(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x,y米,则基本事件满足的区域为
事件A“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x>y,如图所示,

由几何概型得P==.
【加固训练】(2014·丽江模拟)甲、乙两人进行投篮比赛,两人各投3球,谁投进的球数多谁获胜,已知每次投篮甲投进的概率为,乙投进的概率为,求:
(1)甲投进2球且乙投进1球的概率.
(2)在甲第一次投篮未投进的条件下,甲最终获胜的概率.
【解析】(1)甲投进2球的概率为··=,乙投进1球的概率为··=,甲投进2球且乙投进1球的概率为×=.
(2)在甲第一次投篮未进的条件下,甲获胜指甲后两投两进且乙三投一进或零进(记为A),或甲后两投一进且乙三投零进(记为B),
P(A)=··=×=,
P(B)=····
=×=.
所以甲最终获胜的概率为P(A)+P(B)=.
(20分钟　40分)
1.(5分)如图,用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概率为　(　　)

A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
【解析】选B.由题意知K,A1,A2正常工作的概率分别为P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,
因为K,A1,A2相互独立,
所以A1,A2至少有一个正常工作的概率为P(A2)+P(A1)+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96.
所以系统正常工作的概率为P(K)[P(A2)+P(A1)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864.
【一题多解】本题还可以用如下的方法解决:
选B.A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P()=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,所以系统正常工作的概率为P(K)[1-P()]=0.9×0.96=0.864.
2.(5分)(2015·宜春模拟)设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意,P()·P()=,P()·P(B)
=P(A)·P().设P(A)=x,P(B)=y,
则
即所以x2-2x+1=,
所以x-1=-或x-1=(舍去),
所以x=.
3.(5分)某篮球决赛在广东队与山东队之间进行,比赛采用7局4胜制,即若有一队先胜4场,则此队获胜,比赛就此结束.因两队实力相当,每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计,第一场比赛组织者可获得门票收入40万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元,则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为　　　　.
【解析】依题意,每场比赛获得的门票收入数组成首项为40,公差为10的等差数列,设此数列为{an},则易知a1=40,an=10n+30,所以Sn==.由Sn≥390得n2+7n≥78,所以n≥6.所以若要获得的门票收入不少于390万元,则至少要比赛6场.①若比赛共进行了6场,则前5场比赛的比分必为2∶3,且第6场比赛为领先一场的球队获胜,其概率P(6)=×=;②若比赛共进行了7场,则前6场胜负为3∶3,其概率P(7)=×=.所以门票收入不少于390万元的概率P=P(6)+P(7)==.
答案:
【方法技巧】n次独立重复试验有k次发生的解法
在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在利用该公式时一定要审清公式中的n,k各是多少,解题时注意弄清题意,代入公式时不要弄错数字.
【加固训练】在高三的一个班中,有的学生数学成绩优秀,若从班中随机找出5名学生,那么数学成绩优秀的学生数X～B,则P(X=k)取最大值的k值为　
(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.依题意,
≥·
且≥,
解得≤k≤,所以k=1.
4.(12分)(2015·成都模拟)某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.
(1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列.
(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).
【解析】(1)依题意知X～B,
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
P(X=4)==.
即X的分布列为
X
0
1
2

手工艺品，它运用不同的材料，通过不同的方式，经过自己亲手动手制作。看着自己亲自完成的作品时，感觉很不同哦。不论是01年的丝带编织风铃，02年的管织幸运星，03年的十字绣，04年的星座手链，还是今年风靡一时的针织围巾等这些手工艺品都是陪伴女生长大的象征。为此，这些多样化的作品制作对我们这一创业项目的今后的操作具有很大的启发作用。3

随科技的迅速发展，人们的生活日益趋向便捷、快速，方便，对于我国传统的手工艺制作，也很少有人问津，因此，我组想借此创业机会，在校园内开个DIY创意小屋。它包括编织、刺绣、串珠等，让我们传统的手工制作也能走进大学，丰富我们的生活。4

精明的商家不失时机地打出“自己的饰品自己做”、“DIY(Do It Yourself)饰品、真我个性”的广告，推出“自制饰品”服务，吸引了不少喜欢标新立异、走在潮流前端的年轻女孩，成为上海的时尚消费市场。其市场现状特点具体表现为：P

根本不知道□

合计 50 100%

大学生购买力有限，即决定了要求商品能价廉物美，但更注重的还是在购买过程中对精神文化爱好的追求，满足心理需求。(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”i=1,2.Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.
依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,
A=A1∪B1∪A1B1∪A2B2,所求的概率为
P(A)=P(A1)+P(B1)+P(A1B1)+P(A2B2)

目前，上海市创业培训中心已开办大学生创业培训班，共招收上海交通大学、上海商业职业技术学院等应届毕业生６２人。=P(A1)P()+P()P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)

（2） 文化优势=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.
5.(13分)(能力挑战题)如图,在竖直平面内有一个“游戏滑道”,空白部分表示光滑滑道,黑色正方形表示障碍物,自上而下第一行有1个障碍物,第二行有2个障碍物,……,依次类推.一个半径适当的光滑均匀小球从入口A投入滑道,小球将自由下落,已知小球每次遇到正方形障碍物上顶点时,向左、右两边下落的概率都是,记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)上顶点的概率为P(n,m).

小饰品店往往会给人零乱的感觉，采用开架陈列就会免掉这个麻烦。“漂亮女生”像是个小超市，同一款商品色彩丰富地挂了几十个任你挑，拿上东西再到收银台付款。这也符合女孩子精挑细选的天性，更保持了店堂长盛不衰的人气。

关于DIY手工艺制品的消费调查(1)求P(4,1),P(4,2)的值,并猜想P(n,m)的表达式(不必证明).
(2)已知f(x)=设小球遇到第6行第m个障碍物(从左至右)上顶点时,得到的分数为X=f(m),试求X的分布列.
【解析】(1)P(4,1)==,
P(4,2)==,
猜想P(n,m)=·.
(2)X=3,2,1,
P(X=3)=P(6,1)+P(6,6)=,
P(X=2)=P(6,2)+P(6,5)=2=,
P(X=1)=P(6,3)+P(6,4)=,
X
3
2
1
P

【加固训练】某大学开设甲、乙、丙三门选修课,学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12,至少选修一门课的概率是0.88,用X表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
(1)记“函数f(x)=x2+X·x为R上的偶函数”为事件A,求事件A的概率.
(2)求X的分布列.
【解析】设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x,y,z.
依题意得
解得
(1)若函数f(x)=x2+X·x为R上的偶函数,则X=0.
当X=0时,表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.
所以P(A)=P(X=0)
=xyz+(1-x)(1-y)(1-z)
=0.4×0.6×0.5+(1-0.4)×(1-0.6)×(1-0.5)=0.24.
所以事件A的概率为0.24.
(2)依题意知X的取值为0和2,由(1)所求可知
P(X=0)=0.24,P(X=2)=1-P(X=0)=0.76.
则X的分布列为
X
0
2
P
0.24
0.76

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