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第一章 一元二次方程
§1.1 一元二次方程（1）
一、学习目标：
1．在具体情境中，理解一元二次方程相关概念及其解的概念；
2．通过自主探索和小组合作，会列出问题情境中的方程，并学会估算一元二次方程的解；
3．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲，在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
二、学习重点：一元二次方程的概念.
难点：如何把实际问题转化为数学方程.
三、学习导航：
A、预习感知
1.回忆并说出一元一次方程的概念及特征.
2.按要求完成下列问题.
(1)剪一块面积是150cm2的矩形铁片,使它的长比宽多5cm,这块铁片应该怎样剪?
如果设这块铁片的宽为xcm,则长为 cm,则可得方程为
①
(2)一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m,宽为5m, 如果地毯中央长方形图案的面积为18㎡,那么花边有多宽?如果设草坪的宽度为xm,
则可得方程为 ②
（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，依据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，请问全校有多少个队参赛？
如果设有x个队参加,则可得方程为 ③
B、探索新知：
1.整理上述问题中的方程①、②、③并回答下列问题:
(1)方程左右两边的代数式是整式吗?
(2)分析整理的方程与一元一次方程的异同点.
(3)你能类比一元二次方程的定义得到一元二次方程的定义吗?
2.一元二次方程的概念：像这样的等号两边都是_____,只含有 ___个未知数，并且未知数的最高次数是___的方程叫做一元二次方程。
3.一元二次方程的特征:
4．一元二次方程的一般形式为:
其中ax2,bx,c分别叫二次项,一次项和常数项;a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
5.注意：
①任何一个一元二次方程都可以化为一般形式： 二次项系 数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
②二次项系数是一个重要条件，不能漏掉，为什么？
C、典型例题
[例1] 判断下列方程是否是一元二次方程？并说明理由。
(2) (3) (4)2x(x-3)=2x2+1
(5) （a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5―a = 0 (6) mx2＋3x－2 = 0
[例2] 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) (2) (3) (4）
【方法总结】确定一元二次方程各系数的值,首先应 ,然后 (各项系数应包括前面的符号).
[例3] 求当m为何值时，关于x的方程,
（1）为一元一次方程； （2）为一元二次方程。
变式训练：
求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
四、达标检测：
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．写出方程x2－=(－)x的一般形式 . 二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .
4.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是__________.
5.关于x的方程(2㎡+m-3)xm+1+5x=13是一元二次方程吗？为什么？
6. 已知关于x的方程(m+)xm2-1+2(m-1)x-1=0.
(1)m为何值时,它是一元二次方程？
(2)m为何值时,它是一元一次方程？
五、学习反思：
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§1.2 一元二次方程（2）
一、学习目标：
①进一步认识方程的定义.
②会求一元二次方程的近似解.
二、学习重点：方程的解的运用和求近似解.
难点：求符合要求的近似解.
三、学习导航：
A．预习感知
1．下面哪些数是上述方程的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．
2、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 _____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_________的值。
3、判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：
(1) (－7,－6,－5, 5, 6, 7)
(2)
4.完成下列变式训练
(1)已知方程3x2-9x+m=0的一个根为1,则m的值为 .
(2)已知m是方程x2-2012x+1=0的一个不为零的根,求的值.
(3)关于x的方程a(x+1)2+b(x-2)+c=0与方程x2+3x-2=0的解完全相同,求(a+b)2的值.
B、探索新知：
用逼近法估算一元二次方程的解：
1、一元二次方程的解---使得方程成立的未知数的值。在处理有关方程的解的题目时，通常采用____________法解决。
2、估算一元二次方程的解：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步夹逼，缩小范围获得其近似解。
C、典型例题
[例1] 要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为（x-5）cm
列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0
请根据列方程回答以下问题：
（1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由．
（2）完成下表：
x
10
11
12
13
14
15
16
17
…
x2-5x-150
（3）你知道铁片的长x是多少吗？
[例2] （1）已知：a是方程的根，求的值。
（2）已知m,n是的两根，求的值。
[例3] 关于x的方程有一根为0，求a的值。
变式训练：
已知一元二次方程 (a≠0)中，若有一根为1，则a+b+c= ;
若有一根为-1，则a-b+c=
四、达标检测：
1、下列各未知数的值是方程的解的是（ ）
A. B. C. D.
2、若关于 x的方程中不含一次项，则k的值为 （ ）
A、1 B、-1 C、0 D、2
3、一元二次方程，把二次项系数变为正数且方程的根不变的是 （ ）
A、 B、
C、 D、.
4、已知方程的一个根是1，则m的值是______
5、根据表格确定方程=0的解的范围____________
x
1.0
1.1
1.2
1.3
0.5
－0.09
－0.66
－1.21
五、学习反思：
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§1.3 配方法(1)
一、学习目标：①会用直接开平方法求形如a(x+m)2=n(a≠0,n≥0)方程的解.
②正确理解配方法,会用配方法,会用配方法求形如x2+as+b=0方法的解.
二、学习重点：. 配方法解一元二次方程.
难点： 正确运用配方法解一元二次方程.
三、学习导航：
A．预习感知
1、对下列各式进行配方：
；
；
；
B、探索新知：
引入：你能解方程： 吗？ 呢？
1、 直接开平方法：
形如a(x+m)2=n(a>0,n≥0)的解法.
[例1] 解下列方程：
（1） （2） （3）
思考：通过上面的例子,你能发现具有何种特征的方程能用直接开平方法求解?
C、典型例题：
思考：①、请你思考方程与 有什么关系，如何解方程呢？
②、能否将方程转化为（的形式呢？
2、配方法解方程：解形如x2+ax+b=0的方程。
[例2] 解下列方程：
（1） (2)
思考上述解题过程,回答下列问题:
(1)如何将方程配方?
(2)配方法解一元二次方程的步骤是什么?
变式训练：1.已知x、y为实数,则代数式x2+ y2+2x-4y+7的最小值为 .
2.用配方法说明:不论m为何值m2－8m+20的值都大于零.
四、达标检测：
1、解关于x的方程.
①x2=256 ② 4y2-9=0 ③ 3x2-x=15-x
④ 4(x+1)2=12 ⑤（x－1）2－4 = 0 ⑥ 12（3－x）2－3 = 0
2、解下列方程(配方法).
① x2－4x＋3 = 0 ② x2＋3x－1 = 0 ③ x2+6x+8=0
④ x2+4x-12=0 ⑤ x2-10x=-24 ⑥ ⑧y2+5y+2=0
五、学习反思：
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§1.4 配方法(2)
一、学习目标：①会用配方法解形如x2+bx+c=0(b、c为非整数)的方程.
②会用配方法解形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程.
二、学习重点：. 形如ax2+bx+c=0(a≠0)方程的解法.
难点：正确将形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程配方.
三、学习导航：
A．预习感知
回忆配方法,并完成下面的题目.
①x2+8x+9=0 ②x2+2x+5=0
B、探索新知：
1、形如x2+bx+c=0(b、c为非整数)的方程.
【例1】解方程
（1）x2-x-=0 （2）x2+2()x+4+2=0
C、典型例题
2、形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程的解法.
【例2】解方程2x2+3=7x
思考：用配方法解形如ax2+bx+c=0(a≠0)的求解步骤是什么?应注意什么?
【随堂小结】——方法回顾
配方法解一元二次方程的步骤为①化二次项系数为1;②把常数项移到方程右边;③配方;④用直接开平方法解一元二次方程(右边应为非负数)
变式训练：（配方法解含字母系数的方程.）
配方法解： x2+px+q=0
四、达标检测：
1、用配方法解下列方程
①x2--1=0 ②x2-0.2x=0
③y2-y-=0 ④t2--4=0
2、用配方法解下列方程
①2t2-7t-4=0 ②3x2-1=6x ③-2y2+8y=6
④(3x-2)(x+1)=-1 ⑤(2y+1)2-8(2y+1)+15=0 ⑥2(y-1) 2-5(y-1)+3=0
3、选填题：
（1）、将方程配方后，原方程变形为 （ ）
A、 B、
C、 D、
（2）、将方程配方后，原方程变形为 （ ）
A、 B、
C、 D、
（3）、若是完全平方式，则的值为 （ ）
A、±1 B、 ±3 C、-1或3 D、1或-3
（4）、如果x,y分别是矩形的长和宽，且，则矩形的面积为平方单位。
（5）、若，那么。
五、学习反思：
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§1.5 配方法的应用
一、学习目标：①利用配方法解决相关问题.
②利用一元二次方程解决简单实际问题.
③根据具体问题求出符合实际意义的解.
二、学习重点：. 配方法的应用.
难点：利用配方法解决相关问题.
三、学习导航：
A．预习感知
回忆配方法,并说出配方法解一元二次方程的步骤.
B、探索新知：
【例1】试证明:无论x为何值时,代数式x2+14x+50的值总不小于1.
【解析】本题应设法把代数式x2+14x+50写成一个非负数与1的关系式.
变式练习：小明以配方法解2x2-bx+a=0可得x-=± ,求a,b的值.
C、典型例题
【例2】若a、b、c是△ABC的三边长,并且a2-6a+b2-10c+c2=8b-50,判断这个三角形的形状.
【解析】要判断△ABC的形状,就必须找出a,b,c的关系,根据等式的特点,可以采用配方法.
变式训练：
1、已知a、b、c为三角形三边长，且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由.
2、．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求（xy）z的值．
3、若关于的二次三项式是一个完全平方式，求实数的值
【例3】某养鸡专业户计划修建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,墙长为am,其余三边用竹篱笆围成,已知篱笆长35m.
①鸡场的面积能达到150㎡吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
②探究a在本题中起什么作用.
四、达标检测：
1、选填题：
（1）、下列方程一定能用直接开平方法求解的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
（2）、用配方法解方程时，应把方程的两边同时 （ ）
A、加上 B、加上 C、减去 D、减去
（3）、已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成下列的 （ ）
A、 B、
C、 D、
（4）、不论x、y为何实数，代数式的值 （ ）
A、总不小于2 B、总不小于7 C、为任何实数 D、不能为负数
（5）、若有最小值，则当时，她的值最小，其最小值是；
（6）、如图3，在△ABC中，∠B=90°点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，_________秒后△PBQ的面积等于8 cm2.
2、某商场销售一批名牌衬杉,平均每天可售出20件,每件赢利40元。为了扩大销售,增加赢利,减少库存,商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要获得1200元的利润,你作为经理,应作出每件衬衫降价多少元的决定?
3.试用配方法证明：2x2-x+3的值不小于.
五、 学习反思：
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§1.6 公式法
一、学习目标：①正确推导求根公式;
②正确运用求根公式解一元二次方程;
二、学习重点：公式法解一元二次方程
难点：求根公式的正确推导及运用
三、学习导航：
A．预习感知：
用配方解下列方程,并回忆配方法的步骤：.
①x2+6x-16=0 ②2x2-4x+1=0
B、探索新知：
自主探索——求根公式的推导
1、用配方法解一般形式的一元二次方程.
ax2+bx+c=0(a≠0)
2、从上述过程中可以看出,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的
确定的. 因此,在解一元二次方程时,应先把方程化为 形式,然后判断 ,最后把各项系数a、b、c、代入①式中,就可得到方程的根.上述这种方法就叫做公式法,同时把x= 叫做求根公式.
3、一元二次方程：
当 ____时，方程有两个不等实数根,根为______________________________；
当___________时，方程有两个相等实数根,根为______________________________；
当___________时，方程没有实数根。
注意：公式中的可以是数字系数，也可以是字母系数，可以是单项式，也可以是多项式，但必须满足条件① ；② ．
C、典型例题
【例1】用求根公式解一元二次方程
①x2-3x+2=0 ②x2+x+=0
【例2】用求根公式解一元二次方程
（1）
（2）mx2－2（2m+1）x+4m－1=0：
【随堂小结】用公式法解一元二次方程的步骤是什么？应注意什么问题？
变式训练：
1．m为何值时，关于x的一元二次方程mx2－2（2m+1）x+4m－1=0：
（1）有两个相等实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）无实根．
2．（泰安）若关于x的方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）．
A．k>－1 B．k<－1 C．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠0
四、达标检测：
1、选填题：
（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
（2）方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b2-4ac= .
(3)方程x2+x-1=0的根是 。
（4）已知y=x2-2x-3，当x= 时，y的值是-3
（5）方程有两个相等的实数根，则的值为 （ ）
A、-1 B、-2 C、1 D、2
（6）方程x2+3x=14的解是（ ）
A.x= B.x= C.x= D.x=
（7）(x-1)(x-3)=2的根是（ ）
A. x1=1,x2=3 B.x=22 C.x=2 D.x=-22
2.用公式法解下列方程：
（1）x2-2x-8=0； （2） 2 x2－7x = 4
3、已知a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根．
五、学习反思：
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§1.7 分解因式法
一、学习目标：会用因式分解法解一元二次方程;
重点：因式分解法解一元二次方程
难点：灵活运用适当方法解一元二次方程.
二、学习重点：. 因式分解法解一元二次方程
难点：灵活运用适当方法解一元二次方程.
三、学习导航：
A．预习感知
回忆因式分解的方法，并完成下列问题:
①x2-3x= ②x(x+2)-x-2=
③(x+2)2-9= ④(x+2)2-2(x+2)+1=
⑤x2-5x+6= ⑥(x+1)2+3(x+1)+2=
B、探索新知：
【新知解析]——提公因式法
【例1】解方程(x-1)(x+2)=2(x+2)
思考：上题还有其他方法吗？
【新知解析】——运用公式
【例2】解方程
①(3x+1)2-5=0 ②x2+2(+1)x+4+2=0
【新知解析】——十字相乘法
【例3】解方程
①3x2-16x+5=0 ②3(2x2-1)=7x
C、典型例题
【例4】 解方程：
①3x(x+2)-5x-10=0 ② (3x+2)2=4(x-3)2
③ (x+1)2-4(x+1)+4=0 ④ (2y+1)2+3(2y+1)+2=0
⑤x2+7x+12=0 ⑥2x2-7x-15=0
变式训练：(换元法）
解方程：①x4-6 x2+5=0 ② (xs+2x)(x2+2x-2)=3
四、达标检测：
1、方程的解的情况是 （ ）
A、 B、
C、 D、 以上答案都不对
2、方程的根是
A、 B、
C、 D、
3、关于方程，下面叙述正确的是 （ ）
A、只能用直接开平方法 B、只能用因式分解法
C、既可用因式分解法，又可用直接开平方法
D、不论用什么法，都应先将方程变成
4、已知，则等于 （ ）
A、 B、 C、或 D、或
5、要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有 （ ）
A、2个 B、4个 C、6个 D、无数个
6、已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 （ ）
A、 B、 C、 D、
7、三角形的两边分别是6和8，第三边是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是。
8、则的值为。
五、学习反思：
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§1.8 一元二次方程的应用(1)
一、学习目标：1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。
2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决
问题的能力。
二、学习重点：掌握运用方程解决实际问题的方法。
难点：构建数学模型解决实际问题.
三、学习导航：
A、预习感知
同学们还记得黄金分割吗？你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的吗？黄金分割比为什么是0.618吗？
B、探索新知：
【例1】如图,如果C为AB的黄金分割点,你能求出黄金比吗？
C、典型例题
【例2】如图,海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好上于小岛D的正南方向。一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰。
（1）小岛D和小岛F相距多少海里？
（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给航行了多少海里？
【随堂小结】利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤是:
(1)整体地、系统地审清题意
(2)寻求问题中的等量关系(根据几何图形的性质)
(3)设未知数,并依据等量关系列出方程
(4)正确地求解方程并检验解的合理性
四、达标检测：
C
B
A
Q
P
1、如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿A—B-C以1cm/s移动,点Q从B点开始沿B-C-A以2cm/s移动， 如果P、Q分别从A、B同时出发,经几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6cm2?
2、在长为m，宽为m的一块草坪上修了一条1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示为 ；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6），则此时余下草坪的面积为 ．
3、如图1，在正方形ABCD中，AB是4 cm，△BCE的面积是△DEF面积的4倍，则DE的长为_________.
4、如图2，梯形的上底AD=3 cm，下底BC=6 cm，对角线AC=9 cm，设OA=x，则x=_________ cm.
图2
图1
5、直角三角形的周长为2+，斜边上的中线为1，求此直角三角形的面积.
五、学习反思：
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§1.9 一元二次方程的运用(2)
一、学习目标：①能正确列出一元二次方程.
②能根据实际条件求出符合要求的解.
③体会“方程模型”解决数学问题的思想和方法.
二、学习重点：. 列一元二次方程解应用题.
难点：正确列出一元二次方程
三、学习导航：
A．预习感知
1.商品销售中,常见的等量关系有哪些?
2.利率问题中,常见的等量关系有哪些?
3.行程问题中,常见的等量关系有哪些?
4.工程问题中,常见的等量关系有哪些?
B、探索新知：
[例1] 商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?
分析：请填写下表
每天的销售量（台）
每台的利润（元）
总利润（元）
降价前
降价后
变式训练：
1、某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？
C、典型例题
[例2] 某市2004年底的森林覆盖率(即自然保护区面积占全市国土面积的百分比)仅为4.85%,经过两年努力,该市2006年底自然保护区覆盖率达到8%,求该市这两年自然保护区面积的平均增长率?(结果精确到0.1%)
变式训练：
某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少，若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A.560(1+x)2=1850 B.560+560(1+x)2=1850
C.560(1+x)+560(1+x)2=1850 D.560+560(1+x)+560(1+x)2=1850
[例3] 某同学将100元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”,到期后,将本金和利息取出,并将其中的50元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存
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