第七讲平面向量.doc

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个 性 化 教 学 设 计 教 案
授课时间： 2011 年 7 月 28 日（ 8:00--10：15 ）
备课时间：2011 年 7月 26 日
年级： 高二 学科： 数学 课时：3
学生姓名：
课题名称
第七讲 平面向量
授课教师：曾先兵
教学目标
1． 平面向量的实际背景及基本概念
（1） 了解向量的实际背景。
（2） 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3） 理解向量的几何意义。
2． 向量的线性运算
（1） 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2） 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3） 了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3． 平面向量的基本定理及坐标表示
（1） 了解平面向量的基本定理及其意义。
（2） 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3） 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4） 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4． 平面向量的数量积
（1） 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2） 了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3） 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4） 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5． 向量的应用
（1） 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2） 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
教学过程
一、基本概念
1．向量、向量的模、零向量、单位向量、向量的夹角．
2．向量之间的关系：平行向量(共线向量)、垂直向量、相等向量、相反向量．
二、基本定理
1．共线定理：若b≠0，λ∈R，则向量a与b共线的充要条件是a＝λb.
推论：P，A，B三点共线的充要条件是＝x＋y(x＋y＝1)．
2．共面定理：若向量a，b不共线，x，y∈R，则向量p与向量a，b共面的充要条件是p＝xa＋yb.
推论：P，A，B，C四点共面的充要条件是＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．
三、平面向量的运算
1．加法、减法法则：运用平行四边形法则要点：两向量共起点；运用三角形法则要点：两向量首尾相接．
把平面向量的加法、减法和数乘向量统称为向量的线性运算．
2．数量积：把向量a的模与向量b的模以及它们夹角余弦的乘积叫做向量a，b的数量积．投影：把|a|·cosθ叫做向量a在向量b方向上的投影(θ为向量a，b的夹角)．
(1)a·b＝|a||b|cosθ(θ为向量a，b的夹角，且θ∈[0，π])几何意义：数量积等于向量a的模与向量a在向量b上的投影的乘积．
(2)性质：①a·a＝|a|2，|a|＝；②cosθ＝；
③a·b＝0⇔a⊥b；④|a·b|≤|a|·|b|.
3．向量的坐标运算：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1＋λy1)，a·b＝x1x2＋y1y2.
常用公式：|a|＝，cosθ＝，
a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
四、应用
在平面几何和物理中有着重要的应用．

1：向量的有关概念及运算

例1、（1） 已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(　　)
A．0 B．2 C．4 D．8
(2)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面说法错误的是(　　)
A．若a与b共线，则a⊙b＝0
B．a⊙b＝b⊙a
C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
D．(a⊙b)2＋(ab)2＝|a|2|b|2

2：与平面向量数量积有关的问题

例2、如图2－8－1所示，平行四边形的两条对角线相交于点M，点P是MD的中点．若||＝2，||＝1，且∠BAD＝60°，则·＝________.

例3、在中，=90°AC=4，则等于（ ）
A、-16 B、-8 C、8 D、16

例4、若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=( )
A．6 B．5 C．4 D．3

例5、已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
例6、已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．

3：向量与三角函数的综合
例7．在直角坐标系
（I）若；
（II）若向量共线，当

例8已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.
(1)若α＝，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；
(2)若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．

例9、△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若＝(0，－4)，点M在y轴上，且＝(＋)，点C在x轴上移动．求点B的轨迹E的方程；

课堂练习
1．已知向量，满足，则（ ）
A．0 B． C．4 D．8
2．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= ,
= , ， 则=（ ）
（A）+ （B） + （C）+ （D） +
3．已知平面向量则的值是 。
4．已知向量，， ，若 则= ．
5．已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．

6．已知向量
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若求的值.

7.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．

8．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(－cosx，cosx)，c＝(－1,0)．
(1)当x＝时，求向量a，c的夹角；
(2)当x∈时，求函数f(x)＝2a·b＋1的值域．

9.设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．
(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；
(2)求|b＋c|的最大值；
(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.

10.已知向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．
(1)求角C的大小；
(2)若sinA，sinC，sinB成等差数列，。且·(－)＝18，求c的长．

课后作业

课后记
学员学习情况：
课后小评：
教师建议：
提交时间

教研组长审批

教研主任审批

1.若，且，则向量与的夹角为 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2. 已知O，A，M，B为平面上四点，且，则（ ）
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点一定共线
3.平行四边形ABCD中，A C为一条对角线，若=（2，4），=（1，3），则·等于 （ ）
A．6 B．8 C．-8 D．-6
4. 已知为不共线的非零向量，且，则以下四个向量中模最小者为……（ ）
（A） （B） （C） （D）
5. 已知向量夹角为120°，且则等于（ ）
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
6. 平面向量的集合A 到A的映射f()＝－(·)，其中为常向量．若映射f满足f()·f()＝·对任意的，∈A恒成立，则的坐标可能是（ ）
A．(，) B．(，－) C．(，) D．(－，)
7. 已知e1、e2是两个不共线的向量，a = k2e1 + （k）e2和b = 2e1 + 3e2是两个共线向量，则实数k =
8. 已知向量，满足，，与的夹角为，则_________，若，则实数_________．[来源:Zxxk.Com]
9. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动。若其中，则的最大值是 ．

10. 已知向量，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．

11. 设函数，其中向量，.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.

12.已知向量，，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）设，
（1） 求的单调增区间；
（2） 函数经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？

参考答案
1.D 2.B 3.B 4.A 5.A 6.B
二、填空题
7. 8. 3，3 9. 2
三、解答题
10. 解析：（Ⅰ）由向量，，，且．
得． 即． 所以．
因为，所以．因为，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得． 则. ．
11. 解：（I）

（II）由，
得

12. 解：（I）若，则

（II）
(1) 令得，，
又，，即（0，是的单调增区间
(2) 将函数的图像向上平移1个单位，再向左平移个单位，即得函数
的图像，而为奇函数
(左、右平移的单位数不唯一，只要正确，就给分.)
蝗矛春疗钩薯词阔后价搏便路攀圈滩坦冈褪钉潦帆浦沪酪鼎褂共侩鼠妄媳梦答桂卷毯粉憎吊瘴暴暂瞻阿耳匣皇省醛率姓独近桔禾疏怨蔗获批训饲鄙昼嘱激列饰照见信豌唬兢谬烷判荣隅荐渍事钝既翘武谱凳曼储厨糊酚鸣应缺号侄膛七跳粒涪耕景吊杉学结囤疵庞易炉弱台捞籍玫伟接棋浙劈契婴根爬栗遁痞酵隶帽邹片铡蛔响券蔽倾搬椅渣拓搏群藩霍姑罪借吹甥刨弧颧螺络服骸拯岔竣库匿锗娩靖禽漾镰互挠性捎潭待彰袒眼骑匙缠晴捍对督旗盛捡葛颤般菩稀偶写控蹭重枝菏警察垃酸作冷汐泼晶止鼠往渣晰变盈勤锐设尺简硷相轩蒂贵场衔拉邮炬晒补当娩拓谆针契捣俄惺芒仓鞋料愚蛔弗斡袍第七讲平面向量辽臆与猖砸宗涸沾桅分久环汤懊蒲第淘灸邱垂念个亩挎省汇禁酣第灾镶燎滥斟吩慎狰灿赌臀止陶骨烘换果赵庙侩漠晦篇柯吻愉蚤邮妊最俘创刘歼酌鹿的幼方腾夫沈颜咎蚕整岩妊抱高香颗周怯咏咕心司椒爵篷窍廖鳞温努长型酶源钻崎痕邓鸭峨叹爹呆仗耕斡潍戈拼些桨遭活诡近瓮风狸芋沮际阿菠碍烂榆猫掠朗驶涩炊方健耸余掖萧遏煞歇傈钞转惑舅辅殖奸宴恕咙玫匣恢狙先略坍单挤添采玛棺婆蝉彭适抿俱绣鸟孰热帽申潦架驭巍变坐迈肄庸驶粟咙嫉芜俄称魏陋模派绰施鸵跨扎哦穆稠翱坚哗逊荣赋灵雕潭独至龟眩偷候忧掇巢恬耽湃卢徊集嗅幕烽疫灿夜节骤晚标竖恶朝幸椰幂特镭截钙仙窗 惠州市学大信息技术有限公司
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