高中数学必修4课本知识点教学提纲.doc

高中数学必修4课本知识点

精品文档
第一章 三角函数
一、基本概念
（1）任意角
①正角：按逆时针方向旋转的角
②负角：按顺时针方向旋转的角
③零角：不做任何旋转形成的角
（2） 任意角的大小
①角度制
设角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，若，则终边
在其上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
与角终边相同的角的集合为
②弧度制
弧度制是角度的另一种表示方法.
概念：把长度等于半径长的弧所对应的圆心角叫做1弧度的角.单位：.
有概念可得：<1>角度制和弧度制单位换算：，则
<2>设是半径是的圆，弧长为所对应的圆心角. 则
③角度制和弧度制单位换算
，则
常见的角度制和弧度制的转化：
角度

弧度

（4）象限角（任意角的归类）
设角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，
则称为第几象限角．
第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
二、 三角函数
（1） 求三角函数值
设是任意角，它的终边与圆心在原点的圆交于点，那么
、、
① 特例：若原始单位圆，则、、
② 终点在轴的角的正切值不存在
③ 、（★★★★★）
④ 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即
、、
其中
⑤ 三角函数在各象限的符号：

第一象限
+
+
+
第二象限
+
-
-
第三象限
-
-
+
第四象限
-
+
-

（2）三角函数图像与性质
1） 正弦函数图像
<1>图像来源
①描点法（略）
②平移、拉伸
A、的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象
B、的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象
<2>图像性质
函数的性质：
A、.振幅：；B、周期：；C、.频率：；D、相位：；
E、初相：
F、函数，、为相邻的取得函数最大值与
函数最小值的自变量的取值，则，
<3>诱导公式
A、：函数图像周期性
B、：函数图像在任意相距的两个自变量所对应的
函数值互为相反数
C、：函数图像关于原点对称，或者函数图像在
互为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数
D、：函数图像关于对称
2）余弦函数
<1>余弦函数图像来源（略）
①描点法（五点法）
②平移旋转
<2>图像性质
函数的性质：
A、.振幅：；B、周期：；C、.频率：；D、相位：；
E、初相：
F、函数，、为相邻的取得函数最大值与
函数最小值的自变量的取值，则，
<3>诱导公式
A、：函数图像周期性
B、：函数图像在任意相距的 两个自变量所对应
的函数值相反
C、：函数图像关于轴对称，或函数图像在互为
相反数的两个自变量所对应的函数值相等
D、：函数图像关于对称
3）正切函数
<1>诱导公式
A、：函数图像周期性
B、：函数图像关于原点对称，或函数图像在互
为相反数的两个自变量所对应的函数值也互为相反数
C、：函数图像关于对称
4）正弦函数与余弦函数关系：
<1>诱导公式
A、函数是由向左平移而来的，即
B、函数与的图像关于对称
5） 三角函数表格：

函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；在

上是减函数．
在上是增函数；在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
称中心
对称轴
对称中心
无对称轴

（3）三角函数的诱导公式
，，．
，，．
，，．
，，．
，．，
．
小结：
① 图像中的作用是压缩或者伸长，影响的是周期、单调区间；的作用是平移，影响的是奇偶性；的作用是纵向拉伸，影响的是最值、值域。
② 一般地，函数的图像，可以看成是由下面的方法得到的：先画出的图像；再把正弦曲线向左（右）平移个单位长度，得到函数的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍，这时的曲线就是函数的图像。
③ 平移拉伸而来，但是用此方法画图
像较繁琐. 方法是“五点（画图法）”！原因就是说任何的图像都可以由平移，压缩，拉伸而来的，所以说的一个周期中的五个点对应到的五个点也是一个周期，注定单调性也是一致的
④是振幅，是相位，是初相，周期，频率

第二章 平面向量
一、基本概念
向量：既有大小，又有方向的量
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为的向量．
单位向量：长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．
零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
二、向量的运算
（1）向量的加法
①三角形法则的特点：首尾相连
②平行四边形法则的特点：共起点
③三角形不等式：
当a，b不共线时，
当a，b同向时，
当a，b反向时，
④运算性质： A、交换律：
B、结合律：
C、
⑤坐标运算：设，，则
（2） 向量的减法：
①三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

②转化成加法
注：
③坐标运算：设，，
则
（3） 向量的数乘：
①、、
、、

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相
反；当时，
⑧向量共线定理：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.设，
，其中，则当且仅当时，向量、
共线
⑨坐标运算：设，则
（4） 平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，
有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一
平面内所有向量的一组基底）
（5） 分点坐标公式：
设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当
时，点的坐标是
（6） 平面向量的数量积：
①
零向量与任一向量的数量积为．
②性质：设和都是非零向量，则
设与同向时，、或
设与反向时，
当且仅当、是共线向量时满足等号成立
③运算律：、、

④坐标运算：设两个非零向量，，则
设，则，或．
设，，则
设、都是非零向量，，，是与的夹角，
则．

第三章 三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴；⑵
⑶；⑷
⑸
⑹ 、
（7）
（8）
二、 二倍角的正弦、余弦和正切公式：

升幂公式
降幂公式，
．
三、

四、 合一变形（★★★★）
（1）

（2）

例1、（课本例题，）已知，求、的值
目的：已知某角的正切、正弦、余弦三者之一，快速求其余两个
解析一：因为，且，所以是第三或第四象限
由于得：
若是第三象限角，则，
若是第四象限角，则，
解析二：联立方程组即是
则可得：、或、
思路：此题若是一道选择题，用方法一、方法二太繁琐!
方法：①我们先判断是第三或第四象限
②若是第三象限角，则、. 我们心里可以假设一个
直角三角形，假设一个角是，因为. 所以的对边是3，
斜边是5. 有勾股定理可得邻边是4，故、，然后
判断符号即可得到、或、
例2、（课本练习、证明）
目的：快速应用、进行恒等变形
（1）

（2）
（3）、、

（4）

例3、（课本例题、）（1）证明：
（2）化简
目的：灵活应用三角函数的诱导公式
（1）解析① 第一步，利用图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数
值互为相反数，即是 第二步，利用
关于对称得，故
② 第一步，利用图像上任意相差π的两个自变量所对应的函数
值互为相反数，即是 第二步，利用
图像是由图像平移而来的，故 第三步
的图像关于轴对称故故
（2）解析：

思考：奇变偶不变，符号看象限！
小结：（1）对于此类型题，我们的方法一般式：周期性、半周期、函数平移或奇
偶性
（2）思考：奇变偶不变，符号看象限（理解记忆！）
例4、（课本探究）你能根据诱导公式，以正弦函数的图像为基础，通过适当的图像变形
得到余弦函数的图像吗？
目的：用正余弦函数图像来解释诱导公式的含义，一变我
们能灵活应用公式！
解析：告诉我们：正弦函数的自变量取值比余弦
函数自变量取值大时，函数值相等，即是：正弦函数是由
余弦函数向右平移而来的
小结：思考其他诱导公式的含义！
例5、（课本思考）你能否从函数图像变换的角度，利用函数的图像
来得到的图像？同样的，能否从函数
的图像得到函数的图像？
目的：函数的平移、对称、旋转
解析：图像是由的图像向上平移1个单位
长度而来的，理由：相等的自变量取值，的函数值总比
的函数值大1
函数的图像是由函数的图像关于
轴对称而来的，理由：相等的自变量取值，的函数值与
的函数值互为相反数
思考：如何求函数平移、对称、旋转（特例关于原点对称），比如说：已知函数是奇函
数，且已知时的函数表达式，求时的函数表达式？
例6、（课本思考）求下列函数的周期：、、
，并从中你归纳这些函数的周期与解析式中的哪些
量有关
目的：利用周期函数的概念（或函数平移旋转对称）求三角函数的周期
解析一：，设周期是，则
，整理得，则可知
，即：原函数的周期是
解析二：图像是由函数先向右平移得到
函数的图像，然后由的图像水
平拉伸2倍得到函数的图像，最后将函数
的图像竖直拉伸2倍得到，
图像
已知的周期是，因为是由函数
平移而来的，所以说周期仍是；
的图像是由水平拉伸2倍而来，故周期增大为
；是由图
像纵向拉伸，胡周期不变，综合上述可知：的周期
是 即：周期为，既可以推广到
如果函数的周期是，那么函数的周期是
例7、（课本例题）求函数的单调递增区间
目的:由已知函数的单调性求复合函数的单调性、三角函数的“五点作图法”
解析一：令，函数的单调增区间是
由，解得：
当且仅当时，满足定义域取
值范围，故函数的单调递增区间是：

解析二：利用“五点作图法”（描点法）画图，由函数图像进行单调性判断：
x

y
0
-1
0
1
0
-1
0

故函数的单调递增区间是：

例8、（课本例题）利用三角函数单调性，比较下列各组数的大小：
（1） （2）
目的：用函数单调性比大小
解析：利用三角函数的单调性比较同名三角函数的大小，可以先利用诱导公式将已知
角化为同一单调区间内的角，然后比较大小
例9、（课本例题）求函数的定义域、周期和单调区间
目的：求正切函数的定义域、周期、单调区间
解析：正切函数与正、余弦函数的区别：
（1）正切函数定义域不是全体实数，而正、余弦函数的定义域是全体实数
（2）正切函数只有单调递增区间，没有单调递减区间！而正、余弦函数既有单
调递增区间，又有单调递减区间
（3）正切函数的周期为，正、余弦函数的周期为
理由：函数周期是，函数、周期均是
小结：（1）三角函数周期两种求法：三角函数概念；公式法
（2）三角函数单调性的两种求法：复合函数求单调性；五点作图法（描点法）
例10、（课本习题A10，）已知函数是以2为最小正周期的周期函数，且
时，，求、的值
目的：利用周期函数的性质，由已知区间的函数表达式求未知区间的函数表达式
解析：略
方法：仿照下面此题方法一致，多思考！
（课本必修一习题1.3，）已知函数是定义在上的奇函数，当时，
，画出函数的图像，求出函数解析式
解析一：因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在的图像上的坐标
点关于原点对称后的坐标点满足我们可以设图像上的
坐标点为，则关于原点对称后的点的坐标为，因为
满足，可得：，
即：
此方法利用函数图象上点的特征来寻找到关于与的一个等式，通过
化简即可得到
解析二：找规律

... .................
若，则
若，则

例11、（课本习题B3，）已知函数的图像如图所示，试回答下列问题

（1）求函数的周期
（2）画出函数的图像
（3）你能写出函数的解析式
目的：函数的平移
解析：（1）周期：2
（2）函数图像是由向左平移一个单位长度而来的
（3）时，
时，
，
时，
例12、（课本练习，3）函数的振幅、周期和频率各是多少？它的图
像与正弦曲线有什么关系？
目的：知道三角函数振幅、周期、频率、单调性、定义域怎么求得，并能利用平移
拉伸（压缩）来画函数的图像
解析：是由先向右平移，然后横坐标变为原来的
2倍，纵坐标缩短为原来的倍
或是由先横坐标变为原来的2倍，然后向右
平移，最后纵坐标缩短为原来的倍
小结：图像形成的两种方法，先平移后压缩；或者先压缩后平
移，两种方法，但是一种思路

例1、（课本探究）数的加法满足交换律和结合律，即对于任意,有
，任意、的加法是否也满足交换律和结合律？请
画图进行探索
目的：向量加法交换律和结合律的理解！
解析：

由向量加法的三角形法则可知：、

即是：、
例2、（课本探究）向量是否有减法？如何理解向量减法？我们知道，减去一个数等于加
上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？
目的：向量减法和加法的灵活转化
解析：

例3、（课本探究）已知非零向量，作出和，你能说明它
们的几何含义吗？
（课本思考）你能解释上述运算律的几何意义吗？
目的：理解向量数乘的几何含义
解析：①、、
，上述四个纯粹是很好理解，解析略
、
理解：此两个先画图，利用相似即可理解
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方
向相反；当时，
理解：的正负代表方向，大小代表向量长度伸长或压缩
例4、（课本例题）如图所示，已知任意两个非零向量，试做、、
，你能判断、、三点的位置关系吗？为什么？
目的：利用向量判断三点是否在一条直线上
解析：假设、、三点在一条直线上，必定满足

存在，此时
例5、（课本例题）如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且、
，你能用表示吗？
目的：利用平面内两个非零向量表示平面内其它向量（向量间的关系），特例：若这两
个向量长度均为1，夹角为，即是平面直角坐标系
解析：利用向量的加减法

自行求解
例6、（课本思考）已知、你能得出、、的坐标吗
目的：理解向量的坐标表示
解析：设是与轴、轴相同的两个单位向量，故、
，故

、
例7、（课本思考）已知、，其中，我们知道，向
量共线，则存在实数，使.那么如何用坐标表示两个共线向量？
目的：用坐标表示两个共线向量
解析一：、，由可得：
，即是
消去后得：
也就是说，当且仅当时，向量（）共线
解析二：

若向量共线，则有△AA1A2相似于△B1BB2 故可得：，即是

例8、（课本例题）设点是线段上的一点，的坐标分别是
（1）当点是线段上的中点，求的坐标
（2）当点是线段上的三等分点时，求的坐标
目的：理解分点坐标公式
解析一：（1）由向量的线线运算可知
故，点的坐标为
（2）点存在两种情况：或
若，则

同理可得：若,则
解析二：（1）设点的坐标为，则由可得：

则可得：、
（2）根据（1）中的方法可求得
解析三：（1）直接利用中点坐标公式即可得：点的坐标为
（2）点存在两种情况：或
若，点的横坐标为，纵坐标
为
同理可得：若,则点的坐标为
小结：（1）对于此题，解析一中OP向量的坐标表示即为P的坐标，故只要求出向
量OP即可；解析二利用解方程的思维，寻找关于P的横纵坐标的方程，解
出未知数即可；解析三利用初中所学的平面图形的相似原理
（2）对于一般学生来说，或许最容易想到的是解析二，解析二中应用的是
平行向量的关系；对于思路活跃的学生而言，一般想到的是解析三；很少有
人能想到解析一，但是解析一给我们提供了思路：OP向量的坐标表示即为P
的坐标，故只要求出向量OP即可
（3）分点坐标公式：（课本探究）
设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当
时，点的坐标是
坐标公式
例9、（课本探究）已知非零向量、，怎么用向量的坐标表
示
目的：理解向量坐标的含义，并能进行的运算
解析：略
小结：（1）向量坐标含义：
（2）
（3）
思考：设、都是非零向量，，，是与的夹角，
则应用这个公式我们可以求平面内直线
间的夹角. 在以后的学习中，我们会接触空间向量
例10、（解三角形）已知一个三角形ABC，试着寻找AB、AC、BC、cosA之间的关系
目的：平面向量应用：研究三角形边角之间的关系
解析：

若令AB=c、AC=b、BC=a，则a2=b2+c2-2bccosA
小结：此内容是必修五第一章的内容，在此处是完全可以理解的
例11、（课本探究）如何用角的正弦、余弦值来表示
目的：平面向量应用：证明两角差的余弦公式
解析：在平面直角坐标系xoy内做单位圆O，以Ox为始边作角，它们的终边
与单位圆O的交点分别是A,B，则、
、且，故：
因为或，于是，所以
，整理得：

延伸：（1），则

（2）

（3）

（4）
（5）
（6）

例12、（课本例题）求函数函数的周期、最大值和最小值
目的：学会灵活运用合一公式
解析：通过三角变换，我们把形如的函数转化为形如
的函数使得问题得到简化，这个过程蕴含了化归思想!
故周期是，最大值是，最小值时
（1）

（2）

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除