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勾股定理培优题

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勾股定理
一、知识要点
1、勾股定理
勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” .
勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即a2+b2=c2，它的变形式为c2-a2=b2或c2-b2=a2.
勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形.
勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.
二、基本知识过关测试
1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是 .
2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影SA= .
3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是 .
4.如图.在 △ABC中，CD⊥AB于D，AB=5，CD=，∠BCD=30° ，则AC= .
5.作长为 ， ， 的线段.
6.在下列各组数中 　①5，12，13 ；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a；⑤a2+1，a2-1，2a(a＞1)；⑥m2-n2，2mn，m2+n2(m＞n＞0)可作直角三角形三边长的有 组.
7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB⊥BC，则四边形ABCD的面积是 .

第2题图 第3题图 第4题图 第7题图
8.如图，在正方形ABCD中，F为DC中点，E为BC上一点，且EC=BC，试判断△ AEF的形状.

三、综合.提高.创新
【例1】（1）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长是多少？

（2）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，按如图所示折叠，使点D落在BC上的点E处，求折痕AF的长.

（3）如图，正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记作S和T，求S2-T2的值.

【练】如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于E，若AD=4，DC=3，求BE.

【例2】（1）如图，△ABC中，∠C=60°，AB=70，AC=30，求BC的长.

（2）如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°， ∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积.

【练】如图，△ABC中，A=150°，AB=2，BC=，求AC的长.

【例3】（1）如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D为BC上一点，AD⊥AB，求CD.

（2）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC中点，AD=5，BE=，求AB.

【例4】如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：
（1）；
（2）a+b＜c+h；
（3）以a+b，h和c+h为边的三角形是直角三角形.

【例5】（1）如图，ABCD为矩形，P为矩形ABCD所在平面上一点，求证：PA2-PB2=PD2 -PC2.

（2）锐角△ABC中，AD⊥BC于D，若∠B=2∠C，求证：AC 2=AB 2+AB·BC.

变式：如图，AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).

（3）如图，△ABC中，AB=AC，P为线段BC上一动点，试猜想AB 2，AP2， PB，PC 有何关系，并加以证明.

变式：若点P在BC的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.

（4）在等腰Rt△ABC的斜边AB所在的直线上取点P并设s =AP2+BP2，试探求P点位置变化时，s与2CP2的大小关系，并证明.

变式：若点P在BA的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.

【例6】（1）如图，△ABC中，D为BC边上的中点，以D为顶点作∠EDF=90°，DE、DF分别交AB、AC于E、F，且BE2+FC2=EF2，求证：∠BAC=90°.

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE，CF，EF之间的关系，并证明.

变式一:将（2）中△AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明.

变式二：如图，△AEF中∠EAF=45°，AG⊥EF于G，且GF=2，GE=3，求S△AEF.

【例7】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.

（2）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求证BD2=AB2+BC2.

【例8】在等腰△ABC中，AB=AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m，得到线段AD.
（1）如图1，若∠BAC=30°，30°＜m＜80°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC;

（2）如图2，若∠BAC=90°，0°＜m＜360°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由.

【例9】（1）已知点P在一、三象限的角平分线上，且点P到点A（3，6）的距离为PA=15，求点P的坐标；

（2）已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断△ABC的形状；

（3）求代数式的最小值；

（4）已知a＞0，b＞0，求以，，为三边长的三角形的面积.

自我归纳：

四、课后练习
1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？

2.在△ABC中，A=30°，B=45°，BC=10cm，求AB，AC及△ABC的面积.

3.（1）如图，把长方形沿ABCD对角线折叠，重合部分为△EBD.
1）求证和：△EBD为等腰三角形；
2）若AB=2，BC=8，求AE.

（2）如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上，已知AB=8cm，CE=4cm，求AD.

4．如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D.E.是BC上的两点，且∠DAE=45°，若BD=6，EC=8，求DE的长.

5．如图，在等腰三角形中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E 、F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF.
（1）求证：BE2+CF2=EF2；
（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积.

6．如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，P为△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC= ，求∠CPA.

7．（1）如图1，已知点P是矩形ABCD内一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2.

（2）①如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；

②如果点P移动到矩形ABCD的外部时，如图3，（1）中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明.

归纳结论：

8．如图，△ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB2-AC2=2BC·DE.

9．求代数式的最小值.

10．试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n>0）的三角形是否为直角三角形？

11．已知a，b，x，y都为正数，求证： ≥.

12．如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，且++=12，求PD、PE、PF的长.

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