1、第一章微积分基础微积分基础 函数函数 极限极限 研究对象研究对象 研究工具研究工具函数与极限微积分主要包含：函数、极限、连续、微积分主要包含：函数、极限、连续、导数（微分）、积分、级数导数（微分）、积分、级数第1页 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节映射与函数第2页元素元素 a 属于集合属于集合 M,记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合 M,记作记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.含有某种特定性质事物总体称为含有某种特定性质事物总体称为集合集合.组成集合事物称为组成集合事物称为元素元素.不含任何元素集合称为不含任何元素集合称为空集
2、空集,记作记作 .(或或).第3页注注:M 为数集为数集 表示表示 M 中排除中排除 0 集集;表示表示 M 中排除中排除 0 与负数集与负数集.只含有限个元素集合，称为只含有限个元素集合，称为有限集有限集不是有限集集合，称为不是有限集集合，称为无限集无限集表元素表元素.表集合表集合.通常：通常：第4页表示法：表示法：(1)列举法：列举法：按某种方式列出集合中全体元素按某种方式列出集合中全体元素.例例:有限集合有限集合自然数集自然数集(2)描述法：描述法：x 所含有特征所含有特征例例:整数集合整数集合或有理数集有理数集实数集合实数集合 x 为有理数或无理数为有理数或无理数第5页开区间开区间闭区
3、间闭区间半开区间半开区间上述区间上述区间,称为称为有限区间有限区间.a与与b称为称为区间端点区间端点.两端点间距离两端点间距离(线段长度线段长度)称为称为区间长度区间长度.第6页无限区间无限区间负无穷大正无穷大第7页点点 邻域邻域其中其中,a 称为邻域中心称为邻域中心,称为邻域半径称为邻域半径.去心去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:第8页是是 B 子集子集,或称或称 B 包含包含 A,2.集合之间关系及运算集合之间关系及运算定义2.则称则称 A若若且且则称则称 A 与与 B 相等相等,比如比如,若若设有集合设有集合记作记作记作记作必有必有若若但但则称则称 A是是 B 真真子集子集,
4、记作记作显然有以下关系显然有以下关系:第9页定义定义 3.给定两个集合给定两个集合 A,B,并集并集交集交集且且差集差集且且定义以下运算定义以下运算:余集余集直积直积特例特例:记记为平面上全体点集为平面上全体点集或或全集全集or基本集基本集第10页集合运算满足以下法则集合运算满足以下法则:设设A、B、C为任意三个集合，则为任意三个集合，则(1).交换律：交换律：(2).结合律：结合律：(3).分配律：分配律：(4).对偶律：对偶律：证实略证实略第11页二、二、映射映射1.映射概念映射概念 某校学生集合某校学生集合学号集合学号集合按一定规则查号按一定规则查号某班学生集合某班学生集合某教室座位某教
5、室座位集合集合按一定规则入座按一定规则入座引例引例1.第12页定义定义4.设设 X,Y 是两个非空集合是两个非空集合,若存在一个对应规若存在一个对应规则则 f,使得使得有唯一确定有唯一确定与之对应与之对应,则则称称 f 为从为从 X 到到 Y 映射映射,记作记作元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下下 像像,记作记作元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下下 原像原像.集合集合 X 称为映射称为映射 f 定义域定义域;Y 子集子集称为称为 f 值域值域.注意注意:映射三要素映射三要素 定义域定义域,对应规则对应规则,值域值域.任意任意第13页对映射对映射若若,
6、则称则称 f 为为满射满射;若若有有 则称则称 f 为为单射单射;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为双射双射 或或一一映射一一映射.第14页例例1 如图所表示如图所表示,对应阴影部分面积对应阴影部分面积则在数集则在数集本身之间定义了一个映射本身之间定义了一个映射(满射满射)如图所表示如图所表示,则有则有(满射满射)例例2第15页2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1)逆映射定义逆映射定义 定义定义:若映射若映射为单射为单射,则存在一新映射则存在一新映射使使习惯上习惯上,逆映射记成逆映射记成其中其中称此映射称此映射为为 f 逆映射逆映射.第16页(2)复合映复合映射
7、射手电筒手电筒D引例引例.复合映射复合映射 第17页定义定义.则当则当由上述映射链可定义由由上述映射链可定义由 D 到到 Y 复复设有映射链设有映射链记作记作合映射合映射,时时,或或组成复合映射组成复合映射条件不可少条件不可少第18页例例4,映射链映射链:可定义复合映射可定义复合映射以上定义也可推广到多个映射情形以上定义也可推广到多个映射情形.第19页定义域定义域三、函数三、函数1.函数概念函数概念 定义定义4.设数集设数集则称映射则称映射为定义在为定义在D 上函数上函数,记为记为自变量自变量因变量因变量 f(D)称为值域称为值域(对应规则对应规则)(值域值域)(定义域定义域)第20页 对应规
8、律对应规律表示方法表示方法:解析法解析法、图象法、图象法、列表法、列表法 自然定义域自然定义域使表示式及实际问题都有意义自变使表示式及实际问题都有意义自变量集合量集合.假如自变量在定义域内任取一个数值时，对应假如自变量在定义域内任取一个数值时，对应函数值总是只有一个，这种函数叫做函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，不，不然叫与然叫与多值函数多值函数 值域值域第21页例例5 5 判别以下函数对是否相等：判别以下函数对是否相等：（1）（2）相等相等不相等不相等函数两要素函数两要素定义域定义域对应关系对应关系第22页例例6,反正弦主值反正弦主值定义域定义域值域值域函数图形函数图形:第2
9、3页例例7,绝对值函数绝对值函数定义域定义域值值 域域第24页例例8.已知函数已知函数求求 及及解解:函数无定义函数无定义并写出定义域及值域并写出定义域及值域 .定义域定义域 值值 域域 分段函数分段函数第25页2.函数几个特征函数几个特征设函数设函数且有区间且有区间(1)有界性有界性有有称称 在在 I 上有界上有界.M-Myxoy=f(x)I有界有界无界无界M-MyxoX不然不然,称称 在在 I 上无界上无界.说明说明:还可定义有上界、有下界还可定义有上界、有下界(见上册见上册 P11)使使若对任意正数若对任意正数 M,均存在均存在 则称则称 f(x)在在 I上无界上无界.称称 为为有上界有
10、上界称称 为为有下界有下界存在存在第26页 例例9 9 是有界函数。是有界函数。在在而在而在 内有界。内有界。函数函数 无界，无上界无界，无上界.第27页(2)单调性单调性当当时时,称称 为为 I 上上单调增函数单调增函数;称称 为为 I 上上单调减函数单调减函数.例例 函数函数 第28页(3)奇偶性奇偶性且有且有若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x偶函数图形是关于偶函数图形是关于y 轴对称；奇轴对称；奇函数图形是关于原点对称。函数图形是关于原点对称。第29页比如比如,偶函数偶函数双曲余弦双曲余弦 记记
11、说明说明:在在 x=0 有定义有定义,为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有若若第30页又如又如,奇函数奇函数双曲正弦双曲正弦 记记再如再如,奇函数奇函数双曲正切双曲正切 记记第31页例例1010 设函数设函数f(x)定义在定义在则则f(x)能够表示成一个偶函数与一个奇函数之和。能够表示成一个偶函数与一个奇函数之和。易知易知是一个偶函数，而是一个偶函数，而是一个奇函数，而且是一个奇函数，而且 命题为真。命题为真。解解 记记第32页(4)周期性周期性且且则称则称为为周期函数周期函数,若若称称 l 为为周期周期(普通指普通指最小正周期最小正周期).周期为周期为 周期为周期为例例 求求y=cos4x
12、 周期。周期。解解 函数周期为函数周期为第33页注注:周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.比如比如,常量函数常量函数狄里克雷函数狄里克雷函数x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数例例 指出指出周期。周期。(作为练习作为练习)有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo第34页3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数概念及性质反函数概念及性质若函数若函数为单射为单射,则存在逆映射则存在逆映射习惯上习惯上,反函数记成反函数记成称此映射为为 f 反函数反函数.第35页例例1111 求求 反函数。反函数。解解 我们把原式变形成我们把原式变形成即即第36页2)函数函数与其反函
13、数与其反函数图形关于直线图形关于直线对称对称.比如比如,对数函数对数函数互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线对称对称.指数函数指数函数其反函数其反函数(减减)(减减).1)yf(x)单调递增单调递增且也单调递增且也单调递增 性质性质:第37页比如比如,函函数数其反函数为其反函数为第38页(2)复合函数复合函数 则则设有函数链设有函数链称为由称为由,确定确定复合函数复合函数,复合映射特例复合映射特例 u 称为称为中间变量中间变量.注意注意:组成复合函数条件组成复合函数条件 不可少不可少.外函数外函数内函数内函数第39页例例12,函数链函数链:但函数链但
14、函数链不能组成复合函数不能组成复合函数.可定义复合函数可定义复合函数第40页两个以上函数也可组成复合函数.比如,可定义复合函数:第41页4.初等函数初等函数(1)基本初等函数基本初等函数幂函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数1.1.幂函数幂函数第42页1.1.幂函数幂函数第43页2.指数函数指数函数第44页第45页3.对数函数对数函数第46页第47页4.三角函数三角函数正弦函数正弦函数第48页余弦函数余弦函数第49页正切函数正切函数第50页余切函数余切函数第51页正割函数正割函数第52页余割函数余割函数第53页5.反三角函数反三角函数第
15、54页第55页第56页第57页(2)初等函数初等函数由常数及基本初等函数由常数及基本初等函数不然称为不然称为非初等函数非初等函数.比如比如,并可用并可用一个式子一个式子表示函数表示函数,经过经过有限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步骤所组成骤所组成,称为称为初等函数初等函数.可表为可表为故为初等函数故为初等函数.又如又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学自学,P17 P21)第58页非初等函数举例非初等函数举例:符号函数符号函数当当 x 0当当 x=0当当 x 0取整函数取整函数当当阶梯曲线阶梯曲线第59页内容小结内容小结1.集合及映射概念集合及映射概念定义域定义域对应规律对应规律3.函数特征函数特征有界性有界性,单调性单调性,奇偶性奇偶性,周期性周期性4.初等函数结构初等函数结构2.函数定义及函数二要素函数定义及函数二要素作业作业 P21 6(4),(7),(9);7;8;9(2);10;11(2);15;18;19第60页1.1.课堂练习课堂练习反函数及其定义域.3.3.2.求求第61页1.1.解解故故课堂练习参考答案课堂练习参考答案第62页2.求求反函数及其定义域.解解:当当时时,则则当当时时,则则当当时时,则则反函数反函数定义域为定义域为第63页3.3.解解第64页总而言之总而言之第65页
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