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[随堂演练]
1．(2022年铜陵模拟)带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图所示，所受的重力和洛伦兹力的合力恰好与速度方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将( )
A．可能做直线运动
B．可能做匀减速运动
C．确定做曲线运动
D．可能做匀速圆周运动
解析：带电质点在运动过程中，重力做功，速度大小和方向发生变化，洛伦兹力的大小和方向也随之发生变化，故带电质点不行能做直线运动，也不行能做匀减速运动或匀速圆周运动，C正确．
答案：C
2．如图是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述不正确的是( )
A．质谱仪是分析同位素的重要工具
B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面对外
C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于E/B
D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小
解析：由加速电场可见粒子所受静电力向下，即粒子带正电，在速度选择器中，静电力水平向右，则洛伦兹力水平向左，故速度选择器中磁场方向垂直纸面对外，选项B正确；粒子经过速度选择器时满足qE＝qvB，可知能通过狭缝P的带电粒子的速率等于E/B，选项C正确．带电粒子进入下方磁场做匀速圆周运动则有r＝，可见当v相同时，r∝，所以可以用来区分同位素，且r越小，比荷就越大，选项D错误．
答案：D
3．(2022年马鞍山模拟)如图所示，平行板电容器的金属极板M、N的距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面对外的匀强磁场，等离子群以速度v沿图示方向射入．已知电容器的电容为C，则( )
A．当开关S断开时，稳定后电容器的电荷量Q>BvdC
B．当开关S断开时，稳定后电容器的电荷量Q<BvdC
C．当开关S闭合时，稳定后电容器的电荷量Q<BvdC
D．当开关S闭合时，稳定后电容器的电荷量Q>BvdC
解析：洛伦兹力使正离子向N板偏转，负离子向M板偏转，当q＝qvB时离子不再偏转，故断开开关S时，电容器两极所能达到的最大电压UC＝Bvd，最大电荷量Q＝BvdC，A、B均错；当开关S闭合时，平行金属板及等离子群相当于一电源，电源电动势E＝Bvd，由于内阻的存在，使得UC′＝UMN′<E＝Bvd，故QC<BvdC.C正确，D错误．
答案：C
4．(2021年高考安徽理综)如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面对里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力．求：
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值．
解析：带电粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，射出磁场后做匀速直线运动．
(1)带电粒子在电场中从P到a的过程中做类平抛运动
水平方向上：2h＝v0t①
竖直方向上：h＝at2②
由牛顿其次定律得a＝③
由①②③式联立，解得E＝④
(2)粒子到达a点时沿y轴负方向的分速度为
vy＝at⑤
由①③④⑤式得vy＝v0⑥
而vx＝v0⑦
粒子到达a点的速度va＝＝v0⑧
设速度方向与x轴正方向的夹角为θ，
则tan θ＝＝1，θ＝45°⑨
即到a点时速度方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角．
(3)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，有qvB＝⑩
由此得R＝⑪
从上式看出，R∝，当R最大时，B最小．
由题图可知，当粒子从b点射出磁场时，R最大
由几何关系得Rmax＝L⑫
将⑫代入⑪式得B的最小值为Bmin＝.
答案：(1) (2)v0 方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角 (3)
[限时检测]
(时间：45分钟，满分：100分)
[命题报告·老师用书独具]
学问点
题号
带电粒子在复合场中的动力学问题
1、5
带电粒子在复合场中的功能关系应用
2、10
电磁流量计模型问题
3、4
带电粒子在组合场中的运动
8、9、11
带电粒子在叠加场中的运动
6、7、12
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分，每小题只有一个选项正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内)
1．(2022年滁北模拟)如图所示，斜面顶端在同一高度的三个光滑斜面AB、AC、AD，均处于水平方向的匀强磁场中．一个带负电的绝缘物块，分别从三个斜面顶端A点由静止释放，设滑到底端的时间分别为tAB、tAC、tAD，则( )
A．tAB＝tAC＝tAD B．tAB>tAC>tAD
C．tAB<tAC<tAD D．无法比较
解析：带电物块在磁场中的斜面上运动时受到重力、支持力和垂直斜面对下的洛伦兹力，设斜面顶端的高度为h，倾角为θ，则物块的加速度为a＝gsin θ，由公式x＝at2＝，得t＝，知θ越大，t越小，则选项C正确．
答案：C
2．一重力不计的带电粒子以初速度v0(v0<)先后穿过宽度相同且相邻的有明显边界的匀强电场E和匀强磁场B，如图甲所示，电场和磁场对粒子总共做功W1；若把电场和磁场正交叠加，如图乙所示，粒子仍以v0的初速度穿过叠加场区，电场和磁场对粒子总共做功W2，比较W1、W2的大小( )
A．确定是W1＝W2
B．确定是W1>W2
C．确定是W1<W2
D．可能是W1>W2，也可能是W1<W2
解析：无论粒子带何种电荷，静电力和洛伦兹力的方向总是相反的，因此，把电场和磁场正交叠加时，粒子在静电力方向上的位移减小了，静电力做的功比原来小了，即W2<W1，选项B正确．
答案：B
3．如图所示，一块通电的铜板放在磁场中，板面垂直于磁场，板内通有如图所示方向的电流，a、b是铜板左、右边缘的两点，则( )
A．电势φa>φb
B．电势φb>φa
C．电流增大时，|φa－φb|减小
D．其他条件不变，将铜板改为NaCl水溶液时，电势结果照旧一样
解析：因金属导电的载流子是自由电子，自由电子的运动方向与电流方向相反，由左手定则判定，自由电子所受洛伦兹力方向向左，因此铜板左侧聚集电子，右边带正电，形成电场，且φb>φa；待自由电子所受洛伦兹力与静电力相等，达到稳定状态时，qvB＝qE＝q.I＝nSqv，电流增大时，|φa－φb|增大．而将铜板改为NaCl水溶液导电时，溶液中电离出正、负离子，是正、负离子在导电，正离子运动方向与电流方向全都，负离子运动方向与电流方向相反，因而依据左手定则知正、负离子都向左边偏转，电荷量中和，所以两边无电势差．故选B.
答案：B
4．(2021年高考重庆理综)如图所示，一段长方体形导电材料，左右两端面的边长都为a和b，内有带电量为q的某种自由运动电荷．导电材料置于方向垂直于其前表面对里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为B.当通以从左到右的稳恒电流I时，测得导电材料上、下表面之间的电压为U，且上表面的电势比下表面的低．由此可得该导电材料单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负分别为( )
A.，负 B.，正
C.，负 D.，正
解析：精确 理解电流的微观表达式，并知道稳定时电荷受到的静电力和洛伦兹力平衡，是解决本题的关键．由于上表面电势低，依据左手定则推断出自由运动电荷带负电，排解B、D两项．电荷稳定时，所受静电力和洛伦兹力平衡，|q|＝|q|vB ①，由电流的微观表达式知：I＝|q|nSv＝|q|nabv ②，由①②联立，得n＝，故选项C正确．
答案：C
5．如图所示，虚线间空间存在由匀强电场E和匀强磁场B组成的正交或平行的电场和磁场，有一个带正电小球(电荷量为＋q，质量为m)从正交或平行的电磁混合场上方的某一高度自由落下，那么，带电小球可能沿直线通过下列的哪个电磁混合场( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
解析：带电小球进入复合场时受力状况如图所示：
①图中由于小球所受合力不为零，所以洛伦兹力不恒定，因此水平方向合力不行能保持为零，小球不行能沿直线运动；②图中垂直纸面对外的方向上只有一个洛伦兹力，所以这种状况下小球也不能沿竖直方向运动；③图中小球所受三个力的合力假如为零，小球就可以沿竖直线运动；④图中小球只受竖直方向两个力作用，确定沿竖直线运动．
答案：D
6．(2022年六安检测)如图所示，一束粒子(不计重力，初速度可忽视)缓慢通过小孔O1进入极板间电压为U的水平加速电场区域Ⅰ，再通过小孔O2射入相互正交的恒定匀强电场、磁场区域Ⅱ，其中磁场的方向如图所示，磁感应强度大小可依据实际要求调整，收集室的小孔O3与O1、O2在同一条水平线上．则收集室收集到的是( )
A．具有特定质量和特定比荷的粒子
B．具有特定速度和特定比荷的粒子
C．具有特定质量和特定速度的粒子
D．具有特定动能和特定比荷的粒子
解析：粒子在加速电场Ⅰ中由动能定理可得：qU＝mv2⇒v＝ ，粒子沿直线O1O2O3运动，则在相互正交的恒定匀强电场、磁场区域Ⅱ中必定受力平衡，可得：qE＝Bqv⇒v＝为某确定值．故选项B正确．
答案：B
7．(2022年黄山高三质检)如图所示，已知一带电小球在光滑绝缘的水平面上从静止开头经电压U加速后，水平进入相互垂直的匀强电场E和匀强磁场B的复合场中(E和B已知)，小球在此空间的竖直面内做匀速圆周运动，则( )
A．小球可能带正电
B．小球做匀速圆周运动的半径为r＝
C．小球做匀速圆周运动的周期为T＝
D．若电压U增大，则小球做匀速圆周运动的周期增加
解析：小球在复合场中做匀速圆周运动，则小球受到的静电力和重力满足mg＝Eq，则小球带负电，A错误；由于小球做圆周运动的向心力为洛伦兹力，由牛顿其次定律和动能定理可得：Bqv＝，Uq＝mv2，联立两式可得：小球做匀速圆周运动的半径r＝，由T＝可以得出T＝，与电压U无关，所以B正确，C、D错误．
答案：B
8．(2022年安庆高三测试)质谱仪是测带电粒子的质量和分析同位素的一种仪器，它的工作原理是带电粒子(不计重力)经同一电场加速后，垂直进入同一匀强磁场做圆周运动，然后利用相关规律计算出带电粒子质量，其工作原理如图所示，虚线为某粒子的运动轨迹，由图可知( )
A．此粒子带负电
B．下极板S2比上极板S1电势高
C．若只增大加速电压U值，则半径r变大
D．若只增大入射粒子的质量，则半径r变小
解析：粒子从S3小孔进入磁场中，速度方向向下，粒子向左偏转，由左手定则可知粒子带正电．带正电的粒子在S1和S2两板间加速，则要求电场强度的方向向下，那么S1板的电势高于S2板的电势．粒子在电场中加速，由动能定理有mv2＝qU，在磁场中偏转，则有r＝，联立两式解得r＝，由此式可以看出只增大U或只增大m时，粒子的轨道半径都变大．
答案：C
9．如图甲所示是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒．在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连．带电粒子在磁场中运动的动能Ek随时间t的变化规律如图乙所示，忽视带电粒子在电场中的加速时间，则下列推断正确的是( )
A．在Ek t图中应有t4－t3＞t3－t2＞t2－t1
B．高频电源的变化周期应当等于tn－tn－1
C．粒子加速次数越多，粒子最大动能确定越大
D．要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的半径
解析：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度大小无关，因此，在Ek t图中应有t4－t3＝t3－t2＝t2－t1，选项A错；带电粒子在回旋加速器中每运行一周加速两次，高频电源的变化周期应当等于2(tn－tn－1)，选项B错；由R＝＝可知，粒子获得的最大动能打算于D形盒的半径，当轨道半径与D形盒半径相等时就不能再连续加速了，故选项C错D对．
答案：D
10．如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面对里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电荷量为＋q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g.小球由静止开头下滑直到稳定的过程中下列说法不正确的是( )
A．小球的加速度先增加后减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
解析：对小球受力分析如图所示，则mg－μ(Eq－qvB)＝ma，随着v的增加，小球加速度先增加，当Eq＝qvB时达到最大值amax＝g，连续运动，mg－μ(qvB－Eq)＝ma，随着v的增加，a渐渐减小，所以A正确．由于有摩擦力做功，机械能与电势能总和在减小，B错误．若在前半段达到最大加速度的一半，则mg－μ(Eq－qvB)＝m ，得v＝，若在后半段达到最大加速度的一半，则mg－μ(qvB－Eq)＝m，得v＝，故C、D正确．
答案：B
二、非选择题(本题共2小题，共30分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，有数值计算的要注明单位)
11．(15分)如图所示，一个质量为m、电荷量为q的正离子，在D处沿图示方向以确定的速度射入磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面对里．结果离子正好从距A点为d的小孔C沿垂直于电场方向进入匀强电场，此电场方向与AC平行且向上，最终离子打在G处，而G处距A点2d(AG⊥AC)．不计离子重力，离子运动轨迹在纸面内．求：
(1)此离子在磁场中做圆周运动的半径r；
(2)离子从D处运动到G处所需时间；
(3)离子到达G处时的动能．
解析：(1)正离子轨迹如图所示．
圆周运动半径r，满足：
d＝r＋rcos 60°
解得r＝d.
(2)设离子在磁场中的运动速度为v0，则有：
qv0B＝m
T＝＝
由图知离子在磁场中做圆周运动的时间为：
t1＝T＝
离子在电场中做类平抛运动，从C到G的时间为：
t2＝＝
离子从D→C→G的总时间为：t＝t1＋t2＝
(3)设电场强度为E，则有：
qE＝ma
d＝at
由动能定理得：qEd＝EkG－mv
解得EkG＝
答案：(1)d (2) (3)
12．(15分)(2021年高考福建理综)如图甲，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面对外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.让质量为m，电荷量为q(q>0)的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中．不计重力和粒子间的影响．
甲 乙
(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A(a,0)点，求v1的大小．
(2)已知一粒子的初速度大小为v(v>v1)，为使该粒子能经过A(a,0)点，其入射角θ(粒子初速度与x轴正向的夹角)有几个？并求出对应的sin θ值．
(3)如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向放射．争辩表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x重量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关．求该粒子运动过程中的最大速度值vm.
解析：(1)带电粒子以速率v在匀强磁场B中做匀速圆周运动，半径为R，有
qvB＝m①
当粒子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，该圆周半径为R1，有：R1＝②
由②代入①式得．
v1＝.③
(2)如图，O、A两点处于同一圆周上，且圆心在x＝的直线上，半径为R.
当给定一个初速率v时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有sin θ′＝sin θ＝④
由①④式解得sin θ＝.⑤
(3)粒子在运动过程中仅静电力做功，因而在轨道的最高点处速率最大，用ym表示其y坐标，由动能定理，有
qEym＝mv－mv⑥
由题知，有vm＝kym⑦
若E＝0时，粒子以初速度v0沿y轴正向入射，有
qv0B＝m⑧
v0＝kR0⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得
vm＝＋.
答案：(1) (2)2个 (3)＋
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