澳门四校联考数学考纲复习课程.pdf

夏越教育_联考专家 1/42 澳門四高校聯合入學考試澳門四高校聯合入學考試（2017）數學科考試大綱數學科考試大綱 考試時間：兩小時 1.基本概念：實數系統；集合和子集的概念；集合的運算：併集、交集和補集。偉恩(Venn)圖。數學歸納法。2.百分數：百分數的意義及其在日常生活中的應用；盈利和虧蝕、折扣、單利息和複利息、增長及折舊。3.變分：比、比例；正變、反變、聯變及部分變。4.多項式及有理分式：多項式的運算，長除法及綜合除法；因式分解：因式定理及餘式定理，最高公因式(H.C.F.)及最低公倍式(L.C.M.)；平方差公式，立方和(立方差)公式，部分分式。5.二次方程及二次函數：一元二次方程的解與判別式的關係，二次公式；根與係數的關係；二次函數的極值 配方法的應用。6.指數及根式：指數定律；根式的簡化與運算。7.代數不等式：代數不等式和絕對不等式的運算及其解集；解一元一次或二元一次不等式組，包括用幾何方法求解；在線性規劃問題的應用。8.對數函數與指數函數：對數的性質，換底公式，自然指數函數；在增長及衰變過程的應用(包括連續複利息)；解指數方程及對數方程。9.非線性方程：解分式方程及無理方程。10.排列與組合：基本概念，二項式定理。11.數列：等差數列、等比數列及前 n 項和；等比數列無限項之和。12.直線圖形及圓：(A)直線圖形：三角形及凸多邊形內角和；直線及角的性質和定理；相似三角形、全等三角形；畢氏定理；正方形、矩形、菱形及平行四邊形的性質；中點定理及截線定理。(B)圓：圓、弦及弧的性質；圓心角、圓周角、圓內接四邊形、外接圓；弧長及扇形面積。夏越教育_联考专家 2/42 13.三角：角度制及弧度制的關係；三角函數與三角恆等式，複角公式及半角公式；式子 a cos b sin 與輔助角公式；三角形面積；正弦定律，餘弦定律；反三角函數的定義；含一個未知數的三角方程求解。14.解析幾何：(A)直角座標系，兩點的距離，線段的定比分點；直線的斜率及截距，直線方程的不同表達式；兩線平行與垂直。解不多於三個未知數的線性方程組。(B)圓的標準方程、一般方程、圖形和性質；橢圓、雙曲線、拋物線的定義和標準方程、圖形和性質。直線與圓錐曲線的相交。15.函數圖形：一次、二次及三次函數，有理函數、對數及指數函數，正弦、餘弦及正切函數的描繪；對稱、平移、伸展、收縮及反射等技巧的運用。16.概率和統計：隨機試驗，結果與事件；概率加法規則和乘法規則；集中趨勢的度量：算術平均數，眾數及中位數；離散度的度量：極差，方差及標準差。夏越教育_联考专家 3/42 Joint Admission Examination for Four Higher Education Institutions in Macao(2017)Mathematics Examination Syllabus Examination Duration:2 hours 1.Fundamental Concepts:real number system;concept of sets and subsets;set operations:union,intersection and complement.Venn diagrams.Mathematical induction.2.Percentage:its meaning and applications to daily life problems.Profit and loss,discount,simple and compound interest,growth and depreciation.3.Variations:ratio,proportion;direct,inverse,joint and partial variations.4.Polynomial and Rational Fraction:manipulation of polynomials,long division and synthetic division,factorization of polynomials:the factor theorem and the remainder theorem;highest common factors(H.C.F.)and least common multiple(L.C.M.);formula for the difference of two squares,formulae for the sum of two cubes and the difference of two cubes;partial fractions.5.Quadratic Equations and Quadratic Functions:the relation between the solution of a quadratic equation in one variable and its discriminant,the quadratic formula;relations between roots and coefficients;the extreme value of a quadratic function applying the method of completing the square.6.Indices and Surds:laws of indices;simplification and operations of surds.7.Algebraic Inequalities:manipulation of algebraic inequalities and absolute inequali-ties,and their solution sets;solving system of linear inequalities in one or two vari-ables,including graphical solutions;applications to linear programming problems.8.Logarithmic and Exponential Functions:properties of logarithms,change of bases of logarithms;natural exponential functions;applications in growth and decay processes(including continuous compounding of interest);solving equations of indices and equations of logarithms.9.Nonlinear equations:solving fractional equations and irrational equations.10.Permutation and Combination:basic concepts,binomial theorem.11.Sequences:arithmetic sequence,geometric sequence,and sum of the first n terms;sum of geometric sequence with an infinite number of terms.夏越教育_联考专家 4/42 12.Rectilinear Figures and Circles:(A)Rectilinear Figures:the sum of interior angles of triangles and convex polygons;properties and theorems of lines and angles;similar triangles,congruent triangles;Pythagoras theorem;properties of squares,rectangles,rhombuses,and parallelograms;mid-point theorem and intercept theorem.(B)Circles:properties of circles,arcs and chords;angles of chord,angles of circum-ference,cyclic quadrilaterals,circumcircles;arc lengths and area of sectors.13.Trigonometry:relation between degree measure and radian measure;trigonometric functions and trigonometric identities,compound angle formulae and half-angle formulae;the expression a cos b sin and the auxiliary angle formula;area of a triangle;the Sine Law,the Cosine Law;the definitions of inverse trigonometric functions;solving trigonometric equations in one unknown.14.Coordinate Geometry:(A)Rectangular Cartesian coordinate system,distance between two points;point of division of a line segment in a given ratio;the slope and intercept of a straight line,different forms of equations of a straight line;parallel and perpendicular lines.Solving system of linear equations with at most three variables.(B)The standard form of a circle,its general form,its graph and its properties;the definitions and standard forms of ellipse,hyperbola,and parabola,their graphs and their properties.Intersection of lines and conic.15.Graphs of functions:sketching of linear,quadratic,cubic,rational,logarithmic,exponential,sine,cosine,and tangent functions;application of the techniques of symmetry,translation,stretching,shrinking,and reflection.16.Probability and Statistics:random experiment,outcomes and events;addition rule and multiplication rule of probabilities;measures of central tendency:mean,mode,and median;measures of dispersion:range,variance and standard deviation.夏越教育_联考专家 5/42 澳 門 四 高 校 聯 合 入 學 考澳 門 四 高 校 聯 合 入 學 考 試（2017）數 學 科 模 擬 試 題 日期：二一年月日 限時：2 小時 指示：1.本卷分為兩部份。第一部份有十五條選擇題，第二部份有五條解答題。全部為必答題。2.第一部份共佔六十分。第一部份每題佔四分。第二部份共佔四十分。第二部份每題所佔分數在題末註明。3.將所有答案寫在答案紙上。4.可用計算器，但不准用字典。本 卷 共 四 頁(包 括 本 頁)夏越教育_联考专家 6/42 第一部份第一部份 選擇題。請選出每題之最佳答案最佳答案。1.當 x 由 4 增加至 3 4，cos x 的值 A.一直上升 B.一直下降 C.先上升後下降 D.先下降後上升 E.以上皆非 2.某手表的標價比成本高出 40%。若該手表以七折出售，求盈利或虧蝕百分率。A.賺 28%B.賺 12%C.賺 10%D.蝕 2%E.蝕 10%3.在偉恩圖中，陰影部份表示 A.X(YZ)B.Xc(YZ)C.X(YZ)c D.(XY)cZ E.(XcY)Z 4.若 y x，下列何者為正確?I.x y II.y2 x2 III.(y x)2x A.只有 II B.只有 III C.只有 I 和 II D.只有 I 和 III E.I、II 和 III 5.已知多項式 p(x)可被 2x 1 整除，而被 x 1 除餘數為 1。若 p(x)被 2x2 x 1 除，餘式是甚麼？A.2 3 x 1 3 B.x 1 3 C.1 3 x 2 3 D.3x 1 3 E.2x 2 3 6.若 a 和 b 為方程 2x2 x 5 0 的兩個不相同的根，則 1a2 1b2 A.25 19 B.19 25 C.37 44 D.21 25 E.23 25 X YZ 夏越教育_联考专家 7/42 7.若 71xx，則 xx1 A.7 B.5 C.3 D.7 E.以上皆非 8.若 a 2 及 ax 2 2x 3,則 A.25ax B.25ax C.25ax D.ax25 E.25ax 9.若 xy1010log1log21，則 A.xy10 B.y 100 x2 C.y (10 x)2 D.y 10 x2 E.以上皆非 10.3211222xxxx A.)3)(1)(1(522xxxxx B.)3)(1)(1(722xxxxx C.)1)(1)(3(52xxxx D.)1)(1)(3(52xxxx E.)1)(1)(3(742xxxxx 11.有 2 男孩及 3 女孩到課室上課，他們在課室佔了一行 5 座位。如果 2 個男孩要坐在一起，問總共有多少個可能排座的方法 A.12 B.24 C.36 D.48 E.以上皆非 12.一幾何數列的各項均為正數，且任何項均等於後兩項之和，求公比之值。A.1 B.25 C.215 D.251 E.52 13.半徑為 1 的圓形裏的內接正八邊形的面積是多少？A.2 B.22 C.23 D.2 E.24 14.若 tan 2，其中 落在第三象限，則 sin cos 的值是多少？A.21 B.51 C.53 D.51 E.53 15.若兩直線 ax by c 0 和 px qy r 0 互相垂直，則下列何者為真？A.aq bp B.ap bq 0 C.ac br D.ap cr 0 E.以上皆非 夏越教育_联考专家 8/42 第二部份第二部份 解答題。1.已知抛物綫 y x2 4x 3 與 x 軸相交於 A、B 兩點，並且與 y 軸相交於 C 點。求 ABC 的面積。(8 分)2.把)1)(2(3xxx 化為部份分式。(8 分)3.A 袋有 4 個紅球、6 個黄球和 10 個綠球;B 袋 有 12 個紅球、4 個黄球和 4 個綠球。若在每個袋中隨機地抽出一個球，求以下各項的概率。(a)兩個球都是紅色的。(2 分)(b)兩個球都不是紅色的。(2 分)(c)最少有一個球是紅色的。(2 分)(d)兩個球都是紅色或兩個球都不是紅色的。(2 分)4.(a)利用圖解法解不等式組 17385yxyx。(4 分)(b)設 C 2x y，其中(x,y)是(a)中的不等式組的一個解。C 的極大值是甚麼？(4 分)5.(a)設 x 和 y 為整數。證明若 x y 及 y 都可被 6 整除，那麼 x 亦可被 6 整除。(2 分)(b)利用(a)及數學歸納法證明對所有正整數 n，4n3 3n2 5n 為 6 的倍數。(6 分)全卷完全卷完 夏越教育_联考专家 9/42 Joint Admission Examination for Four Higher Education Institutions in Macao(2017)Mathematics Mock Questions Date:dd/mm/201x Time Allowed:2 Hours Instructions:1.This paper consists of 2 parts.Part I consists of 15 multiple choice questions,and Part II consists of 5 problem-solving questions.Answer all the questions.2.Part I carries a total of 60 marks.Each question of Part I carries 4 marks.Part II carries a total of 40 marks.Marks for each question of Part II are indicated at the end of the question.3.Answer all of the questions on the answer sheets.4.No dictionaries are allowed to be used.Calculators may be used.This paper consists of 4 pages(including this page)夏越教育_联考专家 10/42 Part IPart I Multiple choice questions.Choose the best answerbest answer for each question.1.As x increases from 4 to 3 4,the value of cos x A.always increases B.always decreases C.increases and then decreases D.decreases and then increases E.none of the above 2.The marked price of a watch is 40%above its cost.If the watch is sold at a discount of 30%,find the percentage of gain or loss.A.gain 28%B.gain 12%C.gain 10%D.lose 2%E.lose 10%3.In the Venn diagram,the shaded region represents A.X(YZ)B.Xc(YZ)C.X(YZ)c D.(XY)cZ E.(XcY)Z 4.If y x,which of the following is/are true?I.x y II.y2 x2 III.(y x)2x A.II only B.III only C.I and II only D.I and III only E.I,II and III 5.It is known that a polynomial p(x)is divisible by 2x 1,and the remainder is 1 when p(x)is divided by x 1.What is the remainder if p(x)is divided by 2x2 x 1?A.2 3 x 1 3 B.x 1 3 C.1 3 x 2 3 D.3x 1 3 E.2x 2 3 6.If a and b are the two distinct roots of the equation 2x2 x 5 0,then 1a2 1b2 A.25 19 B.19 25 C.37 44 D.21 25 E.23 25 X YZ 夏越教育_联考专家 11/42 7.If 71xx,then xx1 A.7 B.5 C.3 D.7 E.None of the above 8.If a 2 and ax 2 2x 3,then A.25ax B.25ax C.25ax D.ax25 E.25ax 9.If xy1010log1log21,then A.xy10 B.y 100 x2 C.y (10 x)2 D.y 10 x2 E.None of the above 10.3211222xxxx A.)3)(1)(1(522xxxxx B.)3)(1)(1(722xxxxx C.)1)(1)(3(52xxxx D.)1)(1)(3(52xxxx E.)1)(1)(3(742xxxxx 11.There are 2 boys and 3 girls to attend a lecture.They take a 5 seat row in the classroom.How many different possible ways of sitting are there if 2 boys are required to sit together?A.12 B.24 C.36 D.48 E.None of the above 12.In a geometric sequence,all numbers are positive.Any term of the sequence is always equal to the sum of the next two terms.Determine the value of the common ratio.A.1 B.25 C.215 D.251 E.52 13.Find the area of the inscribed regular octagon in a circle of radius 1.A.2 B.22 C.23 D.2 E.24 14.If tan 2,where lies in the third quadrant,what is the value of sin cos?A.21 B.51 C.53 D.51 E.53 15.If two lines ax by c 0 and px qy r 0 are perpendicular,which of the following is true?A.aq bp B.ap bq 0 C.ac br D.ap cr 0 E.None of the above 夏越教育_联考专家 12/42 Part IIPart II Problem-solving questions.1.Suppose the parabola y x2 4x 3 intersects the x-axis at points A and B,and intersects the y-axis at point C.Determine the area of ABC.(8 marks)2.Find the partial fraction decomposition of)1)(2(3xxx.(8 marks)3.In Bag A there are 4 red balls,6 yellow balls and 10 green balls.In Bag B there are 12 red balls,4 yellow balls and 4 green balls.If one ball is randomly selected from each bag,find the probability that(a)both balls are red.(2 marks)(b)both balls are not red.(2 marks)(c)at least one ball is red.(2 marks)(d)both balls are red or both balls are not red.(2 marks)4.(a)Solve the inequalities 17385yxyx graphically.(4 marks)(b)Let C 2x y,where(x,y)is a solution of the inequalities in(a).What is the maximum value of C?(4 marks)5.(a)Let x and y be integers.Prove that if both x y and y are divisible by 6,so is x.(2 marks)(b)Use(a)and mathematical induction to show that 4n3 3n2 5n is a multiple of 6 for all positive integers n.(6 marks)THE END 夏越教育_联考专家 13/42 澳 門 四 高 校 聯 合 入 學 考澳 門 四 高 校 聯 合 入 學 考 試（2017）數 學 科 模 擬 試 題 暨 參 考 答 案 日期：二一年月日 限時：2 小時 指示：1.本卷分為兩部份。第一部份有十五條選擇題，第二部份有五條解答題。全部為必答題。2.第一部份共佔六十分。第一部份每題佔四分。第二部份共佔四十分。第二部份每題所佔分數在題末註明。3.將所有答案寫在答案紙上。4.可用計算器，但不准用字典。本 卷 共 六頁(包 括 本 頁)夏越教育_联考专家 14/42 第一部份第一部份 選擇題。請選出每題之最佳答案最佳答案。1.當 x 由 4 增加至 3 4，cos x 的值 A.一直上升 B.一直下降 C.先上升後下降 D.先下降後上升 E.以上皆非 2.某手表的標價比成本高出 40%。若該手表以七折出售，求盈利或虧蝕百分率。A.賺 28%B.賺 12%C.賺 10%D.蝕 2%E.蝕 10%3.在偉恩圖中，陰影部份表示 A.X(YZ)B.Xc(YZ)C.X(YZ)c D.(XY)cZ E.(XcY)Z 4.若 y x，下列何者為正確?I.x y II.y2 x2 III.(y x)2x A.只有 II B.只有 III C.只有 I 和 II D.只有 I 和 III E.I、II 和 III 5.已知多項式 p(x)可被 2x 1 整除，而被 x 1 除餘數為 1。若 p(x)被 2x2 x 1 除，餘式是甚麼？A.2 3 x 1 3 B.x 1 3 C.1 3 x 2 3 D.3x 1 3 E.2x 2 3 6.若 a 和 b 為方程 2x2 x 5 0 的兩個不相同的根，則 1a2 1b2 A.25 19 B.19 25 C.37 44 D.21 25 E.23 25 X YZ 夏越教育_联考专家 15/42 7.若 71xx，則 xx1 A.7 B.5 C.3 D.7 E.以上皆非 8.若 a 2 及 ax 2 2x 3,則 A.25ax B.25ax C.25ax D.ax25 E.25ax 9.若 xy1010log1log21，則 A.xy10 B.y 100 x2 C.y (10 x)2 D.y 10 x2 E.以上皆非 10.3211222xxxx A.)3)(1)(1(522xxxxx B.)3)(1)(1(722xxxxx C.)1)(1)(3(52xxxx D.)1)(1)(3(52xxxx E.)1)(1)(3(742xxxxx 11.有 2 男孩及 3 女孩到課室上課，他們在課室佔了一行 5 座位。如果 2 個男孩要坐在一起，問總共有多少個可能排座的方法 A.12 B.24 C.36 D.48 E.以上皆非 12.一幾何數列的各項均為正數，且任何項均等於後兩項之和，求公比之值。A.1 B.25 C.215 D.251 E.52 13.半徑為 1 的圓形裏的內接正八邊形的面積是多少？A.2 B.22 C.23 D.2 E.24 14.若 tan 2，其中 落在第三象限，則 sin cos 的值是多少？A.21 B.51 C.53 D.51 E.53 15.若兩直線 ax by c 0 和 px qy r 0 互相垂直，則下列何者為真？A.aq bp B.ap bq 0 C.ac br D.ap cr 0 E.以上皆非 夏越教育_联考专家 16/42 第二部份第二部份 解答題。1.已知抛物綫 y x2 4x 3 與 x 軸相交於 A、B 兩點，並且與 y 軸相交於 C 點。求 ABC 的面積。(8 分)答案:因為 x2 4x 3 (x 1)(x 3)，所以抛物綫的 x 截距位於 A(1,0)和 B(3,0)。因為該二次多項式的常數項是 3,所以抛物綫的 y 截距位於 C(0,3)(見右圖)。由上可知 ABC 是一個底長為 2(3 1)、高為 3 的一個三角形。ABC 的面積 1 2 2 3 3。2.把)1)(2(3xxx 化為部份分式。(8 分)答案:利用長除法，得)1)(2(231)1)(2(3xxxxxxx。)1)(2(23xxx 的部份分式為 12)1)(2(23xBxAxxx。通過比較等式兩邊的項，得 A 8 3 及 B 1 3。)1(31)2(381121)1)(2(31383xxxxxxxxx。3.A 袋有 4 個紅球、6 個黄球和 10 個綠球;B 袋 有 12 個紅球、4 個黄球和 4 個綠球。若在每個袋中隨機地抽出一個球，求以下各項的概率。(a)兩個球都是紅色的。(2 分)(b)兩個球都不是紅色的。(2 分)(c)最少有一個球是紅色的。(2 分)(d)兩個球都是紅色或兩個球都不是紅色的。(2 分)答案:(a)從 A、B 袋抽出紅球的概率分別為 4 20、12 20。從 A 袋抽球的事件顯然獨立於從 B 袋抽球的事件。本部份所求的概率 4 20 12 20 1 5 3 5 3 25。(b)從(a)得本部份所求的概率 511 531 8 25。(c)從(b)得本部份所求的概率 1 8 25 17 25。(d)由於(a)和(b)中的事件互斥，本部份所求的概率 3 25 8 25 11 25。A y B C x 夏越教育_联考专家 17/42 4.(a)利用圖解法解不等式組 17385yxyx。(4 分)(b)設 C 2x y，其中(x,y)是(a)中的不等式組的一個解。C 的極大值是甚麼？(4 分)答案:(a)題中的不等式組的圖解是 y 1 5 x 8 5 的下半平面和 y 3x 17 的下半平面的共同區域(包括邊界)，如下圖中的陰影部份所示。(b)設 L0 和 L1 分別代表直綫 2x y 0 和 2x y 6。從這兩條直綫的位置，可以看出將 L0 向右推會將 C 值增加；所以應將 L0 向右推，越遠越好，但要 L0 觸碰着圖中的陰影區域。從上圖可知 C 在 P 點達到極大化，這裏的 P 點是直綫 y 1 5 x 8 5 和 y 3x 17 的交點。解這兩個方程式得 P (11 2,1 2)。C 的極大值 2 11 2 1 2 23 2 11.5。-8-6-4-2 2 4 6 8 0-8-6-4-2 2 4 6 8 P L1 L0 x y 5851xy173 xy-8-6-4-2 2 4 6 8 0-8-6-4-2 2 4 6 8 x y 5851xy173 xy夏越教育_联考专家 18/42 5.(a)設 x 和 y 為整數。證明若 x y 及 y 都可被 6 整除，那麼 x 亦可被 6 整除。(2 分)(b)利用(a)及數學歸納法證明對所有正整數 n，4n3 3n2 5n 為 6 的倍數。(6 分)答案:(a)若 x y 及 y 都可被 6 整除，那麼存在整數 m 和 n 使得 x y 6m 及 y 6n。x (x y)y 6m 6n 6(m n)，此為 6 的倍數。証畢。(b)設 S(n)表示命題“4n3 3n2 5n 為 6 的倍數”。(i)由於 4 13 3 12 5 1 12 為 6 的倍數，S(1)成立。(ii)假設 S(k)對某正整數 k 成立，即假定 4k3 3k2 5k 可被 6 整除 -(1)從以下等式 4(k 1)3 3(k 1)2 5(k 1)(4k3 3k2 5k)4(k3 3k2 3k 1)3(k2 2k 1)5(k 1)(4k3 3k2 5k)4k3 12k2 12k 4 3k2 6k 3 5k 5 4k3 3k2 5k 12k2 18k 12 6(2k2 3k 2)得知 4(k 1)3 3(k 1)2 5(k 1)(4k3 3k2 5k)可被 6 整除 -(2)利用(2)、(1)和(a)就可斷定 4(k 1)3 3(k 1)2 5(k 1)可被 6 整除。換句話說，S(k 1)也成立。根據(i)、(ii)和數學歸納法原理，可知 S(n)對所有正整數 n 都成立。全卷完全卷完 夏越教育_联考专家 19/42 Joint Admission Examination for Four Higher Education Institutions in Macao(2017)Mathematics Mock Questions and Suggested Solutions Date:dd/mm/201x Time Allowed:2 Hours Instructions:1.This paper consists of 2 parts.Part I consists of 15 multiple choice questions,and Part II consists of 5 problem-solving questions.Answer all the questions.2.Part I carries a total of 60 marks.Each question of Part I carries 4 marks.Part II carries a total of 40 marks.Marks for each question of Part II are indicated at the end of the question.3.Answer all of the questions on the answer sheets.4.No dictionaries are allowed to be used.Calculators may be used.This paper consists of 6 pages(including this page)夏越教育_联考专家 20/42 Part IPart I Multiple choice questions.Choose the best answerbest answer for each question.1.As x increases from 4 to 3 4,the value of cos x A.always increases B.always decreases C.increases and then decreases D.decreases and then increases E.none of the above 2.The marked price of a watch