资源描述
排列、组合、二项式定理（教案）A
一、学问点梳理
1．排列、组合、二项式学问相互关系表
2．两个基本原理
（1）分类计数原理中的分类；
（2）分步计数原理中的分步；
正确地分类与分步是学好这一章的关键。
3．排列
（1）排列定义，排列数
（2）排列数公式：系 ==n·(n－1)…(n－m+1)；
（3）全排列列： =n!；
（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；
4．组合
（1）组合的定义，排列与组合的区分；
（2）组合数公式：Cnm==；
（3）组合数的性质
①Cnm=Cnn-m；②；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；
5．二项式定理
（1）二项式开放公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；
（2）通项公式：二项式开放式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；
6．二项式的应用
（1）求某些多项式系数的和；
（2）证明一些简洁的组合恒等式；
（3）证明整除性。①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简洁多项式的整除问题；
（4）近似计算。当|x|充分小时，我们常用下列公式估量近似值：
①(1+x)n≈1+nx；②(1+x)n≈1+nx+x2；（5）证明不等式。
二、题型探究
[探究一]：计数原理
例1．完成下列选择题与填空题
（1）有三个不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，则不同的投法有 种。
A．81 B．64 C．24 D．4
（2）四名同学争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是（ ）
A．81 B．64 C．24 D．4
（3）有四位同学参与三项不同的竞赛，
①每位同学必需参与一项竞赛，则有不同的参赛方法有 ；
②每项竞赛只许有一位同学参与，则有不同的参赛方法有 ；
③每位同学最多参与一项竞赛，每项竞赛只许有一位同学参与，则不同的参赛方法有 。
例2．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。
[探究二]：排列问题
例3．（1）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）
（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个
（2）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（ ）
（A）108种 （B）186种 （C）216种 （D）270种
（3）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的全部全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是（ ）
A．6 B. 12 C. 18 D. 24
（4）高三（一）班学要支配毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出挨次，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）
（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040
例4．（1）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）；
（2）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必需播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
[探究三]：组合问题
例5．（1）将5名实习老师支配到高一班级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的支配方案有（ ）
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
（2）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
例6．（1）某校从8名老师中选派4名老师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有 种；
（2）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
[探究四]：排列、组合的综合问题
例7．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线相互平行。求：（1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。（2）这些直线交成多少个三角形。
例8．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。
[探究五]：二项式定理
例9．（1）（湖北卷）在的开放式中，的幂的指数是整数的项共有
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
（2）的开放式中含x的正整数指数幂的项数是
（A）0 （B）2 （C）4 （D）6
例10．（1）在（x－）2006 的二项开放式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（ ）
A.23008 B.－23008 C.23009 D.－23009
（2）已知的开放式中第三项与第五项的系数之比为－,其中=－1，则开放式中常数项是（ ）
(A)－45i (B) 45i (C) －45 (D)45
（3）若多项式
（ ）
(A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10
[探究六]：二项式定理的应用
例11．证明下列不等式：
（1）≥（）n,（a、b∈{x|x是正实数},n∈N）;
（2）已知a、b为正数，且+=1，则对于n∈N有
（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1。
例12．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余数；
（2）7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9，得余数是多少？
（3）依据下列要求的精确度，求1.025的近似值。①精确到0.01；②精确到0.001。
三、方法提升
1.用二项式定理来处理余数问题或整除问题时，通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理开放推得所求结论；
2.用二项式定理来求近似值，可以依据不同精确度来确定应当取到开放式的第几项。
3.解排列组合应用题的基本规律
1．分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。
2．将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。
3．对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：
（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；
（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；
（3）整体排解法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。
4．对解组合问题，应留意以下三点：
（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；
（2）是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；
（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在。
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题
1、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
2、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
3、6. 开放式中不含项的系数的和为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
4、（10）某单位拟支配6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天支配2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的支配方法共有
（A）30种 （B）36种
（C）42种 （D）48种
5、（1）的开放式中的系数为
（A）4 （B）6
（C）10 （D）20
6、 (9)某单位支配7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的支配方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
7、（4）8名同学和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A） （B） （C） （D）
8、（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
9、 (10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种
10、（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则推断框内可填写
(A)i＜3? （B）i＜4?
（C）i＜5? （D）i＜6?
11、
12、 (5)的开放式 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
13、 (6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种
14、 (5)的开放式中x的系数是
(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
15、（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
（A）36 （B）32 （C）28 （D）24
16、6．现出名同学支听同时进行的个课外学问讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是
A． B. C. D.
17、7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15
18、（2010湖北理数）8、现支配甲、乙、丙、丁、戌5名同学参与上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参与。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同支配方案的种数是
A．152 B.126 C.90 D.548．
19．（，，）恒等于……………………………………（ ）
A． B． C． D．
20．的值为 （ ）
A． B． C． D．
21．与相等的是 （ ）．
A． B． C． D．
22．从4名男生和3名女生中选出4人参与迎新座谈会，若这4人中必需既有男生又有女生，不同的选法共有（ ）
A．140种 B． 120种 C．35种 D．34种
23．的二项开放式中，有理项共有 （ ）
A．项 B． 项 C． 项 D． 项
二、填空题
1．若对任意实数都有
，则 ．
2．在的开放式中，含的项的系数是__________．
3．用六个数字组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的六位数的个数是__________(用数字作答)．
4．在二项式的开放式中，第四项为_____________．
5．记为一个位正整数，其中都是正整数，．若对任意的正整数，至少存在另一个正整数，使得，则称这个数为“位重复数”．依据上述定义，“五位重复数”的个数为．____________．
6．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ．
7． 的开放式中常数项为 （用数字作答）．
8．设的开放式中含有非零常数项，则正整数的最小值为______________．
9．5位好友在节日期间互发信息问候，则所发送信息总数为 ．（用数字作答）
10．若，则 …… +的值是 ．
11．若二项式的开放式中的第6项是常数项，则n= ．
12．在的二项开放式中，若中间项的系数是，则实数 ．
13．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好
有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 ．
14．设为的最大值，则二项式开放式中含项的系数是 ．
15．在二项式的开放式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是 ．
16．的二项开放式中的系数为，则__________．
三、解答题
1．（本题满分14分）本题共4小题，第1、第2、第3小题每小题3分，第4小题5分。
杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学训练家、杨辉三角是杨辉的一大重要争辩成果，它的很多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中隐蔽了很多秀丽 的规律。下图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）若第n行中从左到右第14与第15个数
的比为，求n的值；
（3）若n阶（包括0阶）杨辉三角的全部数
的和；
（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，
6，10，15；第4斜列中，第5个数为35。
明显，1+3+6+10+15=35。事实上，一般地
有这样的结论：第m斜列中（从右上到左
下）前k个数之和，确定等于第m+1斜列中第k个数。试用含有m、k的数学公式表示上述结论，并赐予证明。
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