高中数学(北师大版)选修2-3教案：第1章-拓展资料：求展开式系数的六种常见类型.docx

求开放式系数的六种常见类型求开放式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求开放式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一 、型例1的开放式中项的系数是（ ）（A）840 （B）840 （C）210 （D）210解析：在通项公式中令=4，即得的开放式中项的系数为=840,故选A。 例2开放式中的系数为 。解析：通项公式 ，由题意得，则，故所求的系数为。评注：常用二项开放式的通项公式求二项开放式中某特定项的系数，由待定系数法确定的值。二 、型例3的开放式中整理后的常数项等于 .解析；的通项公式为,令，则,这时得的开放式中的常数项为=32, 的通项公式为,令，则,这时得的开放式中的常数项为=70，故的开放式中常数项等于。例4在的开放式中，含的项的系数是（ ）(A) (B) 5 (C) (D) 10解析：中的系数, 中的系数为,故的开放式中的系数为,故选D 。评注：求型如的开放式中某一项的系数，可分别开放两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三 、型例5的开放式中项的系数是 。解析：的开放式中、的系数分别为和，故的开放式中项的系数为+=1008。例6的开放式中的系数是（ ） （A ） （B ） （C ） （D） 略解：的开放式中、的系数分别为和,故 开放式中的系数为,故选B。评注：求型如的开放式中某一项的系数，可分别开放两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四 、型例7的开放式中整理后的常数项为 .解法一：=，通项公式, 的通项公式为,令，则，可得或或。当时，得开放式中项为；当时,，得开放式中项为；当时，得开放式中项为。综上，的开放式中整理后的常数项为。解法二：=，对于二项式中，要得到常数项需，即。所以，常数项为。解法三：是5个三项式相乘。常数项的产生有三种状况：在5个相乘的三项式中，从其中一个取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得；从其中两个取，从另外3个三项式中选两个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得；从5个相乘的三项式中取常数项相乘，可得=。综上，的开放式中整理后的常数项为。评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求开放式中的某特定项。五 、 型例8在的开放式中，项的系数是。（用数字作答）解析：由题意得项的系数为。例9在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的开放式中，含x3的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121解析：(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8=中的系数为，中的系数为,126+5= 121,故选D。评注：例8的解法是先求出各开放式中项的系数，然后再相加；例9则从整体动身，把原式看作首相为(1x)，公比为(1x)的等比数列的前4项和，用等比数列求和公式削减项数，简化了运算。例8和例9的解答方法是求的开放式中某特定项系数的两种常规方法。六 、求开放式中若干项系数的和或差例10若，则。(用数字作答)解析：在中，令，则，令，则故=2003+。例11，则的值为（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2解析：在中，令，可得，令，可得所以，=1,故选A。评注：求开放式中若干项系数的和或差常接受“赋值法”。赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赐予确定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特殊是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可削减运算量。