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十三 功和功率
1．(2021·江苏南京模拟)如图所示，两个相互垂直的恒力F1和F2作用在同一物体上，使物体发生一段位移后，力F1对物体做功为4 J，力F2对物体做功为 3 J，则力F1与F2的合力对物体做功为( )
A．1 J B．3.5 J C．5 J D．7 J
答案：D 解析：力F1与F2的合力对物体做功等于力F1和力F2对物体做功之和，即W合＝WF1＋WF2＝4 J＋3 J＝7 J，D正确．
2．如图所示，质量相同的物体分别自斜面AC和BC的顶端由静止开头下滑，物体与斜面间的动摩擦因数都相同，物体滑到斜面底部C点时的动能分别为Ek1和Ek2，下滑过程中克服摩擦力所做的功分别为W1和W2，则( )
A．Ek1>Ek2 W1<W2 B．Ek1>Ek2 W1＝W2
C．Ek1＝Ek2 W1>W2 D．Ek1<Ek2 W1>W2
答案：B 解析：设斜面的倾角为θ，斜面的底边长为 x，则下滑过程中克服摩擦力做的功为W＝μmgcos θ·x/cos θ＝μmgx，所以两种状况下克服摩擦力做的功相等．又由于B的高度比A低，所以由动能定理可知Ek1>Ek2.故选B.
3．(多选)如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开头下滑，在下滑过程中( )
A．A所受的合外力对A不做功
B．B对A的弹力做正功
C．B对A的摩擦力做正功
D．A对B不做功
答案：CD 解析：A、B一起沿固定的光滑斜面由静止开头下滑，设斜面倾角为θ，则加速度为gsin θ.由于A速度增大，由动能定理，A所受的合外力对A做正功，B对A的摩擦力做正功，B对A的弹力做负功，选项A、B错误，C正确．A对B不做功，选项D正确．
4．小明同学在暑假期间到一建筑工地进行社会实践活动，他通过连接在起重机上的电脑绘制出重物被起重机的钢索由地面吊到空中某一高度过程中的速度—时间图象如图所示，则钢索拉力的功率随时间变化的图象可能是下图中的哪一个( )
答案：A 解析：钢索拉力的功率P＝Fv，在0～t1内，重物做匀加速直线运动，F－mg＝ma，在该段时间内拉力不变，速度均匀增加，故拉力的功率均匀增大；在t1～t2内，重物匀速上升，拉力等于重力，在t1时刻拉力发生突变，拉力的功率减小，在t1～t2内拉力的功率不变；同样，在t2～t3段，拉力小于重力，且在t2时刻，拉力发生突变，拉力的功率随速度的减小而减小．故A正确．
5．如图所示，小球在水平拉力作用下，以恒定速率v沿竖直光滑圆轨由A点运动到B点，在此过程中拉力的瞬时功率变化状况是( )
A．渐渐减小
B．渐渐增大
C．先减小，后增大
D．先增大，后减小
答案：B 解析：小球速率不变，合力的功率为零，只有重力和F对小球做功，重力做负功，F做正功，依据速度方向与重力方向的变化关系，重力的瞬时功率越来越大，所以拉力的瞬时功率也越来越大，选项B正确。
6．质量分别为2m和m的A、B两种物体分别在水平恒力F1和F2的作用下沿水平面运动，撤去F1、F2后受摩擦力的作用减速到停止，其vt图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．F1、F2大小相等
B．F1、F2对A、B做功之比为2∶1
C．A、B受到的摩擦力大小相等
D．全过程中摩擦力对A、B做功之比为1∶2
答案：C 解析：设A加速时加速度大小为a，则减速时加速度大小为0.5a，B加速时加速度大小为0.5a，减速时加速度大小为a.依据牛顿其次定律，对A：F1－Ff1＝2ma，Ff1＝2m×0.5a，对B：F2－Ff2＝0.5ma，Ff2＝ma，解得F1＝3ma，F2＝1.5ma，Ff2＝Ff1，A错误，C正确；外力F1、F2做的功分别为：W1＝F1l1，W2＝F2l2，由图线围成的面积可知l1＝0.5l2，故W1∶W2＝1∶1，B错误；两物体运动位移相同，故摩擦力做功之比为Ff1l∶Ff2l＝1∶1，D错误．
7．如图所示，一质量为M、长为L的木板，放在光滑的水平地面上，在木板的右端放一质量为m的小木块，用一根不行伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与m、M连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开头时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F作用在M上，将m拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为( )
A．2μmgL B.μmgL
C．μ(M＋m)gL D．μmgL
答案：D 解析：在拉力F的作用下，m、M缓慢匀速运动，使m被拉到木板的左端的过程中，拉力做功最少，设此时绳的拉力为FT，则FT＝μmg，FT＋μmg＝F，当m到达M左端时，M向右运动的位移为，故拉力做功W＝F·＝μmgL，故D正确．
8．质量为2 kg的物体，放在动摩擦因数为μ＝0.1的水平面上，在水平拉力F的作用下，由静止开头运动，拉力做的功W和物体发生的位移x之间的关系如图所示，取g＝10 m/s2，下列说法中正确的是( )
A．此物体在AB段做匀加速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为15 W
B．此物体在AB段做匀速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为6 W
C．此物体在AB段做匀加速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为6 W
D．此物体在AB段做匀速直线运动，且整个过程中拉力的最大功率为15 W
答案：D 解析：由题图知前3 m位移内拉力大小为5 N，摩擦力大小为f＝μmg＝2 N，依据牛顿其次定律可得加速度a＝1.5 m/s2，所用时间t＝＝2 s，末速度为3 m/s；后6 m位移内拉力大小等于2 N，与摩擦力等大反向，所以物体在AB段做匀速直线运动，整个过程中拉力的最大功率为Pm＝Fmvm＝15 W，D对．
9．(多选)如图是利用太阳能驱动的小车，若小车在平直的水泥路上从静止开头加速行驶，经过时间t前进距离s，速度达到最大值vm，在这一过程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为F，那么这段时间内( )
A．小车做匀加速运动
B．电动机所做的功为Pt
C．电动机所做的功为mv
D．电动机所做的功为Fs＋mv
答案：BD 解析：对小车由牛顿其次定律得－F＝ma，由于小车的速度渐渐增大，故小车加速度渐渐减小，小车做加速度渐渐减小的加速运动，A错误；电动机对小车所做的功W＝Pt，B正确；对小车由动能定理得W－Fs＝mv，解得W＝Fs＋mv，C错误，D正确．
10．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开头向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，求：
(1)4 s末F的功率是多大？
(2)4 s内F的平均功率是多大？(取g＝10 m/s2)
答案：(1)42 W (2)21 W
解析：由vt图象可知a＝0.5 m/s2
由2F－mg＝ma知F＝ N
4 s末物体速度为2 m/s
力F作用点速度vF＝4 m/s
4 s末F的功率为P＝FvF＝×4 W＝42 W
4 s内的平均功率为＝F＝×2 W＝21 W.
11．某爱好小组对一辆自制遥控小车的性能进行争辩．他们让这辆小车在水平地面上由静止开头运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的vt图象(除2～10 s时间段图象为曲线外，其余时间段图象均为直线)，已知在小车的运动过程中，2～14 s时间内小车牵引力的功率保持不变，14 s末停止遥控让小车自由滑行，小车的质量m＝1.0 kg，可以认为小车在整个过程中受到的阻力大小不变．求：
(1)小车所受阻力f的大小；
(2)小车匀速行驶阶段的功率P；
(3)小车在加速运动过程中位移s的大小．
答案：(1)1.5 N (2)9 W (3)42 m
解析：(1)在14 s末撤去牵引力后，小车只在阻力f作用下做匀减速运动，设其加速度大小为a4.
由图象可得a4＝1.5 m/s2
由牛顿其次定律得f＝ma4＝1.5 N
(2)小车在10～14 s阶段内做匀速运动，设牵引力为F3
由平衡条件得F3＝f
由图象可知vm＝6 m/s
由功率公式有P＝F3vm＝1.5×6 W＝9 W
(3)小车的加速运动过程可以分为匀加速和变加速两段，对应的位移分别设为s1和s2，设在第一段时间内的加速度大小为a1
a1＝＝1.5 m/s2
s1＝a1t＝3 m
(直接写出s1＝t1＝3 m也对)
在其次段内由动能定理可得P(t2－t1)－fs2＝mv－mv
代入数据解得s2＝39 m，则s＝s1＋s2＝42 m
12．一辆汽车质量为1×103 kg，最大功率为2×104 W，在水平路面由静止开头做直线运动，最大速度为v2，运动中汽车所受阻力恒定．发动机的最大牵引力为3×103 N，其行驶过程中牵引力F与车速的倒数的关系图象如图所示．
(1)依据图线ABC推断汽车做什么运动？
(2)求图中B点对应的速度v1的大小．
(3)求汽车做匀加速直线运动过程中的加速度．
(4)当汽车的速度为5 m/s时发动机的功率为多大？
答案：(1)见解析 (2)6.67 m/s (3)2 m/s2 (4)1.5×104 W
解析：(1)图线AB段牵引力F不变，阻力f不变，汽车做匀加速直线运动；图线BC段的斜率表示汽车的功率P，由于图线BC段为倾斜直线，斜率不变，功率P不变，则汽车做加速度减小的变加速直线运动，直至达到最大速度v2，此后汽车做匀速直线运动．
(2)在B点时汽车达到最大功率，牵引力为F＝3×103 N
v1＝＝ m/s＝6.67 m/s.
(3)汽车在运动过程中所受阻力恒定，为
f＝＝ N＝1 000 N
则汽车做匀加速直线运动的加速度为
a＝＝ m/s2＝2 m/s2.
(4)当汽车的速度为5 m/s时，处于图线AB段，此时汽车做匀加速直线运动，牵引力F＝3 000 N
故此时的功率为P＝Fv＝3 000×5 W＝1.5×104 W.
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