广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)知识交流.doc

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除2017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（1+i）2+的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i2若集合M=x|x|1，N=y|y=x2，|x|1，则（）AM=NBMNCNMDMN=3已知等比数列an的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）ABCD4阅读如图的程序框图若输入n=5，则输出k的值为（）A2B3C4D55已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A1B13C4或10D1或136如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）ABCD7五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）ABCD8已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A（，1）B（，1）C（0，）D（0，）9已知p：x0，exax1成立，q：函数f（x）=（a1）x是减函数，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A8B12C20D2411若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（）ABCD12已知函数f（x）=x3，则的值为（）A0B504C1008D2016二、填空题：本小题共4题，每小题5分13已知|=1，|=，且（），则向量与向量的夹角是14（3x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为（用数字填写答案）15已知函数f（x）=，若|f（a）|2，则实数a的取值范围是16设Sn为数列an的前n项和，已知a1=2，对任意p、qN*，都有ap+q=ap+aq，则f（n）=（nN*）的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在ABC中，点P在BC边上，PAC=60，PC=2，AP+AC=4（） 求ACP；（） 若APB的面积是，求sinBAP18近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次（） 根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2k）0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.63519如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体（） 求证：AB平面ADC；（） 若AD=1，二面角CABD的平面角的正切值为，求二面角BADE的余弦值20过点P（a，2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）（） 证明：x1x2+y1y2为定值；（） 记PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由21已知函数f（x）=lnx+（） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（） 证明：当a，b1时，f（lnb）选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：=2cos（）（） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+a1|+|x2a|（） 若f（1）3，求实数a的取值范围；（） 若a1，xR，求证：f（x）22017年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（1+i）2+的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】解：（1+i）2+=2i+=2i+1i=1+i的共轭复数是1i故选：B2若集合M=x|x|1，N=y|y=x2，|x|1，则（）AM=NBMNCNMDMN=【考点】集合的表示法【分析】化简N，即可得出结论【解答】解：由题意，N=y|y=x2，|x|1=y|0y1，NM，故选C3已知等比数列an的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）ABCD【考点】等比数列的通项公式【分析】设等比数列an的公比为q，且q0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值【解答】解：设等比数列an的公比为q，且q0，a3，成等差数列，则，化简得，q2q1=0，解得q=，则q=，=，故选A4阅读如图的程序框图若输入n=5，则输出k的值为（）A2B3C4D5【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量k，n的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1； 第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2； 第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3； 第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选：B5已知双曲线C的一条渐近线方程为2x+3y=0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=7，则|PF2|等于（）A1B13C4或10D1或13【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|【解答】解：由双曲线的方程、渐近线的方程可得=，a=3由双曲线的定义可得|PF2|7|=6，|PF2|=1或13，故选C6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥PABCD，作出图形，可得结论【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥PABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D故选：D7五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来； 若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率【解答】解：五个人的编号为1，2，3，4，5由题意，所有事件，共有25=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3），（4），（5），（1，3），（1，4），（2，4），（2，5），（3，5），再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，没有相邻的两个人站起来的概率为，故选：C8已知F1，F2分别是椭圆C： +=1（ab0）的左、右焦点，椭圆C上存在点P使F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A（，1）B（，1）C（0，）D（0，）【考点】椭圆的简单性质【分析】由F1PF2为钝角，得到0有解，转化为c2x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得椭圆离心率的取值范围【解答】解：设P（x0，y0），则|x0|a，又F1（c，0），F2（c，0），又F1PF2为钝角，当且仅当0有解，即（cx0，y0）（cx0，y0）=（cx0）（cx0）+y020，即有c2x02+y02有解，即c2（x02+y02）min又y02=b2x02，x02+y02=b2+x02b2，a2），即（x02+y02）min=b2故c2b2，c2a2c2，即e，又0e1，e1故选：A9已知p：x0，exax1成立，q：函数f（x）=（a1）x是减函数，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用导数研究p的单调性可得a0q：函数f（x）=（a1）x是减函数，则a11，解得a2即可判断出结论【解答】解：p：x0，exax1成立，则a，令f（x）=，则f（x）=令g（x）=exxex+1，则g（0）=0，g（x）=xex0，g（x）0，f（x）0，a0q：函数f（x）=（a1）x是减函数，则a11，解得a2则p是q的必要不充分条件故选：B10九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A8B12C20D24【考点】球的体积和表面积【分析】由题意，PC为球O的直径，求出PC，可得球O的半径，即可求出球O的表面积【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC=2，球O的半径为，球O的表面积为45=20，故选C11若直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），且|x1x2|=，则线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积是（）ABCD【考点】正弦函数的图象【分析】根据直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），求解x1，x2的值，利用定积分即可求解线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积【解答】解：函数f（x）=2sin2x，周期T=，令2sin2x=1，解得：x=或，直线y=1与函数f（x）=2sin2x的图象相交于点从左向右依次是，|x1x2|=令x1=，x2=，可得：线段PQ与函数f（x）的图象所围成的图形面积S=22=故选A12已知函数f（x）=x3，则的值为（）A0B504C1008D2016【考点】数列的求和【分析】使用二项式定理化简得f（x）（x）3+根据与互为相反数便可得出答案【解答】解：f（x）=x3=x3x2+x+=（x）3+=0，k=1，2，2016（）3+（）3=0，k=1，2，2016=504故选：B二、填空题：本小题共4题，每小题5分13已知|=1，|=，且（），则向量与向量的夹角是【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cos的值，可得向量与向量的夹角的值【解答】解：设向量与向量的夹角是，则由题意可得（）=11cos=0，求得cos=，可得=，故答案为：14（3x）n的展开式中各项系数和为64，则x3的系数为540（用数字填写答案）【考点】二项式系数的性质【分析】令x=1，则2n=64，解得n=6再利用通项公式即可得出【解答】解：令x=1，则2n=64，解得n=6（3x）6的通项公式为：Tr+1=（1）r36rxr，令r=3，则x3的系数为=540故答案为：54015已知函数f（x）=，若|f（a）|2，则实数a的取值范围是【考点】函数的值【分析】根据解析式对a分类讨论，分别列出不等式后，由指数、对数函数的性质求出实数a的取值范围【解答】解：由题意知，f（x）=，当a0时，不等式|f（a）|2为|21a|2，则21a2，即1a1，解得a0；当a0时，不等式|f（a）|2为，则或，即或，解得0a或a8；综上可得，实数a的取值范围是，故答案为：16设Sn为数列an的前n项和，已知a1=2，对任意p、qN*，都有ap+q=ap+aq，则f（n）=（nN*）的最小值为【考点】数列的求和【分析】对任意p、qN*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则an=2，利用等差数列的求和公式可得Snf（n）=n+1+1，令g（x）=x+（x1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出【解答】解：对任意p、qN*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则an=2，数列an是等差数列，公差为2Sn=2n+=n+n2则f（n）=n+1+1，令g（x）=x+（x1），则g（x）=1=，可得x1，时，函数g（x）单调递减；x时，函数g（x）单调递增又f（7）=14+，f（8）=14+f（7）f（8）f（n）=（nN*）的最小值为故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在ABC中，点P在BC边上，PAC=60，PC=2，AP+AC=4（） 求ACP；（） 若APB的面积是，求sinBAP【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（） 在APC中，由余弦定理得AP24AP+4=0，解得AP=2，可得APC是等边三角形，即可得解（） 法1：由已知可求APB=120利用三角形面积公式可求PB=3进而利用余弦定理可求AB，在APB中，由正弦定理可求sinBAP=的值法2：作ADBC，垂足为D，可求：，利用三角形面积公式可求PB，进而可求BD，AB，利用三角函数的定义可求，利用两角差的正弦函数公式可求sinBAP=sin（BAD30）的值【解答】（本题满分为12分）解：（） 在APC中，因为PAC=60，PC=2，AP+AC=4，由余弦定理得PC2=AP2+AC22APACcosPAC，所以22=AP2+（4AP）22AP（4AP）cos60，整理得AP24AP+4=0，解得AP=2所以AC=2所以APC是等边三角形所以ACP=60（） 法1：由于APB是APC的外角，所以APB=120因为APB的面积是，所以所以PB=3在APB中，AB2=AP2+PB22APPBcosAPB=22+32223cos120=19，所以在APB中，由正弦定理得，所以sinBAP=法2：作ADBC，垂足为D，因为APC是边长为2的等边三角形，所以因为APB的面积是，所以所以PB=3所以BD=4在RtADB中，所以，所以sinBAP=sin（BAD30）=sinBADcos30cosBADsin30=18近年来，我国电子商务蓬勃发展.2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次（） 根据已知条件完成下面的22列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200（） 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望EX附：K2=（其中n=a+b+c+d为样本容量）P（K2k）0.150.100.050.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635【考点】独立性检验的应用【分析】（）利用数据直接填写联列表即可，求出X2，即可回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关；（）由题意可得X的可能值，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望【解答】解：（） 22列联表：对服务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计15050200，因为11.1116.635，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”（） 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3；X的分布列为：X0123P所以19如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体（） 求证：AB平面ADC；（） 若AD=1，二面角CABD的平面角的正切值为，求二面角BADE的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）证明DCABADAB即可得AB平面ADC（） 由（）知AB平面ADC，即二面角CABD的平面角为CAD二面角CABD的平面角的正切值为，解得AB，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，求出平面BAD的法向量，平面ADE的法向量，即可得二面角BADE的余弦值【解答】解：（） 因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，又BDDC，所以DC平面ABD因为AB平面ABD，所以DCAB又因为折叠前后均有ADAB，DCAD=D，所以AB平面ADC（） 由（）知AB平面ADC，所以二面角CABD的平面角为CAD又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD依题意因为AD=1，所以设AB=x（x0），则依题意ABDBDC，所以，即解得，故如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），所以，由（）知平面BAD的法向量设平面ADE的法向量由得令，得，所以所以由图可知二面角BADE的平面角为锐角，所以二面角BADE的余弦值为20过点P（a，2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）（） 证明：x1x2+y1y2为定值；（） 记PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由【考点】直线与抛物线的位置关系【分析】（） 求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知则x1，x2是方程x22ax8=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由=0，则k1k2=2，分别求得切线方程，代入即可求证x1x2+y1y2为定值；（） 直线PA的垂直平分线方程为，同理求得直线PB的垂直平分线方程，求得M坐标，抛物线C的焦点为F（0，1），则，则则以PM为直径的圆恒过点F【解答】解：（）证明：法1：由x2=4y，得，所以所以直线PA的斜率为因为点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线C上，所以，所以直线PA的方程为因为点P（a，2）在直线PA上，所以，即同理，所以x1，x2是方程x22ax8=0的两个根所以x1x2=8又，所以x1x2+y1y2=4为定值法2：设过点P（a，2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（xa），消去y得x24kx+4ka+8=0，由=16k24（4ak+8）=0，化简得k2ak2=0所以k1k2=2由x2=4y，得，所以所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为所以，即x1x2=8又，所以x1x2+y1y2=4为定值（） 法1：直线PA的垂直平分线方程为，由于，所以直线PA的垂直平分线方程为同理直线PB的垂直平分线方程为由解得，所以点抛物线C的焦点为F（0，1），则由于，所以所以以PM为直径的圆恒过点F另法：以PM为直径的圆的方程为把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解所以以PM为直径的圆恒过点F法2：设点M的坐标为（m，n），则PAB的外接圆方程为（xm）2+（yn）2=（ma）2+（n+2）2，由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，则，两式相减得（x1x2）（x1+x22m）+（y1y2）（y1+y22n）=0，由（）知，代入上式得，当x1x2时，得8a4m+a32an=0，假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（m，n1）（a，3）=0，得ma3（n1）=0，由解得，所以点当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）所以以PM为直径的圆恒过点F21已知函数f（x）=lnx+（） 若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（） 证明：当a，b1时，f（lnb）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=xlnx，令g（x）=xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（）法1：函数的定义域为（0，+）由，得因为a0，则x（0，a）时，f（x）0；x（a，+）时，f（x）0所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增当x=a时，f（x）min=lna+1当lna+10，即0a时，又f（1）=ln1+a=a0，则函数f（x）有零点所以实数a的取值范围为法2：函数的定义域为（0，+）由，得a=xlnx令g（x）=xlnx，则g（x）=（lnx+1）当时，g（x）0； 当时，g（x）0所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减故时，函数g（x）取得最大值因而函数有零点，则所以实数a的取值范围为（）证明：令h（x）=xlnx+a，则h（x）=lnx+1当时，f（x）0；当时，f（x）0所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增当时，于是，当a时，令（x）=xex，则（x）=exxex=ex（1x）当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0所以函数（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减当x=1时，于是，当x0时，显然，不等式、中的等号不能同时成立故当x0，时，xlnx+axex因为b1，所以lnb0所以lnbln（lnb）+alnbelnb所以，即选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：=2cos（）（） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（） 求曲线C上的点到直线l的距离的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（） 将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将cos=x，sin=y，2=x2+y2，带入=2cos（）可得曲线C的直角坐标方程（）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值法二：设与直线l平行的直线为l：x+y+b=0，当直线l与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值【解答】解：（） 由直线l的参数方程消去t参数，得x+y4=0，直线l的普通方程为x+y4=0由=得2=2cos+2sin将2=x2+y2，cos=x，sin=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x1）2+（y1）2=2（） 法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为=当时，曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l：x+y+b=0当直线l与圆C相切时，得，解得b=0或b=4（舍去）直线l的方程为x+y=0那么：直线l与直线l的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+a1|+|x2a|（） 若f（1）3，求实数a的取值范围；（） 若a1，xR，求证：f（x）2【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（）基本基本不等式的性质证明即可【解答】解：（） 因为f（1）3，所以|a|+|12a|3当a0时，得a+（12a）3，解得，所以； 当时，得a+（12a）3，解得a2，所以； 当时，得a（12a）3，解得，所以； 综上所述，实数a的取值范围是（） 因为a1，xR，所以f（x）=|x+a1|+|x2a|（x+a1）（x2a）|=|3a1|=3a122017年3月25日只供学习与交流