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统计案例
1．题型既有选择、填空题，也有解答题．主要考查回归直线方程的求解与应用、独立性检验中K2与相关系数的求解与推断．
2．对独立性检验问题要精确 记忆K2公式中各字母的意义并精确 计算．解决线性回归分析问题的关键是利用“一点一式”求方程，即利用数据的“中心点”和已知的公式．计算的精确 性是解决此类问题最基本的要求．
[例1] (重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
(2)推断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，猜想该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y＝bx＋a中，b＝，a＝－b，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为
＝x＋.
[解] (1)由题意知n＝10，＝xi＝＝8，＝yi＝＝2.
又x－n2＝720－10×82＝80，xiyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此可得b＝＝＝0.3，a＝－b＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以猜想该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
1．(福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名．为争辩工人的日平均生产量是否与年龄有关，现接受分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你依据已知条件完成2×2列联表，并推断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
附：χ2＝
解：(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.从中随机抽取2名工人，全部的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝
＝＝≈1.79.
由于1.79<2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
合情推理与演绎推理
1．题型多为选择题、填空题，主要考查归纳推理和类比推理，以及同学分析问题、解决问题的力气和规律推理力气．
2．解决此类问题应重点关注以下两点：
(1)要生疏归纳推理、类比推理、演绎推理的一般原理、步骤、格式，搞清合情推理与演绎推理的联系与区分；
(2)要把握归纳推理、类比推理、演绎推理的基本应用，在给定的条件下，能够运用归纳推理、类比推理获得新的一般结论，能够运用演绎推理对数学问题进行严格的证明.
[例2] (1)(陕西高考)观看下列等式
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
……
照此规律，第n个等式可为________．
(2)(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家争辩过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数 N(n,3)＝n2＋n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝n2－n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n，
……
可以推想N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.
(3)对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图1所示的几何图形，其面积S1＝；其次步，将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图2所示的几何图形，其面积S2＝2；依此类推，到第n步，所得图形的面积Sn＝n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积Vn＝________.
[解析] (1)观看规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.
(2)N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以为首项，为公差的等差数列；数列{bk}是以为首项，－为公差的等差数列；所以N(n,24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10,24)＝11×102－10×10＝1 000.
(3)类比到空间中，第一步，将棱长为1的正方体分割成3×3×3＝27个相等的小正方体，接着取含正方体中心的那个小正方体和棱长为1的正方体的八个顶点处的8个小正方体，所得几何体的体积V1＝＝；其次步，将第一步中的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，所得几何体的体积V2＝2；依此类推，到第n步，所得几何体的体积Vn＝n.
[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 (2)1 000 (3)n
2．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四周体的内切球切于四个侧面( )
A．各正三角形内任一点
B．各正三角形的某高线的中点
C．各正三角形的中心
D．各正三角形外的某点
解析：选C 正三角形的边对应正四周体的面(正三角形)，所以边的中点对应的就是正四周体各面(正三角形)的中心．
3．下面的数组均由三个数组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．
(1)请写出cn的一个表达式，cn＝________；
(2)若数列{cn}的前n项和为Mn，则M10＝______.(用数字作答)
解析：(1)通过观看归纳，得an＝n，bn＝2n，cn＝an＋bn＝n＋2n.
(2)M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)＝2 101.
答案：n＋2n 2 101
直接证明与间接证明
1．题型多为解答题，难度为中、高档．主要考查利用直接证明和间接证明解决数列，三角恒等式，立体几何中的平行、垂直，不等式，解析几何等问题．
2．解决此类问题，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，生疏三种方法适用于解决问题的类型，同时也要加强训练，达到熟能生巧、有效运用它们的目的．
[例3]某同学在一次争辩性学习中发觉，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)依据(1)的计算结果，将该同学的发觉推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解] (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)法一：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二：三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.
4．设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．
(1)求数列{an}的公比；
(2)证明：对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
解：(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3.
由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.
(2)法一：对任意k∈N*，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)
＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1
＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0.
所以，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．
法二：对任意k∈N*,2Sk＝，
Sk＋2＋Sk＋1＝＋
＝，
2Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－
＝[2(1－qk)－(2－qk＋2－qk＋1)]
＝(q2＋q－2)＝0.
因此，对任意k∈N*，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列.
复 数
1．题型多为选择题，主要考查对复数概念的理解以及复数的加、减、乘、除四则运算．
2．解决此类问题要明确复数的分类及复数运算、把握化归思想，设出复数z的代数形式，即复数问题实数化．
[例4] (1)(新课标全国卷Ⅰ)若复数z满足 (3－4i)·z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D.
(2)(山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
(3)(广东高考)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是( )
A．(2,4) B．(2，－4)
C．(4，－2) D．(4,2)
[解析] (1)由于|4＋3i|＝ ＝5，所以已知等式为(3－4i)z＝5，即z＝＝＝＝＝＋i，所以复数z的虚部为，选择D.
(2)由(z－3)(2－i)＝5，得z＝3＋＝3＋＝3＋2＋i＝5＋i，所以＝5－i.
(3)由iz＝2＋4i，可得z＝＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标是(4，－2)．
[答案] (1)D (2)D (3)C
5．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A z＝5i(3－4i)＝20＋15i，则复数对应的点在第一象限．
6．已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝( )
A．2 B．－2
C．±2 D．－
解析：选B 由题意可知：＝＝＝－i＝－＋i，因此＝－，化简得5a2－5＝3a2＋3，a2＝4，则a＝±2，由－＝可知a＜0，仅有a＝－2满足.
框 图
1．题型为选择题、填空题．主要考查基本学问和技能，如对条件结构和循环结构的机敏应用或补全程序框图．
2．在画框图时，需要有较高的抽象概括力气和规律思维力气，要生疏事物的来龙去脉，从头至尾抓住主要脉络进行分解，弄清各步的规律关系．
[例5] (1)(新课标全国卷Ⅱ)执行右面的程序框图，假如输入的N＝4，那么输出的S＝( )
A．1＋＋＋
B．1＋＋＋
C．1＋＋＋＋
D．1＋＋＋＋
(2)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为________．
[解析] (1)按程序框图逐步计算可知：S＝1＋＋＋.
(2)最短路线为，总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.
[答案] (1)C (2)16
7．(安徽高考)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 第一次循环后：s＝0＋，n＝4；其次次循环后：s＝0＋＋，n＝6；第三次循环后：s＝0＋＋＋，n＝8，跳出循环，输出s＝0＋＋＋＝.
8．(江西高考)阅读如下程序框图，假如输出i＝4，那么空白的推断框中应填入的条件是( )
A．S＜8 B．S＜9
C．S＜10 D．S＜11
解析：选B i＝1，S＝0→i＝1＋1＝2→i不是奇数→S＝2×2＋1＝5→符合条件→i＝2＋1＝3→i是奇数→S＝2×3＋2＝8→符合条件→i＝3＋1＝4→i不是奇数→S＝2×4＋1＝9→不符合条件→输出i＝4→结束．依据以上步骤，知应填入条件S＜9.
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