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专练18 应用动力学和能量观点解决力电综合问题
1．如图1所示，A、B为半径R＝1 m的四分之一光滑绝缘竖直圆弧轨道，在四分之一圆弧区域内存在着E＝1×106 V/m、竖直向上的匀强电场，有一质量m＝1 kg、带电荷量q＝＋1.4×10－5C的物体(可视为质点)，从A点的正上方距离A点H处由静止开头自由下落(不计空气阻力)，BC段为长L＝2 m、与物体间动摩擦因数μ＝0.2的粗糙绝缘水平面，CD段为倾角θ＝53°且离地面DE高h＝0.8 m的斜面．(取g＝10 m/s2)
图1
(1)若H＝1 m，物体能沿轨道AB到达最低点B，求它到达B点时对轨道的压力大小；
(2)通过你的计算推断：是否存在某一H值，能使物体沿轨道AB经过最低点B后最终停在距离B点0.8 m处；
(3)若高度H满足：0.85 m≤H≤1 m，请通过计算表示出物体从C处射出后打到的范围．(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.不需要计算过程，但要有具体的位置，不争辩物体反弹以后的状况)
解析 (1)物体由初始位置运动到B点的过程中依据动能定理有mg(R＋H)－qER＝mv
到达B点时由支持力FN、重力、电场力的合力供应向心力FN－mg＋qE＝m，解得FN＝8 N
依据牛顿第三定律，可知物体对轨道的压力大小为8 N，方向竖直向下
(2)要使物体沿轨道AB到达最低点B，当支持力为0时，最低点有个最小速度v，则qE－mg＝m
解得v＝2 m/s
在粗糙水平面上，由动能定理得：－μmgx＝－mv2
所以x＝1 m>0.8 m
故不存在某一H值，使物体沿着轨道AB经过最低点B后，停在距离B点0.8 m处．
(3)在斜面上距离D点 m范围内(如图PD之间区域)
在水平面上距离D点0.2 m范围内(如图DQ之间区域)
答案 (1)8 N (2)不存在
(3)在斜面上距离D点m范围内 在水平面上距离D点0.2 m范围内
2．如图2所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高为h的A处由静止开头下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动．已知小球所受电场力是其重力的，圆环半径为R，斜面倾角为θ＝60°，sBC＝2R.若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h至少为多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图2
解析 小球所受的重力和电场力都为恒力，故可将两力等效为一个力F，如图所示．可知F＝1.25mg，方向与竖直方向成37°角．由图可知，小球做完整的圆周运动的临界点是D点，设小球恰好能通过D点，即达到D点时圆环对小球的弹力恰好为零．
由圆周运动学问得：F＝m，
即：1.25mg＝m
由动能定理有：
mg(h－R－Rcos 37°)－mg×(hcot θ＋2R＋Rsin 37°)＝mv
联立解得h＝7.7R.
答案 7.7R
3．如图3甲所示，固定于水平桌面上的金属导轨abcd足够长，金属棒ef搁在导轨上，可无摩擦地滑动，此时bcfe构成一个边长为l的正方形．金属棒的电阻为r，其余部分的电阻不计．在t＝0的时刻，导轨间加一竖直向下的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，为使金属棒ef在0～t1保持静止，在金属棒ef上施加一水平拉力F，从t1时刻起保持此时的水平拉力F不变，金属棒ef在导轨上运动了距离s后刚好达到最大速度，求：
图3
(1)在t＝时刻该水平拉力F的大小和方向；
(2)金属棒ef在导轨上运动的最大速度；
(3)从t＝0开头到金属棒ef达到最大速度的过程中，金属棒ef中产生的热量．
解析 (1)时刻，E＝S＝
F安＝·I·l＝··l＝，方向水平向左．
所以外力F的大小为，方向水平向右．
(2)当金属棒的速度最大时
E′＝B1lvm，F安′＝B1·l
此时F′＝
当金属棒的速度最大时F′＝F安′
即＝B1·l
所以vm＝
(3)金属棒静止时I1＝，Q1＝Irt1＝
金属棒从开头运动到最大速度阶段由能量守恒得
Q2＝Fs－mv＝·s－m()2＝－
所以，全过程产生的焦耳热
Q＝Q1＋Q2＝－
答案 (1) 方向水平向右
(2) (3)－.
4. 如图4甲所示，在真空中足够大的绝缘水平地面上，一个质量为m＝0.2 kg，带电荷量为q＝＋2.0×10－6C的小物块处于静止状态，小物块与地面间的动摩擦因数μ＝0.1.从t＝0时刻开头，空间加上一个如图乙所示的场强大小和方向呈周期性变化的电场(取水平向右的方向为正方向，g＝10 m/s2)，求：
图4
(1)23 s内小物块的位移大小．
(2)23 s内电场力对小物块所做的功．
解析 (1)0～2 s内小物块的加速度
a1＝＝2 m/s2
位移s1＝a1t＝4 m
2 s末的速度为v2＝a1t1＝4 m/s
2～4 s内小物块的加速度
a2＝＝－2 m/s2
位移s2＝s1＝4 m,4 s末小物块的速度为v4＝0
因此小物块做周期为4 s的匀加速和匀减速运动
第22 s末的速度为v22＝4 m/s，第23 s末的速度
v23＝v22＋a2t＝2 m/s(t＝1 s)
所求位移为s＝s1＋t＝47 m.
(2)23 s内，设电场力对小物块所做的功为W，由动能定理得W－μmgs＝mv
解得W＝9.8 J.
答案 (1)47 m (2)9.8 J
5. (2022·天津卷，21)如图5所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.4 m．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面对下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面对上，两磁场的磁感应强度大小均为B＝0.5 T．在区域Ⅰ中，将质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.1 Ω 的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m2＝0.4 kg，电阻R2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开头下滑．cd在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab、cd始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g＝10 m/s2，问：
图5
(1)cd下滑的过程中，ab中的电流方向；
(2)ab刚要向上滑动时，cd的速度v多大；
(3)从cd开头下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距离x＝3.8 m，此过程中ab上产生的热量Q是多少．
解析 (1)依据右手定则判知cd中电流方向由d流向c，故ab中电流方向由a流向b.
(2)开头放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大摩擦力，设其为Fmax，有Fmax＝m1gsin θ
①
设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律有E＝BLv
②
设电路中的感应电流为I，由闭合电路欧姆定律有
I＝
③
设ab所受安培力为F安，有F安＝BIL
④
此时ab受到的最大摩擦力方向沿斜面对下，由平衡条件有F安＝m1gsin θ＋Fmax
⑤
联立①②③④⑤式，代入数据解得：v＝5 m/s
⑥
(3)设cd棒的运动过程中电路中产生的总热量为Q总，由能量守恒定律有m2gxsin θ＝Q总＋m2v2
⑦
由串联电路规律有Q＝Q总
⑧
联立解得：Q＝1.3 J
⑨
答案 (1)由a流向b (2)5 m/s (3)1.3 J
规律方法
(1)功能关系在电学中应用的题目，一般过程简单且涉及多种性质不同的力，因此，通过审题，抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后依据不同的运动过程中各力做功的特点来选择相应规律求解.
(2)动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题时仍旧是首选的方法.
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