2022届一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破：高考中的数列问题.docx

高考专题突破高考中的数列问题考点自测1公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，且3a1，a2，a3成等差数列，若a11，则S4等于()A20 B0 C7 D40答案A解析设等比数列an的公比为q，其中q1，依题意有2a23a1a3，2a1q3a1a1q20.即q22q30，(q3)(q1)0，又q1，因此有q3，S420，故选A.2数列an中，已知对任意nN*，a1a2a3an3n1，则aaaa等于()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)答案B解析a12，a1a2an3n1，n2时，a1a2an13n11，得an3n12(n2)，n1时，a12适合上式，an23n1.aaa(9n1)3等差数列an的前n项和为Sn，且a10，S500.设bnanan1an2(nN*)，则当数列bn的前n项和Tn取得最大值时，n的值是()A23 B25C23或24 D23或25答案D解析由于S50(a1a50)25(a25a26)0，a10，所以a250，a260，b24a24a25a260，b26，b27，0，且b24b250，所以当数列bn的前n项和Tn取得最大值时，n的值为23或25.4已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，若1Sk1时，Sn1an1，ananan1，an2an1，又a11，an为等比数列，且an(2)n1，Sk，由1Sk9，得4(2)k1，q2，a11.故数列an的通项为an2n1.(2)由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，Tnb1b2bnln 2.故Tnln 2.思维升华(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列(2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列bn是一个公差为d的等差数列，则(a0，a1)就是一个等比数列，其公比qad；反之，若数列bn是一个公比为q(q0)的正项等比数列，则logabn(a0，a1)就是一个等差数列，其公差dlogaq.已知等差数列an的首项a11，公差d0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有an1成立，求c1c2c3c2 013.解(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)，解得d2 (由于d0). an1(n1)22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3，bn33n23n1.(2)由an1，得当n2时，an.两式相减得，an1an2. cn2bn23n1 (n2)又当n1时，a2，c1c2c3c2 01333(332 013)32 013.题型二数列的通项与求和例2已知数列an的前n项和为Sn，且a1，an1an.(1)证明：数列是等比数列；(2)求通项an与前n项的和Sn.(1)证明由于a1，an1an，当nN*时，0.又，(nN*)为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列(2)解由是以为首项，为公比的等比数列，得()n1，所以ann()n.Sn1()2()23()3n()n，Sn1()22()3(n1)()nn()n1，Sn()()2()3()nn()n1n()n1，Sn2()n1n()n2(n2)()n.综上，ann()n，Sn2(n2)()n.思维升华(1)一般数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论动身，这是很重要的解题信息(2)依据数列的特点选择合适的求和方法，本题选用的错位相减法，常用的还有分组求和，裂项求和已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn，nN*.(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn.(1)证明Sn，nN*，当n1时，a1S1 (an0)，a11.当n2时，由得2anaanaan1.即(anan1)(anan11)0，anan10，anan11(n2)数列an是以1为首项，以1为公差的等差数列(2)解由(1)可得ann，Sn，bn.Tnb1b2b3bn11.题型三数列与不等式的综合问题例3(2021广东)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)解当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2，所以数列an的通项公式为ann2，nN*.(3)证明当n1时，1；当n2时，1；当n3时，此时111，所以对一切正整数n，有Tn1，且T11T2T3，Tn的最大值是，故m.(时间：70分钟)1已知等差数列an的前n项和为Sn，nN*，a35，S10100.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2n，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，由题意，得解得所以an2n1.(2)由于bn2n4n2n，所以Tnb1b2bn(4424n)2(12n)n2n4nn2n.2已知数列an的前n项和为Sn，且对任意的nN*有anSnn.(1)设bnan1，求证：数列bn是等比数列；(2)设c1a1且cnanan1(n2)，求cn的通项公式(1)证明由a1S11及a1S1得a1.又由anSnn及an1Sn1n1得an1anan11，2an1an1.2(an11)an1，即2bn1bn.数列bn是以b1a11为首项，为公比的等比数列(2)解由(1)知2an1an1，2anan11(n2)2an12ananan1(n2)，即2cn1cn(n2)又c1a1，2a2a11，a2.c2，即c2c1.数列cn是首项为，公比为的等比数列cn()n1.3已知数列an的前n项和Sn2an2n1.(1)证明：数列是等差数列；(2)若不等式2n2n30，所以不等式2n2n3，记bn，n2时，所以n3时1，(bn)maxb3，所以.4已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，它们满足S42S28，b2，T2，且当n4或5时，Sn取得最小值(1)求数列an，bn的通项公式；(2)令cn(Sn)(Tn)，nN*，假如cn是单调数列，求实数的取值范围解(1)设an的公差为d，bn的公比为q，由于当n4或5时，Sn取得最小值，所以a50，所以a14d，所以an(n5)d，又由a3a4a1a28，得d2，a18，所以an2n10；由b2，T2得b1，所以q，所以bn.(2)由(1)得Snn29n，Tn，cn，当cn为递增数列时，cnn210n4恒成立，当cn为递减数列时，cncn1，即n210n4恒成立，0，c30，c40，当n5时，cn，而0，得1，所以，当n5时，cn0.综上，对任意nN*恒有S4Sn，故k4.6已知正项数列an，bn满足：a13，a26，bn是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，bn1成等比数列(1)求数列bn的通项公式；(2)设Sn，试比较2Sn与2的大小解(1)对任意正整数n，都有bn，bn1成等比数列，且数列an，bn均为正项数列，anbnbn1(nN*)由a13，a26得又bn为等差数列，即有b1b32b2，解得b1，b2，数列bn是首项为，公差为的等差数列数列bn的通项公式为bn(nN*)(2)由(1)得，对任意nN*，anbnbn1，从而有2()，Sn2()()()1.2Sn2.又22，2Sn(2).当n1，n2时，2Sn2.