2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第11章-第8讲--二项分布与正态分布.docx

第8讲 二项分布与正态分布
一、选择题
1．甲、乙两地都位于长江下游，依据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为(　　)
A．0.6 B．0.7
C．0.8 D．0.66
解析 甲市为雨天记为大事A，乙市为雨天记为大事B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，
P(AB)＝0.12，
∴P(B|A)＝＝＝0.6.
答案 A
2． 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面对上”为大事A，“骰子向上的点数是3”为大事B，则大事A，B中至少有一件发生的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析 本题涉及古典概型概率的计算．本学问点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝，P(B)＝，则大事A，B至少有一件发生的概率是1－P()·P()＝1－×＝.
答案 C
3．在4次独立重复试验中，随机大事A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则大事A在一次试验中发生的概率p的取值范围是 (　　)．
A．[0.4,1] B．(0,0.4]
C．(0,0.6] D．[0.6,1]
解析　设大事A发生的概率为p，则Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.
答案　A
4．设随机变量X听从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析　∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x＝2对称，于是＝2，∴c＝2.
答案　B
5．在正态分布N中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为(　　)．
A．0.097 B．0.046 C．0.03 D．0.0026
解析　∵μ＝0，σ＝
∴P(X＜1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6.
答案　D
6．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝·e－(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则 (　　)．
A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3
B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3
D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3
解析　正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.
答案　D
二、填空题
7．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，竞赛挨次是：第一局是甲队对乙队，其次局是第一局的胜者对丙队，第三局是其次局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对其次局败者，则乙队连胜四局的概率为________．
解析 设乙队连胜四局为大事A，有下列状况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；其次局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.50，因各局竞赛中的大事相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.
答案 0.09　
8．设随机变量X听从正态分布N(0,1)，假如P(X≤1)＝0.8413，则P(－1<X<0)＝________.
解析　∵P(X≤1)＝0.841 3，
∴P(X>1)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7.
∵X～N(0,1)，∴μ＝0.
∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7，
∴P(－1<X<1)＝1－P(X<－1)－P(X>1)＝0.682 6.
∴P(－1<X<0)＝P(－1<X<1)＝0.341 3.
答案　0.341 3
9．设随机变量ξ听从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：
①Φ(0)＝0.5；
②Φ(x)＝1－Φ(－x)；
③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.
则正确结论的序号是________．
答案　①②③
10．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)听从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．
解析　P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.
答案　0.954 4
三、解答题
11．设在一次数学考试中，某班同学的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的同学共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．
解　由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)
＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，
∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)
＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，
即130分以上的人数约为9人．
12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛同学的成果近似听从正态分布N(60,100)，已知成果在90分以上的同学有13人．
(1)求此次参与竞赛的同学总数共有多少人？
(2)若方案嘉奖竞赛成果排在前228名的同学，问受奖同学的分数线是多少？
解　设同学的得分状况为随机变量X，X～N(60,100)．
则μ＝60，σ＝10.
(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.
∴P(X＞90)＝[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3
∴同学总数为：＝10 000(人)．
(2)成果排在前228名的同学数占总数的0.022 8.
设分数线为x.
则P(X≥x0)＝0.022 8.
∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.
又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.
∴x0＝60＋2×10＝80(分)．
13．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 %.
(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)
解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，将频率视为概率得
P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝.
X的分布列为
X
1
1.5
2
2.5
3
P

X的数学期望为
E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9.
(2)记A为大事“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．
由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以
P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)
＝×＋×＋×＝.
故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.
14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．
解　(1)记：“该射手恰好命中一次”为大事A，“该射手射击甲靶命中”为大事B，“该射手第一次射击乙靶命中”为大事C，“该射手其次次射击乙靶命中”为大事D.
由题意，知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，
由于A＝B ＋C＋ D，
依据大事的独立性和互斥性，得
P(A)＝P(B ＋C＋ D)
＝P(B )＋P(C)＋P( D)
＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)
＝××＋××＋××
＝.
(2)依据题意，知X的全部可能取值为0,1,2,3,4,5.依据大事的独立性和互斥性，得
P(X＝0)＝P( )
＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]
＝××＝；
P(X＝1)＝P(B )＝P(B)P()P()
＝××＝；
P(X＝2)＝P( C＋ D)＝P( C)＋P( D)
＝××＋××＝；
P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)
＝××＋××＝；
P(X＝4)＝P(CD)＝××＝，
P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.