2021高考数学(福建-理)一轮作业：2.6-对数与对数函数.docx

§2.6 对数与对数函数
一、选择题
1．若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是(　　)
A．(，b)　　　　　　　　 B．(10a,1－b)
C．(，b＋1) D．(a2,2b)
解析：当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，所以点(a2,2b)在函数y＝lgx的图象上．
答案：D
2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是(　　)．
A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋)
C．y＝2x＋2－x D．y＝lg
解析　依次依据函数奇偶性定义推断知，A，C选项对应函数为偶函数，B选项对应函数为奇函数，只有D选项对应函数定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数．
答案　D
3.设a＝log，b＝log，c＝log3，则a、b、c的大小关系是(　　)
A．a<b<c B．c<b<a
C．b<a<c D．b<c<a
解析 　∵a＝log，b＝log，
∵logx单调递减而<
∴a>b且a>0，b>0，又c<0.故c<b<a.
答案 　B
4.若，则的定义域为( )
A. B. C. D.

解析
答案：C
5.已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．c＞a＞b
解析：a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，y＝log4x(x＞0)是单调增函数，
而3.2＜3.6＜12.96，∴a＞c＞b.
答案：B
6．函数y＝log0.5(x＞1)的值域是(　　)．
A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析　∵x＋＋1＝x－1＋＋2≥2＋2＝4.∴y≤－2.
答案　A
7.已知函数f(x)＝|lgx|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是(　　)．
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
解析　由已知条件0<a<1<b和f(a)＝f(b)得，－lg a＝lg b，则lg a＋lg b＝0，ab＝1，因此a＋2b＝a＋，由对勾函数知y＝x＋在(0,1)单调递减，得a＋2b>3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．
答案　C
二、填空题
8.函数f(x)＝ln的定义域是________．
解析 　要使f(x)有意义，应有1＋>0，
∴>0，∴x<0或x>1.
答案 　(－∞，0)∪(1，＋∞)
9．已知函数，若，则____________。

答案 　2
10．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．
解析：如图所示为f(x)＝|log3x|的图象，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或，故要使值域为[0,1]，则定义域为[，3]或[，1]或[1,3]，所以b－a的最小值为.
答案：
11．已知函数f(x)＝则f(log23)＝________.
解析　∵1＜log23＜2，
∴log23＋2＞2
∴f(log23)＝f(log23＋2)＝f(log212)
＝2log212＝12.
答案　12
12．函数y＝log3(x2－2x)的单调减区间是________．
解析　(等价转化法)令u＝x2－2x，则y＝log3u.
∵y＝log3u是增函数，u＝x2－2x＞0的减区间是(－∞，0)，
∴y＝log3(x2－2x)的减区间是(－∞，0)．
答案　(－∞，0)
【点评】 本题接受了等价转化法(换元法)，把问题转化为关于x的二次函数的单调区间问题，但应留意定义域的限制．
三、解答题
13．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3.
则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有
解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0

14．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
解　y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，
解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.
令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.
∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞8或0＜t＜2)．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f(t)∈，
当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)，
当2x＝t＝，即x＝log2 时，f(x)max＝.
综上可知：当x＝log2 时，f(x)取到最大值为，无最小值．
15．已知函数f(x)＝loga(a＞0，b＞0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)争辩f(x)的奇偶性；
(3)争辩f(x)的单调性；
解　(1)令＞0，
解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)．
(2)因f(－x)＝loga＝loga－1
＝－loga＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(3)令u(x)＝，则函数u(x)＝1＋在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数，所以当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函数；当a＞1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数．
16.已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？假如存在，试求出a的值；假如不存在，请说明理由．
解析 　(1)由题意，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1，
∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－2a>0得a<.∴a的取值范围为(0,1)∪.
(2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
由题设f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，
∴a＝，此时f(x)＝log，当x＝2时，函数f(x)没有意义，故这样的实数a不存在．