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规范练(五) 圆锥曲线
1．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且O·O＝－16，求证：直线AB恒过定点．
(1)解 设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1，∴x2＝8y.∴E的方程为x2＝8y.
(2)证明 设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将直线AB的方程代入x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.
O·O＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16，∴b＝4，所以直线AB恒过定点(0,4)．
2．如图，已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点互不重合．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．
(1)解 由题意，可得e＝＝，将(1，)代入＋＝1，得＋＝1，又a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，c＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明 设直线BD的方程为y＝x＋m，又A、B、D三点不重合，所以m≠0.设D(x1，y1)、B(x2，y2)，
由得，4x2＋2mx＋m2－4＝0，
所以Δ＝－8m2＋64＞0，∴－2＜m＜2，
x1＋x2＝－m①，x1x2＝②.
设直线AB、AD的斜率分别为kAB、kAD，
则kAD＋kAB＝＋＝＋＝2＋m·(*)．
将①②式代入(*)，
得2＋m＝2－2＝0，
所以kAD＋kAB＝0，即直线AB、AD的斜率之和为定值0.
3．椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)．过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．
解 (1)依题意有又由于a2＝b2＋c2，所以
故椭圆M的方程为＋y2＝1.
(2)设直线AC：y＝k1x，直线BD：y＝k2x，A(xA，yA)，C(xC，yC)．
联立得方程(2k＋1)x2－2＝0，x＝x＝，
故|OA|＝|OC|＝·.
同理，|OB|＝|OD|＝·.
又由于AC⊥BD，所以|OB|＝|OD|＝·，其中k1≠0.
从而菱形ABCD的面积S＝2|OA|·|OB|＝2···，
整理得S＝4，其中k1≠0.
故当k1＝1或－1时，
菱形ABCD的面积最小，该最小值为.
4．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.
(1)求椭圆方程；
(2)求m的取值范围．
解 (1)由题意知椭圆的焦点在y轴上 ，
设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，则b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，
即
则(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)＞0，
由根与系数的关系知
又＝2，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)．
∴－x1＝2x2，∴
∴＝－22，整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0时不成立，∴k2＝＞0，
得＜m2＜4，此时Δ＞0.
∴m的取值范围为∪.
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