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近年安徽省高考数列大题

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近年安徽省高考数列问题

2014. 设实数，整数
（Ⅰ）证明：当且时，；
（Ⅱ）数列满足，，证明：
（Ⅰ）证：用数学归纳法证明
（1）当时，，原不等式成立。
（2）假设时，不等式成立
当时，

所以时，原不等式成立。
综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。
（Ⅱ）证法一：先用数学归纳法证明
（1）当时由假设知成立。
（2）假设时，不等式成立
由易知
当时
由得
由（Ⅰ）中的结论得
因此，即
所以，当时，不等式也成立。
综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。
再由得，即
综上所述，
证法二：设，则，并且

由此可见，在上单调递增，因而当时
（1）当时由，即可知

并且，从而
故当时，不等式成立。
（2）假设时，不等式成立，则
当时，即有
所以当时原不等式也成立。
综合（1）（2）可得，对一切正整数不等式均成立。
2013. 设函数，证明：
（Ⅰ）对每个，存在唯一的，满足；
（Ⅱ）对任意，由（Ⅰ）中构成的数列满足。
【解析】 （Ⅰ） 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. .

综上，对每个，存在唯一的，满足；(证毕)
（Ⅱ） 由题知
上式相减：
.(证毕)

2012. 数列满足：
（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是
（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。
【解析】（I）必要条件
当时，数列是单调递减数列
充分条件
数列是单调递减数列
得：数列是单调递减数列的充分必要条件是
（II）由（I）得：
①当时，，不合题意
②当时，

当时，与同号，
由

当时，存在，使与异号
与数列是单调递减数列矛盾
得：当时，数列是单调递增数列.

2009.
首项为正数的数列满足
（I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数；
（II）若对一切都有，求的取值范围。
（21）本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。
解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，
则由递推关系得是奇数。
根据数学归纳法，对任何，都是奇数。
（II）（方法一）由知，当且仅当或。
另一方面，若则；若，则
根据数学归纳法，
综合所述，对一切都有的充要条件是或。
（方法二）由得于是或。

因为所以所有的均大于0，因此与同号。
根据数学归纳法，，与同号。
因此，对一切都有的充要条件是或。

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