2020年中考数学-冲刺专题-难点突破之几何探究题教程文件.docx

2020年中考数学-冲刺专题-难点突破之几何探究题精品文档2020中考数学 冲刺专题 难点突破之几何探究题（含答案）1. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在ABC中，BAC90，ABAC，点D为直线BC上一点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想如图，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为：_BC，CD，CF之间的数量关系为：_(将结论直接写在横线上)(2)数学思考如图，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸如图，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB2，CDBC，请求出GE的长第1题图解：(1)BCCF；BCCDCF；【解法提示】BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF(SAS)，ACFABC45，ACB45，BCF90，即BCCF；ABDACF，BDCF，BCCDBD，BCCDCF.(2)结论仍然成立，不成立，证明：BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF(SAS)，ACFABD18045135，ACB45，BCF90，即BCCF；结论为：BCCDCF，证明：ABDACF，BDCF，BCCDBD，BCCDCF；第1题解图(3)如解图，过点E作EMCF于点M，作ENBD于点N，过点A作AHBD于点H，则CNME，CMEN，ABAC2，BC4，AHBC2，CDBC，CD1，BACDAF90，BADCAF，又ABAC，ADAF，ABDACF(SAS)，ACFABC45，ACB45，BCF90，ABCAGC45，BCCG4，ADE90，ADHEDNEDNDEN90，ADHDEN，又AHCDNE90，ADDE，AHDDNE(AAS)，DNAH2，ENDH3，CMEN3，MECN3，则GMCGCM431，EG.2. 如图，分别以ABC的AB和AC为边向ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图中，求证：ABEADC；(2)由(1)证得ABEADC，由此可推得在图中BOC120，请你探索在图中BOC的度数，并说明理由或写出证明过程；(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图中BOC_(填写度数)；(4)由此推广到一般情形(如图)，分别以ABC的AB和AC为边向ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想得BOC的度数为_(用含n的式子表示)第2题图(1)证明：ABD，ACE是等边三角形，ABAD，ACAE，DABCAE60，DABBACCAEBAC，DACBAE，在ABE和ADC中，ABEADC(SAS)；第2题解图(2)解：如解图，AD，BE交于点K，则OKDAKB，又由(1)知ABEADC，ODKKBA，OKDAKB，DOKBAK90，又BOCDOK180，BOC1809090；第7题解图(3)解：72；【解法提示】如解图，AD，EB交于点K，由(1)得ABEADC，EBACDA，OKDAKB，OKDAKB，DOKBAK108，又BOCDOK180，BOC18010872； (4)解：180 .【解法提示】如解图，AD，BE交于点K，第2题解图DOKBOC180，又由(1)知ABEADC，EBACDA，OKDAKB，DOKBAK，又BOCDOK180，BOC180DOK180.3. 如图，ABC中， BC，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿BnAnC的平分线AnBn1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称BAC是ABC的好角确定BAC是ABC的好角的两种情况，情形一：如图，沿等腰三角形ABC顶角BAC的平分线AD折叠，点B与点C重合；情形二：如图，沿ABC的BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合探究发现(1)ABC中，B2C，经过两次折叠，BAC是不是ABC的好角？_(填“是”或“不是”)(2)经过三次折叠发现BAC是ABC的好角，请探究B与C之间的等量关系，并说明理由；根据以上内容猜想：若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C之间的等量关系为_；应用提升(3)一个三角形三个角分别为15，60，105，发现60和105的两个角都是此三角形的好角，如果一个三角形的最小角是5，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角第3题图解：(1)是；【解法提示】理由如下：情形二中，沿BAC的平分线AB1折叠，BAA1B1; 又将余下的部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，A1B1CC，AA1B1CA1B1C(外角定理)，B2C.(2)B3C；证明如下：在ABC中，沿BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；将其余下的部分沿B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则BAC是ABC的好角；根据折叠的性质知，BAA1B1，CA2B2C，A1B1CA1A2B2，根据三角形的外角定理知，A1A2B2CA2B2C2C；根据四边形外角定理知，BACBAA1B1A1B1CBAC2B2C180，根据ABC的内角和定理知，BACBC180，B3C；BnC.【解法提示】由情形一知，当BC时，BAC是ABC的好角；由情形二知，当B2C时，BAC是ABC的好角；由上述知，当B3C时，BAC是ABC的好角；故若经过n次折叠BAC是ABC的好角，则B与C之间的等量关系为BnC；(3)由(2)知，BnC，BAC是ABC的好角，最小角是5是ABC的好角，根据好角定义，则可设另两角分别为5m，5mn(其中m、n为正整数)由题意得5m5mn5180，m(n1)35，m，n都是正整数，m与n1是35的因数，因此有：m1，n135；m5，n17；m7，n15；m1，n34；m5，n6；m7，n4，5m5，5mn170；5m25；5mn150；5m35，5mn140.该三角形的另外两个角的度数分别为：5，170或25，150或35，140.4. 定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”如图中，四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，ACBD.(1)探究：小明对“垂直四边形”ABCD(如图)进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，即AB2CD2AD2BC2，你认为他的发现正确吗？试说明理由(2)应用：如图，在ABC中，ACB90，AC6，BC8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒(0t1)，连接CP，BQ，PQ.当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值如图，在ABC中，ACB90，AB3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG.请求出线段EG与BC之间的数量关系第4题图解：(1)正确，理由如下：四边形ABCD是“垂直四边形”，ACBD，由勾股定理可知：AB2CD2(AO2BO2)(DO2CO2)，AD2BC2(AO2DO2)(BO2CO2)，AB2CD2AD2BC2；第4题解图(2)如解图，过点P作PDAC于点D，由题意知，AP5t，CQ6t，ACB90，AB10，PDBC，PADBAC，AD3t，PD4t，DQACADCQ69t，四边形BCQP是“垂直四边形”，由(1)可得：BP2CQ2PQ2BC2(PD2DQ2)BC2，(105t)2(6t)2(4t)2(69t)282，解得t或t0(舍去)当四边形BCQP是“垂直四边形”时，t的值为；第4题解图如解图，连接CG、BG、BE、CE，CE与BG交于点O，由题意知：EABA，ACAG，EABCAG90，EABBACCAGBAC，EACBAG，在EAC与BAG中，EACBAG(SAS)，CEAGBA，BEAEBABEOEBO90，EABBOE90，四边形BCGE是“垂直四边形”，BC2EG2BE2CG2，AB3AC，EG2BC2.5. 数学课上，老师和同学们对相似三角形的判定和性质进行了如下探究：活动一：(1)如图，ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1(D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上)，再在A1B1C内用同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，如此下去，操作n次，则第1个内接正方形的边长是_，第n个小正方形AnBnDnEn 的边长是_；活动二：(2)如图，在ABC中，BC12，高AD8，四边形PQMN为ABC的内接矩形(P在AB上，Q在AC上，M、N在BC上)求当PQ为何值时，矩形PQMN的面积最大；在的条件下，若再在APQ中作一个内接矩形P1Q1M1N1，如此下去，操作n次，求PnQn的长(直接写出结果)思考与归纳：(3)解完上述两题，根据其中一题你还能归纳出怎样的数学结论，请简单的写出一条第5题图解：(1) 1，；【解法提示】AB45，AE1A1E1A1B1B1D1D1BD1E1，第1个内接正方形的边长AB1.同理：第2个内接正方形的边长A1B1AB，第3个内接正方形的边长A2B2AB，故可推出第n个小正方形AnBnDnEn的边长AB.(2)设PQx，矩形PQMN的面积为y，AD与PQ交于点E，第5题解图PQBC，APQABC，即，PN8x.则yPQ PNx(8x)(x6)224.0，该抛物线的开口向下，当x6时，y取得最大值，故当PQ6时，矩形PQMN的面积最大；由知，PQ，同理：P1Q1，P2Q2，PnQn；(3)根据(1)的解题过程可以得到结论：第n个小正方形AnBnDnEn的面积是.6. 如图，在正方形ABCD和正方形ABCD中，AB2，AB，连接CC.问题发现(1)计算的值为_；拓展探究(2)将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，记旋转角为，连接BB.试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图的情形给出你的证明；问题解决(3)在旋转过程中，BB的最大值为多少？并给出解题过程第1题图解：(1)；(2)在旋转的过程中，的值不变. 证明：如解图，连接AC，AC，第6题解图四边形ABCD和四边形ABCD是正方形，BACBAC45，BACBACBACBAC，即BABCAC，又，BABCAC，；(3)以点A为圆心，AB长为半径画圆，如解图所示，当点B在BA的延长线上时，线段BB最长，此时BBABAB2，即BB的最大值为2.7. 如图，已知点E、F分别在正方形ABCD的边AB，BC上，且BEBF，点M为AF的中点，连接CE，BM. 问题发现：(1)线段CE与BM之间的数量关系是_，位置关系是_；类比探究：(2)如图，将线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角为(090)请判断(1)中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；拓展延伸：(3)将图中的线段BE和BF绕点B逆时针旋转，旋转角为90时，得到如图所示的图形，若AB3，BE1，请直接写出MF的长第7题图解：(1)CE2BM，CEBM；(2)(1)中的两个结论仍然成立；证明：如解图，延长AB到点N，使NBAB，连接NF，第7题解图M为AF的中点，B为AN的中点，BM为ANF的中位线，NF2BM，四边形ABCD为正方形，CBA90，ABBCBN，又CBNEBF90，ABECBF，CBAABECBNCBF，即CBENBF，在CBE和NBF中，CBENBF(SAS)，NFCE，CE2BM，MB为ANF的中位线，MBFN，MBAN，又CBENBF，ECBN，MBAECB，MBACBM90，ECBCBM90，CEBM；(3)MF1.【解法提示】AB3，BE1，BF1，AF312，M为AF的中点，MF1.8. (1)问题提出如图，已知ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且EDEC，将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，连接EF.填空：CAF的度数为_；线段AE与BD之间的数量关系为_；(2)类比探究如图，如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，探究：CAF的度数及线段AE与BD之间有怎样的数量关系？(3)解决问题如果E是直线AB上一动点，点D在直线BC上，AC6，其他条件不变，当ACF是直角三角形时，请直接写出BD的长第8题图解：(1)60；AEBD；(2)CAF60，AEBD；BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，ECFBCA60，BEAF，CECF，BCAC，CEF和ABC都是等边三角形，EFEC，又EDEC，EDEF，ABC是等边三角形，ABC60，又CBECAF，CAF60，EAF180CAFBAC60，DBEEAF，EDEC，ECDEDC，BDEECDDECEDCDEC，又EDCEBCBED，BDEEBCBEDDEC60BEC，AEFCEFBEC60BEC，BDEAEF，在EDB和FEA中，EDBFEA(AAS)，AEBD；(3)3或6.【解法提示】CAFCBA60，当CAF是直角三角形时有以下两种情况：若ACF90，如解图所示，CAF60，在RtACF中，AF2AC12，BEAF，BE12，AEBEAB1266，又BDAE，BD6.第8题解图若AFC90，如解图所示，CAF60，AFAC3，BEAF，BE3，AEABBE633，又BDAE，BD3.综上所述，BD的长为3或6.类型五折叠探究问题9. 问题发现(1)如图，在RtABC中，C90，ACAB，则B_；类比探究(2)如图，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A处，折痕交AE于点G，请运用(1)中的结论求ADG的度数和AG的长；问题解决(3)若矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O(如图)，当AB6时，请直接写出EF的长第9题图解：(1)30；(2)正方形边长为2，E，F分别为AB，CD的中点，EAFDCD1，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A处，ADAD2，sinFAD，FAD30，可得FDA903060，由折叠性质可得ADGADG，AGAG，ADG15，AD2，FD1，AF，EAEFAF2，EAGDAF180GAD90，EAG90DAF903060，EGA90EAG906030，则AGAG2EA2(2)42；(3)4.【解法提示】折叠后B，D两点恰好重合于一点O，AOADCBCO，DA，D90，DCA30，ABCD6，在RtACD中，tan30，则ADDCtan3062，DAFFAODAO30，tan30，DFAD2，DFFO2，同理EO2，EFEOFO4.10. 已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点(与点A，B不重合)问题发现(1)如图，现将PBC沿PC翻折得到PEC；再在线段AD上取一点F，将PAF沿PF翻折得到PGF，并使得射线PE、PG重合，则FG与CE的位置关系是_；类比探究(2)在(1)中，如图，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH和线段EH的大小关系，并说明你的理由；拓展延伸(3)如图，分别在AD、BC上取点F、C，使得APFBPC，与(1)中的操作相类似，即将PAF沿PF翻折得到PGF，并将PBC沿PC翻折得到PEC，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，试问(2)中的结论还成立吗？请说明理由第10题图解：(1)FGCE；(2)GHEH；理由如下：如解图，延长GH交CE于点M，由(1)得，FGCE，GFHMCH，H为CF的中点，FHCH，又GHFMHC，GFHMCH(ASA)，GHHMGM，GEC90，EHGM，GHEH；第10题解图(3)(2)中的结论还成立如解图，取PF的中点M，PC的中点N，连接GM，EN，HM，HN，FGP90，M为PF的中点，GMPF，PMPF，HMPC，GMPM，GPFMGP，GMFGPFMGP2GPF，在FPC中，H为FC的中点，M为PF的中点，HMPC，同理HNPF，ENPC，HNPF，ENC2EPC，GMHN，HMEN，GMFENC，HNMP，HMPN，四边形HMPN为平行四边形，HMPHNP，HMFHNC，GMHHNE，GMHN，HMEN，GMHHNE(SAS)，GHHE.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除