三角恒等变形难题高考加竞赛(有答案)讲课教案.doc

三角恒等变形难题高考加竞赛(有答案)

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三角恒等变形竞赛
三角恒等变形涉及范围广泛，包括三角式的化简、求值、恒等式的证明、三角级数的求和、三角不等式的证明等，其变形的主要途径如下：
1．两角和与差的三角函数

2．倍角公式

3．半角公式

4．和化和差公式

5．和差化积公式

6．万能公式
设，则
7．三倍角公式

8．，其中
解题示范
例1：求下列各式的值。
（1）；
（2）···；
（3）.
思路分析：此例中的求值，都是给角求值。在利用三角变形时，总体思路是化繁为简，产生约分项或相消项或特殊角的三角函数。
解：（1）原式

（2）因为
·
·
，

所以原式=1。
（3）因为·
，
而，
所以原式=1。
点评：三角函数的求值，实质上是从角、名、结构进行变换，抓住角之间的关系，合理进行积与和式变换即可。
例2 化简
思路分析：从本题结构联想，用进行化简。
解：因为
，
所以原式
点评：此题的技巧在于公式的灵活运用，而在公式选择中，关键要抵消1，从而简化结构。
例3：已知为锐角，且，求的值.
思路分析：此题给出一个方程，两个未知数，属不定方程类型。要求解此问题，应从在变形入手，通过配方法解决。
解：因为，
即，
从而，
于是，且.
由是锐角可知
所以，从而
引申：此题可从考虑其几何意义求解。
由题意得
设，则P点是直线与圆的公共点，
所以，化简得
所以，同理可得
同时，构造几何意义解题，常常能得到奇数。例如：设是方程 的相异两根，且，求证：
证明：设，则是圆与直线的两个相异点。
联立消元得
所以
即 ①
同理得
即
所以 ②
由①2+②2得
故
另外，①，②相除得
例4：求证：··
思路分析：从三角数量关系转化为一个三次方程的根与系数求解。
证明：设，则，
即
令，则.
因为是上述方程的根，
所以··.
故··
引申：（1）由韦达定理还可得， ·
（2）三倍角的变化情况较复杂，还有另一组公式对三倍角的变换很有效。

例如化简

··
例5：求证：
思路分析：左边的求和式表示成裂项求和，其结构便化繁为简，而裂项时，考虑的因素。
证明：因为
，
所以·

故
点评：此题的裂项迁移了数列求和，同时也是以角为突破口。另外第25届美国数学奥林匹克题“证明的平均值为”与此题是“异曲同工”。
便6：设，试证：
思路分析：从左边三有函数内各角度成等差数列入手。
证明：设，
，
则

而，
当是偶数时，有，
当是奇数时，有，
所以M·N
故
点评：题解中的M、N是一组对偶式，构造对偶式解题，也是三角变换的一个途径，其对偶式的应用，让公式得到应用，对称的性质得以作用。
例7：设三边的长度为，其所对角分别为，且满足 求证：该三角形是等腰三角形。
思路分析：作边角转化，利用三角变换处理已知等式。
证明：由已知得，则，
所以
整理得

即
化简得
所以或，
即或
解得或
所以
故是等腰三角形。
点评：三角变换既能求值、化简、证明三角恒等式，同时也是工具，可以广泛解决相关的问题。

能力测试
能力测试
1．已知都是锐角，且，那么的关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．设 ，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知成公比为2的等比数列，且也成等比数列，则的值依次为（ ）
A． B．
C． D．
5．的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，那么的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，已知，则 。
8．已知，则 = 。
9．设是公差为的等差数列，那么 。
10．设三内角成等比数列，且公比为3，则 。
11．计算： 。
12．已知，则 。
13．求证：
14．设整数满足，求的值。
15．在中，求证：，其中分别是的内切圆、外接圆的半径。

冲击金牌
16．已知，且，，其中
求证：对于一切正整数均为整数。
17．若锐角满足条件，试证：

18．外心为O，内心为I，求证：。

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