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高考函数题型及方法总结

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第二章 高考函数题型方法总结
第一部分：必考内容与要求
函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）
（1）函数
　　① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
　　② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.
　　③ 了解简单的分段函数，并能简单应用.
　　④ 理解函数单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
　　⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质.
（2）指数函数
　　① 了解指数函数模型的实际背景.
　　② 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
　　③ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.
④ 知道指数函数是一类重要的函数模型.
（3）对数函数
　　① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
　　② 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.
　　③ 知道对数函数是一类重要的函数模型；
　　④ 了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ）.
（4）幂函数
　　① 了解幂函数的概念.
　　② 结合函数 的图像，了解它们的变化情况.
（5）函数与方程
　　① 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
　　② 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.
（6）函数模型及其应用
　　① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
　　② 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.

第二部分：题型方法总结
题型一：函数求值问题
★（1）分段函数求值→“分段归类”
例1．已知函数，则( )
A.4 B. C.-4 D-
例2．若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．
例3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（2009）的值为( )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2

★（2）已知某区间上的解析式求值问题→“利用周期性、奇偶性、对称性向已知区间上进行转化”
例4．已知函数是上的偶函数，若对于，都有且当时，，的值为（ ）
A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．
例5．已知函数满足：x≥4,则＝；当x＜4时＝，则＝（ ）
（A） （B） （C） （D）
例6．设为定义在上的奇函数，当时，（ 为常数），则（ ）
（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)3

★（3）抽象函数求值问题→“反复赋值法”
例7．已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（ ）
A. 0 B. C. 1 D.
例8．若函数满足：，则=_____________.

题型二：函数定义域与解析式
（1）处理函数问题必须“定义域优先”.
（2）掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法．
例1．函数的定义域为（ ）
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
例2．函数的定义域为（ ）
A.( ,1) B(,∞) C（1，+∞） D. ( ,1)∪（1，+∞）
例3．函数的定义域为 ．
例4．求满足下列条件的的解析式：
（1）已知，求；
（2）已知，求；
（3）已知是一次函数，且满足，求；
（4）已知满足，求．

例5.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是(()（ ）
（A） （B） （C） （D）

题型四：函数值域与最值
求函数值域与最值常用的方法有：1.利用基本函数求值域（观察法）2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.函数有界性（中间变量法）7.单调性法；8.不等式法；9.数形结合法；10.导数法等。
例1.函数的值域是( )
（A） （B） （C） （D）
例2.函数的值域为( )
A. B. C. D.

例3.设函数，则的值域是( )
（A） （B） （C） （D）

例4.已知，则函数的最小值为____________ .

例5.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为( )
(A) (B) (C) (D)

例6.若函数的值域是，则函数的值域是( )
A． B． C． D．

题型五：函数单调性
【考点解读】
1、函数单调性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
　　 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2
都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。
　　 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
2、定义的等价命题:
设
（1）◆如果（），则函数在是增函数
◆则函数在是增函数
◆对于任意的m，都有，则函数在为增函数。
（2）◆如果（），则函数在是减函数
◆在是减函数。
◆对于任意的m，都有，则函数在减函数。
3、定义引申的三种题型：

（1）判断函数的单调性
且，则是增函数
（2）比较自变量的大小
是增函数且则
（3）比较函数值的大小
是增函数且，则
4、有关单调性的几个结论：
（1）y＝f（x）与y＝kf（x）：当k>0时，单调性相同；当k<0时，单调性相反
（2）如果函数f(x)为增函数g(x)也为增函数，则有：
f(x)+ g(x)也为增函数，-g(x)为减函数，为减函数。
（3）如果函数f(x)为增函数g(x)为减函数，则有：f(x) -g(x)也为增函数
（4）若f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增函数，则
（5）复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定.(同增异减)
▲【典型例题】
例1. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有
(A) (B)
(C) (D)
例2.下列函数中,满足“对任意,(0,),当<时,都有>的是
A.= B.= C .= D.
例3.给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④

例4.定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是
A. B.
C. D.

例5.已知偶函数在区间单调增加,则满足<的x 取值范围是
(A)(,) (B) [,) (C)(,) (D) [,)

例6.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值设f(x)=min{, x+2,10-x} (x0),则f(x)的最大值为
A.4 B.5 C.6 D.7

例7．设函数则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．

例8．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．

例9．定义域为R的函数满足条件:①;
② ; ③.则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.

例10．已知函数.满足对任意的都有
成立,则的取值范围是( )
A. B. C. D.

题型六：函数奇偶性与周期性
【考点解读】
一、函数奇偶性的定义
（1）定义的解读与理解
【注】：（1）定义域关于原点对称；
（2）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
，
（3）判断函数奇偶性的方法：一求二看三化简四比较五得结论
（2）、定义的引申：函数的对称性
◆偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式
◆奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式
引申1：函数的线对称
◆函数关于对称
也可以写成 或
引申2：函数的点对称
◆函数关于点对称
或
2、奇偶函数的性质：
（1）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
（2）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反；
（3）为偶函数；
（4）若奇函数的定义域包含，则。
3、函数奇偶性的有关结论：
（1）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
（2）定义域关于原点对称的任意一个函数都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．
即 =[F(x)+G(x)] 其中F(x) =+, G(x) =－
二、函数的周期性
1、定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、定义的变形和引申
（1）函数满足如下关系式，则
A、 B、
C、或（等式右边加负号亦成立）
D、其他情形
（2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”
（3）◆如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）
◆如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为
（以上）
（4） ◆如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。
◆如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。
☆两个函数的图象对称性
与关于x轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
与关于y轴对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
与关于直线对称。
换种说法：与若满足，即它们关于对称。
关于点(a,b)对称。
【换种说法】与若满足，即它们关于点(a,b)
对称。
与关于直线对称。
【典型例题】
例1．若是奇函数,则____________.

例2．函数，若，则的值为
A．3 B．0 C．-1 D．-2

例3．设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=__________

例4．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则值为（ ）
A． B． C．1 D．2

例5．设定义在上的函数满足,若,则（ ）
A.13 B.2 C. D.

例6．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ）
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
例7．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则__________.

例8．已知定义在R上的函数满足,若方程有且仅有三个根，且0为其一个根，则其它两根为___________。

例9．对于定义在R上的函数，有下述四个命题：
①若是奇函数，则的图象关于点A（1，0）对称；
②若对xR，有，则的图象关于直线对称；
③若函数的图象关于直线对称，则为偶函数；
④函数与函数的图象关于直线对称。
其中正确命题的序号为__________（把你认为正确命题的序号都填上）

例10．函数y=的图像( )
（A） 关于原点对称 （B）关于主线对称
（C） 关于轴对称 （D）关于直线对称

例11．定义在R上的偶函数满足上是增函数，下列五个关于的命题中
①是周期函数； ②的图象关于对称；
③在［0，1］上是增函数 ④在［1，2］上是减函数；
⑤
　正确命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例12．若a,b是非零向量，且，，则函数 是（　　）
（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数
（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数

例13．函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数

例14．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）
A． B． C． D．

题型七：函数图像
例1.函数的图像大致为( ).
1
x
y
1
O
A
x
y
O
1
1
B
x
y
O
1
1
C
x
y
1
1
D
O
.
例2 设＜b,函数的图像可能是( ).

例3.函数的图像大致是（ ）

例4．函数的图象大致是（ ）

例5．函数y＝lncosx(-＜x＜的图象是( )

题型八：函数性质的综合应用
高考对这部分内容考查的重点有：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列综合；⑤函数与向量的综合；⑥函数类型的应用题等．

例1. 一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是

（A） （B） （C） （D）

例2.已知是定义在R上的单调函数，实数，，若，则（ ）
（A） （B） （C） （D）

例3.在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

数学思想方法：函数与方程的思想方法
例1.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
例2.已知函数,,其中,为常数，则方程的解集为 .　
例3.函数f（x）=
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）
例4.直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 .
例5.若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5, +＝（ ）
（A） (B)3 (C) (D)4

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