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山东青岛2016中考数学试题及答案

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青岛市二〇—六年初中学业水平考试
数学试题
(考试时间：120分钟；满分：120分）
亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
本试题分第丨卷和第丨丨卷两部分，共有24道题.第丨卷1 一8题为选择题，共24分；第II 卷9一 14题为填空题，15题为作图题，16—24题为解答题，共96分.要求所有题目均在答 题卡上作答，在本卷上作答无效.
第I卷
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选 对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.
1 . （2016，青岛，1, 3） 的绝对值是（ ）
A . B .
C . D . 5
【知识点】有理数的相关概念——绝对值
【答案】 C
【解析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．||=.故选C.
【警示】本题容易出现把绝对值的概念与相反数、倒数的概念相混淆导致错误.
2. （2016，青岛，2, 3）我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 000kg的煤所产生的能量.把130 000 000kg用科学记数法可表示为（ ）.
A . 13x107kg B . 0.13x108kg
C . 1.3 x107kg D . 1.3 x108kg来源:学科网]
【知识点】科学记数法——表示较大带单位的数
【答案】D
【解析】根据科学记数法的概念确定a和n，130 000 000=1.3×108 ，故选择D .
【方法】用科学记数法表示一个数时要明确：1.a值的确定：1≤＜10；2.n值的确定：（1）当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1；（2）当原数小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）.
3. （2016，青岛，3, 3）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）.

【知识点】轴对称和中心对称——轴对称图形和中心对称图形
【答案】B
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解：
A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义；又因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．
故选：B．
【方法】用中心对称图形与轴对称图形的概念求解：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4. （2016，青岛，4, 3）计算a.a5-(2a3)2的结果为（）.
D . -3a6 A
A . a6 - 2a5 B . -a6 C . a6 - 4a5
【知识点】整式的乘除、加减——同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项.
【答案】D.
【解析】根据幂的运算的性质，故选择D.
【点拨】掌握幂的运算性质是解题关键，它们分别是：
1.am·an=am+n(m,n都是整数）； 2.(am)n=amn(m,n都是整数）；
3.（ab)n=anbn(n是整数）； 4.am÷an=am-n(m,n都是整数，a≠0).
5. （2016，青岛，5, 3）如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中点A,B的对应点分别为点A1,B1，这四个点都在格点上.若线段AB上有一 个点P( a，b），则点P在A1B1上的对应点 的坐标为（ ）.
A ( a - 2，b + 3 )
B .( a - 2，b - 3 )
C . (a + 2，b + 3 )
D .(a + 2，b-3 )
【知识点】平移——图形平移的概念和特征.
【答案】A.
【解析】根据平移的特征可知线段AB向左平移了2个单位，向上平移了3个单位；所以线段AB上所有的点经过平移横坐标都减2，纵坐标都加3，故选A.
6. （2016，青岛，6, 3）A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B
青岛市二〇—六年初中学业水平考试 1
数学试题 1
(考试时间：120分钟；满分：120分） 1
A.175n cm² B.350n cm² C. cm² D.150n cm²
【知识点】圆中的计算问题——扇形.
【答案】B.
【解析】根据扇形面积公式可得S贴纸=2×(S扇形ABC-S扇形ADE)，故选B.
【警示】本题中贴纸有两面，在计算面积中容易忘了乘以2，从而导致错误.
8.（2016，青岛，8, 3）输入一组数据，按下列程序进行计算输出结果如下表：
分析表格中的数据，估计方程(x + 8)2 -826 = 0的一个正数解x的大致范围为（ ）
A . 20.5 <x< 20.6 B . 20.6 <x < 20.7
C . 20.7 <x< 20.8 D . 20.8 <x< 20.9
【知识点】一元二次方程的概念及其解法——一元二次方程的解
【答案】C.
【解析】由一元二次方程的解的概念结合表格中的数据可得当(x + 8)2 -826 = 0时，相应x的取值在20.7和20.8之间.故选C.
第II卷
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)
9 . （2016，青岛，9, 3）计算________.
【知识点】二次根式——二次根式的化简.
【答案】2
【解析】根据二次根式化简法则，先把分子化为最简二次根式，再合并同类二次根式,最后后约分即可.
【方法】一般二次根式的化简计算，通常化简后合并同类二次根式，注意最后的结果一定要最简.

10. （2016，青岛，10, 3）“万人马拉松”活动组委会计划制作运动衫分发给参与者，为此，调查了部分参与者，以决定制作橙色、黄色、白色、红色四种颜色运动衫的数量。根据得到的调查数据，绘制成如图 所示的扇形统计图。若本次活动共有12000名参与者，则估计其中选择红色运动衫的约有______名.
【知识点】统计表与统计图——扇形图
【答案】 2400.
【解析】观察扇形统计图可知选择红色运动衫的人数占总人数的百分比是 ，所以人数为12000×20%=2400 (名).
【方法】解决有关扇形统计图有关的计算问题关键是理解扇形统计图：用圆内各个扇形的大小表示各部分量占总量的百分比，扇形统计图中各部分的百分比之和是单位“1”.通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量与总数之间的关系.
11. （2016，青岛，11, 3）如图，AB是⊙O的直径，C , D是⊙O上的两点，若∠BCD = 28° ， 则∠ABD=____ ° .
【知识点】圆的有关性质——圆周角
【答案】 62°
【解析】连接BD,因为AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以
∠ACB=90°，那么∠ACD=90°-28°=62°，又由于∠ACD和∠ABD是同一条弧所对的圆周角相等,所以∠ABD=62°.
12. （2016，青岛，12, 3）
青岛市二〇—六年初中学业水平考试 1
数学试题 1
(考试时间：120分钟；满分：120分） 1
【知识点】等边三角形相关的计算；直棱柱体积的计算
【答案】 144 cm³
【解析】如右图，在此正三角形的各边分别截取4cm长的六条线段后，每条边还剩余20-4-4=12 cm(即折叠后盒子底面边长为12cm)；那么盒子的底面就是边长为12cm的正三角形，底面积，设这个盒子的高是xcm，在剪去的四边形中，根据正三角形的性质可得；所以这个柱形盒子的容积
【点拨】此题是一道关于直棱柱的题目，主要考查了直棱柱的特点及正三角形的性质等知识，利用直棱柱的体积等于底面积乘以高；结合正三角形的性质求出底面积和高是解决此题的关键.
三、 作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15 . （2016，青岛，15, 4）已知：线段a及∠ACB.
求作：⊙O,使⊙O在∠ACB的内部，CO = a ，且⊙O与∠ACB的两边分别相切.
【知识点】与圆有关的位置关系、尺规作图——直线与圆的位置关系、角的平分线作法及性质
【思路分析】由于⊙O与∠ACB的两边分别相切，所以圆心O到角两边的距离相等；根据角平分线的性质得到圆心O在∠ACB的平分线上且到点C的距离为a 的位置处；过点O向角的一边作垂线段即可得半径.
【解答】 如右图 (1)作∠ACB的平分线CD； (2)在射线CD上截取CO=a； (3)过点O作OE⊥CB,垂足为E； (4)以点O为圆心，OE为半径作圆. ⊙O就是所要求作的图形.
四、 解答题（本题满分74分，共有9道小题）
16 . （2016，青岛，16, 8）(本小题满分8分，每题4分）
（1）化简
【知识点】分式的运算——异分母分式的加减法
【答案】

【解析】异分母分式的加减法，先通分把分式化为同分母的分式再相加减；在本题中确定最简公分母是是化简的关键，一定要注意结果要化到最简为止.

（2)解不等式组，并写出它的整数解
【知识点】一元一次不等式组——一元一次不等式组的解法
【思路分析】先分别求出两个一元一次不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得出一元一次不等式组的解集，最后从中找到它的整数解. 有必要的话可以借助数轴.
【解答】解不等式①得，；解不等式②得， ；
所以原不等式组的解集为 ；在此范围内的整数解为-1，0，1.
【方法总结】注意一元一次不等式组解集的四种情况；在求整数解的时候还要注意解集中有无等号，不要出现多解或漏解的错误.

17． （2016，青岛，17, 6）（本小题满分6分）小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形.转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2 ,则小明胜，否则小亮胜.这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
【知识点】概率的简单应用——游戏的公平性
【思路分析】用列表格或画树状图的方法求出小明和小亮获胜的概率(即两次数字之积大于2和不大于2的概率)，比较两个概率的大小即可得出游戏是否公平.
【解答】方法一：表格法

或方法二：树状图

所以共有6种等可能的结果，其中两数之积大于2的有3种；不大于2的有3种.所以P(小明胜)= ；P(小亮胜)= ；这个游戏对双方是公平的.
18. （2016，青岛，18, 6）(本小题满分6分）
如图，AB是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯 AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）.
(参考数据：， ， ， )

【知识点】解直角三角形的实际应用
【思路分析】过点B作BF⊥AE于点F，在RT△ABF中，AB=10m，
∠BAE=37°，根据三角函数关系求出BF(BF=DE)，然后在直角三角形BDC中，∠CBD=65°，BD=AB=10m,进而能够求出CD；大楼的高度CE=DE+CD.
【解答】过点B作BF⊥AE于点F，AB=10m，∠BAE=37°，
在Rt△ABF中，∵sin370=，∴BF=AB×sin370=10× =6m;所以DE=BF=6m
在Rt△DBC中，∵tan650=，∴CD=BD×tan650=10× 21.4 m
而CE=DE+CD=6+21.4 27m.
答：大楼的高度是27m.
【方法总结】运用解直角三角形知识解决实际问题时通常通过添作高线，构造直角三角形，然后运用直角三角形的边角关系使问题得以解决..
19.(本小题满分6分）
甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：
甲队员射击训练成绩 乙队员射击训练成绩[来源:学§科§网Z§X§X§K]

根据以上信息，整理分析数据如下：

平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差
甲
a
7
7
1.2
乙
7
b
8
c

(1 )写出表格中a , b , c的值；
(2 )分别运用上表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中—名参赛，你认为应选哪名队员？
【考点】方差；条形统计图；折线统计图；中位数；众数．
【思路分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；
（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．
【解答】解：（1）甲的平均成绩（环）
∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
∴乙射击成绩的中位数（环）
其方差
（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定，
综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．
20.(本小题满分8分）
如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y=ax2+bx( a≠0 )表示.已知抛物线上B，C两点到地面的距离均为m，到墙边似的距离分别为m，m .
（1）)求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；
(2 )若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？

【知识点】二次函数表达式，顶点坐标的求法，二次函数与x轴交点的求法
【思路分析】（1）利用题目中所给的点代入所给的函数表达式，求出a，b的值；最高点到地面的距离实质上是求顶点的纵坐标；
（2）只需求出一个抛物线与x轴交点的两个坐标，计算出两交点间的距离，利用该墙的长度除以两点间的距离即可计算出个数.
【解答】解（1）把B（ ，）、C（ ，）代入函数表达式y=ax2+bx中得 ，解得：
故抛物线的函数表达式为y=-x2+2x,
，故图案最高点到地面的距离为1；
（2）令抛物线表达式y=0，可得-x2+2x=0，解得x1=0（舍）或x2=2，故一个抛物线与x轴两交点的距离为2m，
∵该墙的长度为10m
∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线型.
21.(本小题满分8分）
已知：如图，在□ABCD中，E, F分别是边AD,BC上的点，且AE=CF,直线EF分别 交BA的延长线、DC的延长线于点G ,H，交BD于点0 .
(1 )求证：
(2 )连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由.

【知识点】特殊四边形的性质、判定，三角形全等的证明

【思路分析】（1）利用平行四边形的性质可得对边相等，对角相等的条件，加上已知条件可以得到三角形全等的条件；（2）在第一问的基础上可以容易得到DE=BF，BE=DF，从而得到四边形为平行四边形，结合第2问所给的BG=DG，根据等腰三解形的三线合一可以得到结论.

【解答】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，∠BAE=∠DCF
又 ∵AE=CF
∴△ABE≌△CDF
（2）由（1）知BE=DF
又∵AD=BC，AE=CF
∴DE=BF
∴四边形BEDF是平行四边形
∴BO=DO
又∵BG=DG
∴GO⊥BD
即EF⊥BD
∴四边形BEDF是菱形.
22.(本小题满分10分）[来源:Zxxk.Com]
某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售 出.据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个■若销售单价每降低1元， 每月可多售出2个.据统计，每个玩具的固定成本Q (元）与月产销量y(个）满足如下关系：
月产销量y(个）
...
160
200
240
300
...
每个玩具的固定成本Q (元）
...[来源:学|科|网]
60
48
40
32
...

(1 )写出月产销量y(个）与销售单价x (元）之间的函数关系式；
(2)求每个玩具的固定成本Q(元）与月产销量y(个）之间的函数关系式；
(3 )若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(2 )若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？ 销售单价最低为多少元？
【知识点】一次函数，反比例函数的应用，不等式的应用
【思路分析】（1）由题目中所给条件容易得出销量与销售单价之间的函数关系式
（2）通过表格可以看出月产销量与固定成本的乘积为定值，从而判断出这是一个反比例函数关系，进而求出即可；（3）已知固定成本代入反比例函数关系式即可求出月产销量，求出销量代入第一个函数关系式即可求出销售单价，进求出比值；（4）月产量不超过400个，根据固定成本函数的增减性可以得到，销售单价可根据第一个函数列不等式求得.
【解答】
解：(1) 由题意可知，y=300+2(280-x)=-2x+860
(2)由表格可知，固定成本Q与月产销量y之间为反比例函数关系，
故设 ,把y=160时，Q=60代入可得k=9600，故固定成本与月产销量之间的函数关系式为 ；
（3）将固定成本30元代入（2）中关系式得月产销量y=320，再代入（1）中表达式得-2x+860=320，解得x=270，所以30÷270= ，故固定成本占销售单价的；
（4）固定成本与月产销量之间的函数关系式为,k>0，Q随y值的增大而减小，故当y=400时，Q取得最小值24；
-2x+860≤400，解得x≥230，故销售单价最低为230元
23.(本小题满分10分）
问题提出：如何将边长为n(n≥5 ,且n为整数）的正方形分割为一些1x5或2x3的矩形（axb 的矩形指边长分别为a , b的矩形）？
问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题.
探究一：
如图，当n=5时，可将正方形分割为五个1x5的矩形.
如图‚，当n=6时，可将正方形分割为六个2x3的矩形.
如图ƒ，当n=7时，可将正方形分割为五个1x5的矩形和四个2x3的矩形
如图„，当n=8时，可将正方形分割为八个1x5的矩形和四个2x3的矩形
如图…，当n=9时，可将正方形分割为九个1x5的矩形和六个2x3的矩形

探究二：
当n = 10 , 11 , 12 , 13 , 14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当n = 10 , 11 , 12 , 13 , 14时，均可将正方形分割为一个5x5的正方形、一个(n - 5 ) x ( n - 5 )的正方形和两个5x ( n - 5 )的矩形.显然，5x5的正方形和5x ( n - 5 ) 的矩形均可分割为1x5的矩形，而（n-5)x(n-5)的正方形是边长分别为5 , 6 , 7 , 8 , 9 的正方形，用探究一的方法可分割为一些1x5或2x3的矩形.

探究三：
当n = 15 , 16 , 17 , 18 , 19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18 , 19的正方形分割示意图.
所以，当n= 15 , 16 , 17 , 18 , 19时，均可将正方形分割为一个10x10的正方形、一个 (n-10 ) x ( n-10)的正方形和两个10x (n-10)的矩形.显然，10x10的正方形和10x (n-10) 的矩形均可分割为1x5的矩形，而（n-10) x (n-10)的正方形又是边长分别为5 , 6 , 7 , 8 , 9的正方形，用探究一的方法可分割为一些1x5或2x3的矩形.
问题解决：如何将边长为n(n≥5，且n为整数）的正方形分割为一些1x5或2x3的矩形？请 按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明.
实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些1x5或2x3的矩形？（只需按照探究三的方 法画出分割示意图即可）
【知识点】规律探索
【思路分析】探究三中边长为18、19的正方形，可能根据前面的例子，一定要分出10x10的一块，即可解决这两个图；问题解决中的问题显然5≤n＜10是基础图形，当n≥10时就可以根据探究二、三找出其中的规律，这要分为两类进行控索

【解答】
探究三

问题解决：①若5≤n＜10，如探究一
②若n≥10时，设n=5a+b,（其中a，b均为正整数且5≤b＜10）如下图

实际应用：

24. (本小题满分12分）
已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0 .点P从 点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s ;同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运 动，速度为1cm/s ;当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于 点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F .设运动时间为t（s)(0<t<6),解答下列问题：
(1 )当t为何值时，△ AOP是等腰三角形？
(2 )设五边形OECQF的面积为S ( cm2 ),试确定S与t的函数关系式；
(3 )在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
(4 )在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP?若存在，求出t的值；若 不存在，请说明理由.

【知识点】动点问题，等腰三角的判定，二次函数的应用，角平分线的判定，相似三角形的性质等
【思路分析】（1）由于Q到先到达C点，此时P点并没有到达D点，故OA与OP不可能相等，所以只分为两种情况进行讨论即可①AP=AO；②AP=PO，求PO时，可以先求PE；
（2）五边形的面积利用间接求法比较好，用△BCD的面积减掉△DFQ和△BOE的面积，其中△DFQ的面积可以利用相似表示出来；（3）在第（2）问的基础上可以容易得出方程解得即可；（4）要使OD平分∠COP，只需点D到角的两边距离相等即可以求出t的值；

【解答】
解：（1）当P、Q运动停止时，P点未到达点D，故不存在OA=OP，分为下面两种情况：
① 当OA=AP时，由于AP=t，AO= ，故可得t=5；
② 当AP=OP时，过点P向BC作垂线,垂足为G
易证△AOP≌△COE，故AP=CE=t，GE=8-2t
在Rt△PEG中， ,
∵AP=OP ∴ 则
即 解得
故当t=5或时，△APO是等腰三角形；
（2）过点O向BC上作垂线，垂足为H，则OH= AB=3，
又∵QF∥AC
∴ △DFQ∽△DOC
∴相似比为 ，那么面积比为 ，
又∵
∴

（3）∵
∴
解得：
（4） 过点D分别向PE、AC作垂线，垂足分别为M、N，
利用面积法分别求出DM、DN
在△POD中， 可得
在△COD中，同理可求得
若OD平分∠POC，则DM=DN，故可得方程
解得t=0（舍）或
故当时，OD平分∠COP.
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