点到平面的距离的几种求法-高中数学-高考-立体几何教学内容.doc

点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合立体几何(必修本)中的概念、习题，概括出求点到平面的距离的几种基本方法 例：已知是边长为4的正方形，、分别是、的中点，垂直于所在平面，且，求点B到平面的距离 一、直接通过该点求点到平面的距离 直接作出所求之距离，求其长 解法1如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交的延长线于， 连 结GM，作BNBC，交GM于N，则有BNCG，BN平面ABCD作BPEM，交EM于P，易证平面BPN平面EFG作BQPN，垂足为Q，则BQ平面EFG于 是BQ是点B到平面EFG的距离易知BN，BP，PZ，由BQPNPBBN，得BQ 图1 图2 不直接作出所求之距离，间接求之 （）利用二面角的平面角 课本第4题，第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”如图2，二面角-的大小为，点到平面的距离， 则有 中的也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过的二面角的平面角 解法2如图3，过作，交的延长线于，易知，这就是点到二面角-的棱的距离连结交于，连结，易证就是二面角-的平面角 ， ，/，于是由得所求之距离 解略 （）利用斜线和平面所成的角 如图4，为平面的一条斜线，与所成的角为，到平面的距离为，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有经过与垂直的平面与相交，交线与所成的锐角就是中的，这里并不强求要作出点在上的射影，连结得 解法3如图5，设为与的延长线的交点，作，为垂足又，易得平面平面，为它们的交线，所以就是与平面所成的角由，可得，在中，所以/，于是由得所求之距离 图5 图6 （）利用三棱锥的体积公式 解法4如图6，设点到平面的距离为，则三棱锥-的体积(/)另一方面又可得这个三棱锥的体积(/)，可求得(/)，所以有/，得 二、不经过该点间接确定点到平面的距离 利用直线到平面的距离确定 解法5如图7，易证平面，所以上任意一点到平面的距离就是点到平面的距离由对称思想可知，取中点，求点到平面的距离较简单交于，交于易证平面平面，作，为垂足，为所求之距离图7图8 利用平行平面间的距离确定 如图8，把平面补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗面是正四棱柱-经过、的截面所在的平面交于，交于，作，交于，连结，则有平面平面它们之间的距离就是所求之距离于是可以把点平移到平面上任何一个位置，哪里方便就在哪里求 这两个平行平面的距离又同三棱柱-的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离据此可得解法 解法6三棱柱-的体积，另一方面又有，可求得/，/，所以/，得为所求之距离