资源描述
一、函数及函数的应用：
4题（12+10+12+12=46分）
占压轴分19.3%
（2017•杭州）22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；
（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）=﹣2，
解得a=﹣2，a=1，
函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；
函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；
（2）当y=0时x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2，
y1的图象与x轴的交点是（﹣1，0）（2，0），
当y2=ax+b经过（﹣1，0）时，﹣a+b=0，即a=b；
当y2=ax+b经过（2，0）时，2a+b=0，即b=﹣2a；
（3）当P在对称轴的左侧时，y随x的增大而增大，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
由m＜n，得x0＜0；
当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，
由m＜n，得x0＞1，
综上所述：m＜n，求x0的取值范围x0＜0或x0＞1．
（2017•湖州）23．（10分）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
解：（1）由题意，得：，
解得，
答：a的值为0.04，b的值为30；
（2）①当0≤t≤50时，设y与t的函数解析式为y=k1t+n1，
将（0，15）、（50，25）代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=t+15；
当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，
将点（50，25）、（100，20）代入，得：，
解得：，
∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；
②由题意，当0≤t≤50时，
W=20000（t+15）﹣（400t+300000）=3600t，
∵3600＞0，
∴当t=50时，W最大值=180000（元）；
当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）
=﹣10t2+1100t+150000
=﹣10（t﹣55）2+180250，
∵﹣10＜0，
∴当t=55时，W最大值=180250（元），
综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．
(2017•嘉兴、舟山）24、（12分）如图，某日的钱塘江观潮信息如表：
按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离（千米）与时间（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点，点坐标为，曲线可用二次函数（，是常数）刻画．
（1）求的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；
（2）11:59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？
（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为千米/分，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，是加速前的速度）．
（2017·台州）23、（12分）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的液体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征。其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度；密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数，为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间的部分数据如下表：[来源:学科网ZXXK]
速度v（千米/小时）
…[来源:学科网]
5
10
20
32
40
48
…
流量q（辆/小时）
…
550
1000
1600
1792
1600
1152
…
(1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是________（只需填上正确答案的序号）① ② ③
(2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
(3)已知q，v，k满足 ，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题：
①市交通运行监控平台显示，当 时道路出现轻度拥堵，试分析当车流密度k在什么范围时，该路段出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值
（1）③
（2）解：∵q=-2v2+120v=-2（v-30）2+1800.
∴当v=30时，q最大=1800.
（3）解：①∵q=vk,
∴k===-2v+120.
∴v=-k+60.
∵12≤v＜18,
∴12≤-k+60＜18.
解得：84＜k≤96.
②∵当v=30时，q最大=1800.
又∵v=-k+60,
∴k=60.
∴d==.
∴流量最大时d的值为米.
二、几何：
10题（12+10+12+10+12+10+14+12+14+14=120分）
占压轴分50.4%
（2017•杭州）23．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°
连接OB，
∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=α，
∴∠BOA=180°﹣2α，
∴2β=360°﹣（180°﹣2α），
∴β=α+90°，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴OE是线段BC的垂直平分线，
∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°
∵∠BCA=∠EDC+∠CED，
∴β=90°+∠CED，
∴∠CED=α，
∴∠CED=∠OBA=α，
∴O、A、E、B四点共圆，
∴∠EBO+∠EAG=180°，
∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，
∴γ+α=180°；
（2）当γ=135°时，此时图形如图所示，
∴α=45°，β=135°，
∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，
由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，
∴∠BEC=90°，
∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，
∴，
∴，
设CE=3x，AC=x，
由（1）可知：BC=2CD=6，
∵∠BCE=45°，
∴CE=BE=3x，
∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，
x=，
∴BE=CE=3，AC=，
∴AE=AC+CE=4，
在Rt△ABE中，
由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，
∴AB=5，
∵∠BAO=45°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，设半径为r，
由勾股定理可知：AB2=2r2，
∴r=5，
∴⊙O半径的长为5．
（2017•衢州）23．（10分）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．
类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系．
解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．
（2017•衢州）24．（12分）在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
解：（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴，=，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=AB=3，DN=OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴=，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF==；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（，t），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y=﹣x+6，
把G（，t）代入得：t=；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣t+，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（，t），
代入直线AD的解析式y=﹣x+6得：t=；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或
(2017•嘉兴、舟山）23、（10分）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.
（3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH=AM．
①求∠CAM的度数；
②当，DM=4时，求DH的长．
（2017•丽水）24、（12分）如图，在矩形中，点是上的一个动点，连接，作点关于的对称点，且点落在矩形的内部，连接，，，过点作交于点，设．
（1）求证：；
（2）当点落在上时，用含的代数式表示的值；
（3）若，且以点，，为顶点的三角形是直角三角形，求的值．
（2017 金华）23、 (10分) 如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF,HG折叠,折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形.
(1)将□ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S矩形AEFG:S□ABCD=________ 。
(2)ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长.
(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC，AB=8,CD=10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形.请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD,BC的长. 21·cn·jy·com
解：（1）AE；GF；1:2
（2）∵四边形EFGH是叠合矩形，∠FEH=90°,EF=5,EH=12;
∴FH===13;
由折叠的轴对称性可知：DH=NH,AH=HM,CF=FN;
易证△AEH≌△CGF;
∴CF=AH;
∴AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.
（3）本题有以下两种基本折法，如图1，图2所示.
按图1的折法，则AD=1，BC=7.
按图2的折法，则AD=,BC=.
（2017•宁波）26、(14分）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．
(1)如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝ ∠D，∠C＝ ∠A，求∠B与∠C的度数之和；
(2)如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．
求证：四边形DBCF是半对角四边形；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．
（1）解：在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴3∠B+3∠C=360°.
∴∠B+∠C=120°.
即∠B与∠C的度数之和120°.
（2）证明：在△BED和△BEO中，
.
∴△BED≌△BEO（SAS）.
∴∠BDE=∠BOE.
又∵∠BCF=∠BOE.
∴∠BCF=∠BDE.
如下图，连结OC.
设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2.
∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=.
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2.
∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.
∴四边形DBCF是半对角四边形.
（3）解：如下图，作过点OM⊥BC于点M.
∵四边形DBCF是半对角四边形，
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∴∠BAC=60°.
∴∠BOC=2∠BAC=120°.
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=30°.
∴BC=2BM=BO=BD.
∵DG⊥OB,
∴∠HGB=∠BAC=60°.
∵∠DBG=∠CBA,
∴△DBG△CBA.
∴=2=.
∵DH=BG,BG=2HG.
∴DG=3HG.
∴=
∴=.
（2017 绍兴、义乌）23、（12分）已知为直线上一点，为直线上一点， ，设 .
（1）如图，若点在线段上，点在线段上.
①如果 那么 ， . ②求 之间的关系式.
（2）是否存在不同于以上②中的之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由.
解：（1）①20，10.
②如图1，设∠ABC=x, ∠ADE=y,
则∠ACB=x, ∠AED=y,
在∆DEC中，yβ+x，
在∆ABD中，α+x=y+β
∴α=2β。
（2）如图2，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，
设∠ABC=x, ∠ADE=y, 则∠ACB=x，∠AED=y,
在∆ABD 中，x＋α=β﹣y,
在∆DEC 中，x+y+β=180°
∴α=2β-180°
注：求出气的关系式，相应给分，如点E在CA的延长线上，
点D在CB的延长线上，
可得α=180°- 2β
（2017 绍兴、义乌）24.（本题满分14分）24．如图，已知轴，点 的坐标为 点的坐标为，点在第四象限，点是边上一个动点.
(1) 若点在边上，，求点的坐标.
（2）若点在边上，点关于坐标轴对称的点 ，落在直线上，求点的坐标.
(3) 若点在边上，点是与轴的交点，如图，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点，将沿直线翻折，当点的对应点落在坐标轴上时，求点的坐标（直接写出答案）.
解：（1）∵CD=6，
∴点P与点C重合，
∴点P的坐标为（3，4）
（2）①当点P在边AD上时，
由已知得，直线AD的函数表达式为y=﹣2x-2，
设P（a, -2a-a），且-3≤a≤1，
若点P关于x轴对称轴点Q1（a，2a+2）在直线y=x-1上，
∴2a+2=a-1，解得a=-3，此时P（-3,4）
若点P关于y轴对称点Q2（-a，-2a-2）在直线y=x-1上，
∴-2a-2=-a-1，解得a=-1，此时P（-1, 0）
②当点P在边AB上时，设P（a，-4），且1≤a≤7，
若点P关于x轴对称点Q3（a，4）在直线y=x-1上
∴4=a-1，解得a=5，此时P（5，-4）。
若点P关于y轴对称点Q4（-a，-4）在直线y=x-1上，
∴4=-a-1，解得a=3，此时P（3，-4）。
综上所述，点P的坐标为（3，-4）或（-1, 0）或，（5，-4）或（-3,4）。
（3）点P的坐标为（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）。
（2017•温州）24、（14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．
（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；
（2）求证：AC=AB．
（3）在点P的运动过程中
①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；
②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．
解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，
∴PA=PB，
∴∠PAB=∠B，
∵∠APB=28°，
∴∠B=76°，
如图1，连接MD，
∵MD为△PAB的中位线，
∴MD∥AP，
∴∠MDB=∠APB=28°，
∴=2∠MDB=56°；
（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，
又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，
∴∠BAP=∠ACB，
∵∠BAP=∠B，
∴∠ACB=∠B，
∴AC=AB；
（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线，
∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，
∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90°，
∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，
∴12+MR2=22+PR2，
∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，
∴PR=，
∴MR=，
Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，
∴Q与R重合，
∴MQ=MR=；
Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，
在Rt△QCP中，PQ=2PR=，
∴MQ=；
Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，
∵BM=1，MP=4，
∴BP=，
∴DP=BP=，
∵cos∠MPB==，
∴PQ=，
∴MQ=；
Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，
由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，
∴MQ=；
综上所述，MQ的值为或或；
②△ACG和△DEG的面积之比为．
理由：如图6，∵DM∥AF，
∴DF=AM=DE=1，
又由对称性可得GE=GD，
∴△DEG是等边三角形，
∴∠EDF=90°﹣60°=30°，
∴∠DEF=75°=∠MDE，
∴∠GDM=75°﹣60°=15°，
∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，
∴GMD=∠GDM，
∴GM=GD=1，
过C作CH⊥AB于H，
由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=，
∴CG=MH=﹣1，
∴S△ACG=CG×CH=，
∵S△DEG=，
∴S△ACG：S△DEG=．
三、函数和几何综合题:
6题（12+12+14+10+12+12=72分）
占压轴分：30.3%
（2017•湖州）24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与 A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．
（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；
（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；
（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）将A、C点带入y=ax2+b1x+c1中，可得：，解得：，
∴抛物线L1解析式为y=；
同理可得：，解得：，
∴抛物线L2解析式为y=；
（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
由题意得：，解得：，
∴抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+4m；
∴点D坐标为（，），
∴DG==，AG=；
同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣4m；
∴EH==，BH=，
∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，
∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°，
∵∠DAG+∠ADG=90°，∠DAG+∠EBH=90°，
∴∠ADG=∠EBH，
∵在△ADG和△EBH中，
，
∴△ADG～△EBH，
∴=，
∴=，化简得：m2=12，
解得：m=±；
（3）存在，例如：a=﹣，﹣；
当a=﹣时，代入A，C可以求得：
抛物线L1解析式为y=﹣x2+（m﹣4）x+m；
同理可得：抛物线L2解析式为y=﹣x2+（m+4）x﹣m；
∴点D坐标为（，），点E坐标为（，）；
∴直线AF斜率为，直线BF斜率为；
若要AF⊥BF，则直线AF，BF斜率乘积为﹣1，
即×=﹣1，化简得：m2=﹣20，无解；
同理可求得a=﹣亦无解．
（2017•宁波）25、（12分）如图，抛物线 与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．
(1)求c的值及直线AC的函数表达式；
(2)点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m ， 求AN的长（用含m的代数式表示）．
（1）解：把点C（6，）代入抛物线得:=9++c.
解得c=-3.
当y=0时，x2+x-3=0.
解得：x1=-4,x2=3.
∴A(-4,0).
设直线AC的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.
把A(-4,0)，C（6，）代入得：
解得：
∴直线AC的函数表达式为：y=x+3.
（2）①证明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==.
在Rt△AOB中，tan∠OAD==.
∴∠OAB=∠OAD.
∵在Rt△POQ中,M为PQ中点.
∴OM=MP.
∴∠MOP=∠MPO.
又 ∵∠MOP=∠AON.
∴∠APM=∠AON.
∴△APM∽△AON.
②解：如图，过点M作ME⊥x轴于点E.
∵OM=MP.
∴OE=EP.
又∵点M的横坐标为m.
∴AE=m+4,AP=2m+4.
∵tan∠OAD=.
∴cos∠EAM=cos∠OAD=.
∴AM=AE=.
∵△APM∽△AON.
∴=.
∴AN==.
（2017·台州）24、（14分）在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根，比如对于方程 ，操作步骤是：
第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）;
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D 的横坐标为n即为该方程的另一个实数根。
(1)在图2 中，按照“第四步“的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）
(2)结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程 的一个实数根；
(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
(4)实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地,当 ， ， ， 与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（ ， ），Q（ ， ）就是符合要求的一对固定点？
（1）解：如图2所示：
（2）证明：在图1中，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D.
根据题意可证△AOC∽△CDB.
∴.
∴.
∴m（5-m）=2.
∴m2-5m+2=0.
∴m是方程x2-5x+2=0的实数根.
（3）解：方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为
x2+x+=0.
模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-，）或A（0，），B（-，c）等.
（4）解：以图3为例：P（m1,n1）Q（m2,n2）,
设方程的根为x，根据三角形相似可得.=.
上式可化为x2-(m1+m2）x+m1m2+n1n2=0.
又ax2+bx+c=0,
即x2+x+=0.
比较系数可得：m1+m2=-.
m1m2+n1n2=.
（2017•丽水）23、（10分）如图1，在中，，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A-C-B运动，点Q从点A出发以的速度沿AB运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时中/华-资*源%库停止运动，设运动时间为想x(s)，的面积为，y关于x的函数图象由，两段组成，如图2所示．
（1）求a的值；
（2）求图2中图象段的函数表达式；
（3）当点P运动到线段BC上某一段时的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时的面积，求x的取值范围．
（2017 金华）24、(12分)如图1,在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别O(0,0),A(3, 3)，B(9,5)，C(14,0).动点P与Q同时从O点出发，运动时间为t秒，点P沿OC方向以1单位长度/秒的速度向点C运动，点Q沿折线OA−AB−BC运动，在OA，AB，BC上运动的速度分别为3， ， (单位长度/秒)﹒当P,Q中的一点到达C点时，两点同时停止运动。
(1)求AB所在直线的函数表达式.
(2)如图2，当点Q在AB上运动时，求△CPQ的面积S关于t的函数表达式及S的最大值.
(3)在P,Q的运动过程中，若线段PQ的垂直平分线经过四边形OABC的顶点，求相应的t值.
（1）解：把A（3，3 ），B（9，5 ）代入y=kx+b,
得 ;解得：;
∴y= x+2;
（2）解：在△PQC中，PC=14－t,PC边上的高线长为;
∴
∴当t=5时，S有最大值；最大值为.
（3）解： a.当0＜t≤2时，线段PQ的中垂线经过点C（如图1）；
可得方程
解得：,（舍去），此时t=.
b.当2＜t≤6时，线段PQ的中垂线经过点A（如图2）
可得方程,
解得：;（舍去），此时；
c.当6＜t≤10时，
①线段PQ的中垂线经过点C（如图3）
可得方程14－t=25－;
解得：t=.
②线段PQ的中垂线经过点B（如图4）
可得方程;
解得,（舍去）；
此时；
综上所述：t的值为，，，.
（2017•温州）23、（12分）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．
（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；
（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等
①求AB，BC的长；
②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．
解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，
解得S≤24．
∴S的最大值为24．
（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，
∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，
∵PQ∥AD，
∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），
由题意12（300﹣3x）+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，
解得s=，
∵0＜s＜12，
∴0＜＜12，
∴0＜x＜50，
∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
