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2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣2）}，B＝（﹣2，3），则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，2）∪（2，3） B．（﹣2，2）
C．（2，3） D．[2，3）
2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=3+ai，|z|=2，则a＝（　　）
A．7或-7 B．1或﹣1 C．2 D．﹣2
3．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(2，-1)，c→=(1，λ)，若(a→+b→)⊥c→，则λ的值为（　　）
A．﹣3 B．-13 C．13 D．3
4．（5分）已知函数f(x)=(12)x-2x，则f（x）（　　）
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
5．（5分）已知曲线C1：y＝sinx，C2：y=sin(2x-2π3)，则下面结论正确的是（　　）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2
6．（5分）已知数列{an}满足（n+1）an＝nan+1（n∈N*），a2＝2，等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，则{bn}的前6项和为（　　）
A．﹣64 B．63 C．64 D．126
7．（5分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（　　）

A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟
B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高
C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80
D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．
8．（5分）如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（　　）

A．29 B．49 C．59 D．12
9．（5分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上下两部分的体积比为（　　）

A．112 B．18 C．16 D．14
10．（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（　　）
A．2 B．32 C．5-1 D．5+12
11．（5分）已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为43，又知SA与圆锥底面所成的角为45°，则圆锥的表面积为（　　）
A．82π B．4(2+2)π C．8(2+1)π D．8(2+2)π
12．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则y0x0的取值范围是（　　）
A．[13，+∞) B．(-12，13)
C．(-∞，0)∪(0，13) D．(-12，0)∪(0，13]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）命题“对∀x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1＞0”的否定是　 　；
14．（5分）在曲线f（x）＝x3﹣4x的所有切线中，斜率最小的切线方程为　 　．
15．（5分）若圆x2+y2＝1与圆x2+y2﹣6x﹣8y﹣m＝0相切，则m的值为　 　．
16．（5分）如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i、j∈Z+)，则an4＝　 　．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（12分）在△ABC中，AC=42，∠C=π6，点D在BC上，cos∠ADC=-13．
（1）求AD的长；
（2）若△ABD的面积为22，求AB的长；

18．（12分）如图，在四边形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，AC＝BC＝CD＝2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE=22．
（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；
（2）求三棱锥P﹣EBC的体积．

19．（12分）某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，统计近年来数据得到每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（xi，yi）（i＝1，2，…10），并得到散点图如图，参考数据见下．
（1）求出频率分布直方图中m的值，若各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；
（2）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关，若相关，试根据以下统计的参考数据求出y关于x的线性回归方程；
（3）调查得到明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩，估计明年常规稻A的单价，若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据：x=1.60，y=2.82，i=110 （xi-x））yi-y）＝﹣0.52，i=110 （xi-x）2＝0.65，
附：线性回归方程ŷ=bx+a，b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2．
20．（12分）已知椭圆C：x23+y22=1，直线l：y=63x+m（m∈R）与椭圆C交于不同的两点A、B．
（1）若|AB|=533，求m的值；
（2）试求||OA|2﹣|OB|2|（其中O为坐标原点）的最大值．
21．（12分）已知函数f(x)=x-a-1eex+alnx-x（a＜1，e是自然对数的底，e≈2.72）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若0＜a＜1，x0是函数f（x）的零点，f'（x）是f（x）的导函数，求证：f′(32)＜f′(x0)＜f′(3)．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝a2（a∈R，a为常数），过点P（2，1）、倾斜角为30°的直线l的参数方程满足x=2+32t，（t为参数）．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且|PA|•|PB|＝2，求a和||PA|﹣|PB||的值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[﹣2，1]时，f（x）≤3x+a，求实数a的取值范围．

2019年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（x﹣2）}，B＝（﹣2，3），则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，2）∪（2，3） B．（﹣2，2）
C．（2，3） D．[2，3）
【解答】解：A＝{x|x＞2}；
∴A∩B＝（2，3）．
故选：C．
2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=3+ai，|z|=2，则a＝（　　）
A．7或-7 B．1或﹣1 C．2 D．﹣2
【解答】解：z=3+ai，则z=3-ai，
又|z|=2，则3+（﹣a）2＝4，
解得a＝±1，
a的值为1或﹣1．
故选：B．
3．（5分）已知向量a→=(1，2)，b→=(2，-1)，c→=(1，λ)，若(a→+b→)⊥c→，则λ的值为（　　）
A．﹣3 B．-13 C．13 D．3
【解答】解：a→+b→=(3，1)；
∵(a→+b→)⊥c→；
∴(a→+b→)⋅c→=3+λ=0；
∴λ＝﹣3．
故选：A．
4．（5分）已知函数f(x)=(12)x-2x，则f（x）（　　）
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
【解答】解：根据题意，f（x）＝（12）x﹣2x，
有f（﹣x）＝2x﹣（12）x＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，
又由y＝（12）x在R上为减函数，y＝2x在R上为增函数，则函数f（x）＝（12）x﹣2x在R上为减函数，
故选：C．
5．（5分）已知曲线C1：y＝sinx，C2：y=sin(2x-2π3)，则下面结论正确的是（　　）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2
【解答】解：曲线C1：y＝sinx，
把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，
得到y＝sin2x，
再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，
得到曲线C2：y=sin(2x-2π3)，
故选：C．
6．（5分）已知数列{an}满足（n+1）an＝nan+1（n∈N*），a2＝2，等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a2，则{bn}的前6项和为（　　）
A．﹣64 B．63 C．64 D．126
【解答】解：∵数列{an}满足（n+1）an＝nan+1（n∈N*），
∴an+1n+1=ann，
∴数列{ann}为以a22=1的常数列，
∴ann=1，
∴an＝n
∴等比数列{bn}满足b1＝a1＝1，b2＝a2＝2，
∴q＝2，
∴{bn}的前6项和为1-261-2=63，
故选：B．
7．（5分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（　　）

A．第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟
B．第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高
C．这40名工人完成任务所需时间的中位数为80
D．无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟．
【解答】解：由茎叶图的性质得：
在A中，第一种生产方式的工人中，有：1520×100%=75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟，故A正确；
在B中，第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，故B正确；
在C中，这40名工人完成任务所需时间的中位数为：78+822=80，故C正确；
在D中，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过80分钟．
第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到80分钟，故D错误．
故选：D．
8．（5分）如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（　　）

A．29 B．49 C．59 D．12
【解答】解：设CD＝x，由DE∥BC则有ADAC=DECB，即x2=4-x4，
解得x=43，
设在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC为事件A，
由几何概型中的面积型得：
P（A）=S正方形S△=(43)212×4×2=49，
故选：B．
9．（5分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上下两部分的体积比为（　　）

A．112 B．18 C．16 D．14
【解答】解：由三视图知该几何体是下方为长方体上方
为一直三棱柱的组合体，几何体的直观图如图：
其上下体积比为12×4×1×442×3=16．
故选：C．

10．（5分）过双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（　　）
A．2 B．32 C．5-1 D．5+12
【解答】解：将x＝±c代入双曲线的方程得y2=b4a2⇒y=±b2a，
则2c=2b2a，即有ac＝b2＝c2﹣a2，由e=ca，可得：
e2﹣e﹣1＝0，
解得e=5+12．
故选：D．
11．（5分）已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为43，又知SA与圆锥底面所成的角为45°，则圆锥的表面积为（　　）
A．82π B．4(2+2)π C．8(2+1)π D．8(2+2)π
【解答】解：如图所示，

设圆锥母线长为l，由△SAB为等边三角形，且面积为43，
得34•l2＝43，解得l＝4；
设圆锥底面半径为r，由SA与圆锥底面所成的角为45°，
得r＝4×cos45°＝22；
所以圆锥的表面积为 S表=πrl+πr2=8(2+1)π．
故选：C．
12．（5分）已知点P在直线x+2y﹣1＝0上，点Q在直线x+2y+3＝0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则y0x0的取值范围是（　　）
A．[13，+∞) B．(-12，13)
C．(-∞，0)∪(0，13) D．(-12，0)∪(0，13]
【解答】解：因直线x+2y﹣1＝0与x+2y+3＝0平行，
故点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，
其方程为x+2y+1＝0，
即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1＝0，而满足不等式y0＞2x0+1的点在直线y＝2x+1的上方，
易得直线x+2y+1＝0与y＝2x+1的交点为(-35，-15)，
故问题转化为求射线（不含端点）x0+2y0+1＝0（x0＜-35）上的
点M（x0，y0）与坐标原点（0，0）连线斜率、
即y0x0的取值范围，故y0x0=kOM∈(-12，13)．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）命题“对∀x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1＞0”的否定是　∃x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1≤0　；
【解答】解：命题为全称命题，
则命题的否定为∃x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1≤0．
故答案为∃x∈[﹣1，1]，x2+3x﹣1≤0
14．（5分）在曲线f（x）＝x3﹣4x的所有切线中，斜率最小的切线方程为　y＝﹣4x　．
【解答】解：由f（x）＝x3﹣4x，得f′（x）＝3x2﹣4≥﹣4，
当x＝0时取“＝”，
此时切点为（0，0），
则切线方程为y＝﹣4x．
故答案为：y＝﹣4x．
15．（5分）若圆x2+y2＝1与圆x2+y2﹣6x﹣8y﹣m＝0相切，则m的值为　﹣9或11　．
【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y﹣m＝0的圆心为（3，4），半径r=25+m，
若两圆外切，则25+m+1=5，解得m＝﹣9，
若两圆内切，则25+m-1=5，解得m＝11．
故答案为：﹣9或﹣11．
16．（5分）如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i、j∈Z+)，则an4＝　n32　．

【解答】解：an4位于第n行第4列，且第一列的公差为14，每一行的公比均为12，
由等差数列的通项公式知第n行第一个数为14+(n-1)×14=n4，
故an4=n4×(12)3=n32．
故答案为：n32
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（12分）在△ABC中，AC=42，∠C=π6，点D在BC上，cos∠ADC=-13．
（1）求AD的长；
（2）若△ABD的面积为22，求AB的长；

【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵cos∠ADC=-13，且0＜∠ADC＜π，
∴sin∠ADC=1-(13)2=223，…（2分）
正弦定理有ADsin∠C=ACsin∠ADC，得AD=ACsin∠Csin∠ADC=42×12×322=3；…（5分）
（2）∵sin∠ADB=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC=223，…（6分）
∵S△ABD=12AD⋅BD⋅sin∠ADB=2BD，
∴2BD=22，得BD＝2，…（8分）
又∵cos∠ADB=cos(π-∠ADC)=-cos∠ADC=13，…（9分）
由余弦定理得AB2=32+22-2×3×2×13=9，
∴AB＝3．…（12分）

18．（12分）如图，在四边形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，点C在AB上，且AB⊥CD，AC＝BC＝CD＝2，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE=22．
（1）求证：平面PBC⊥平面DEBC；
（2）求三棱锥P﹣EBC的体积．

【解答】证明：（1）∵AB⊥BE，AB⊥CD，∴BE∥CD，
∵AC⊥CD，∴PC⊥CD，∴PC⊥BE，
又BC⊥BE，PC∩BC＝C，
∴EB⊥平面PBC，
又∵EB⊂平面DEBC，∴平面PBC⊥平面DEBC．
解：（2）解法1：∵AB∥DE，结合CD∥EB 得BE＝CD＝2，
由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE=22
得PB=PE2-EB2=2，
∴△PBC为等边三角形，
∴S△PBC=34×22=3，
∴三棱锥P﹣EBC的体积VP-EBC=VE-PBC=13S△PBC⋅EB=13×3×2=233．
解法2：∵AB∥DE，结合CD∥EB 得BE＝CD＝2，
由（1）知EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，由PE=22，
得PB=PE2-EB2=2，
∴△PBC为等边三角形，
取BC的中点O，连结OP，则PO=3，
∵PO⊥BC，∴PO⊥平面EBCD，
∴三棱锥P﹣EBC的体积VP-EBC=13S△EBC⋅PO=13×12×22×3=233．

19．（12分）某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，统计近年来数据得到每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%．统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为（xi，yi）（i＝1，2，…10），并得到散点图如图，参考数据见下．
（1）求出频率分布直方图中m的值，若各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值；
（2）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关，若相关，试根据以下统计的参考数据求出y关于x的线性回归方程；
（3）调查得到明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩，估计明年常规稻A的单价，若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？
统计参考数据：x=1.60，y=2.82，i=110 （xi-x））yi-y）＝﹣0.52，i=110 （xi-x）2＝0.65，
附：线性回归方程ŷ=bx+a，b=i=1n (xi-x)(yi-y)i=1n (xi-x)2．
【解答】解：（1）由m×30+0.01×20+0.02×20+0.025×10＝1，
解得m＝0.005．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
过程一：杂交稻B的亩产平均值为：[（730+790+800）×0.005+（740+780）×0.01+（750+770）×0.02+760×0.025]×10＝116+152+304+190＝762．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
过程二：设杂交稻B的亩产数据为n个，则杂交稻B的亩产平均值为：
[(730+790+800)×0.05n+(740+780)×0.1n+(750+770)×0.2n+760×0.25n]×1n=116+152+304+190＝762．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，
所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
由题目提供的数据得：b=-0.520.65=-0.8，
由y=bx+a得a=y-bx=2.82+0.8×1.60=4.10，
所以线性回归方程为ŷ=-0.8x+4.10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（3）明年杂交稻B的单价估计为ŷ=-0.8×2+4.10=2.50元/公斤，
明年常规稻A的单价估计为2.50×（1+50%）＝3.75元/公斤；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
明年常规稻A的每亩平均收入估计为500×3.75＝1875元/亩，
明年杂交稻B的每亩平均收入估计为762×2.50＝1905元/亩，
因1905＞1875，所以明年选择种杂交稻B收入更高．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
20．（12分）已知椭圆C：x23+y22=1，直线l：y=63x+m（m∈R）与椭圆C交于不同的两点A、B．
（1）若|AB|=533，求m的值；
（2）试求||OA|2﹣|OB|2|（其中O为坐标原点）的最大值．
【解答】解：（1）由2x2+3y2=6，y=63x+m.消去y并整理得4x2+26mx+3(m2-2)=0，
∵直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，
∴△=(26m)2-48(m2-2)＞0，即﹣2＜m＜2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-6m2，x1x2=3(m2-2)4，
|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=[1+(63)2](x1-x2)2=(1+23)[(x1+x2)2-4x1x2]
即53×[(-6m2)2-3(m2-2)]=253，解得m=±63．
（2）∵|OA|2﹣|OB|2=(x12+y12)-(x22+y22)=x12+2(1-13x12)-[x22+2(1-13x22)]=13(x12-x22)=13(x1+x2)(x1-x2)，
又|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=32m2-3(m2-2)=6-32m2=624-m2，
∴||OA|2﹣|OB|2|=13×6|m|2×64-m22=12m2(4-m2)
∵m2(4-m2)≤(m2+4-m22)2=4，
∴||OA|2﹣|OB|2|=12m2(4-m2)≤12×4=1，
即||OA|2﹣|OB|2|的最大值为1．（当且仅当m=±2时，取得最大值）
21．（12分）已知函数f(x)=x-a-1eex+alnx-x（a＜1，e是自然对数的底，e≈2.72）
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若0＜a＜1，x0是函数f（x）的零点，f'（x）是f（x）的导函数，求证：f′(32)＜f′(x0)＜f′(3)．
【解答】解：（1）f′(x)=(x-a)exe+ax-1=(x-a)(exe-1x)(x＞0)，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
设g(x)=exe-1x（x＞0），
由y=exe和y=-1x在（0，+∞）上单调递增，
由x＞0得g′(x)=exe+1x2＞0，
可知g（x）在（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝0，
所以当x∈（0，1）时，g（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g（x）＞0，
①当a≤0时，x﹣a＞0，
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
②当0＜a＜1时，由f'（x）＝0得x＝a或x＝1，
当x∈（0，a）时，x﹣a＜0，g（x）＜0，f'（x）＞0；
当x∈（a，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在（0，a）单调递增，在（a，1）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）方法一（分析法）：
当0＜a＜1时，由（1）知f（x）在（0，1]上的最大值为f（a），
可知f（a）＝﹣ea﹣1+alna﹣a＜0，所以f（x）在（0，1]上无零点．
若x0是函数f（x）的零点，则x0＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
∵f′(x)=(x-a)(exe-1x)(x＞1)，
由y＝x﹣a和y=exe-1x在（1，+∞）上单调递增，且exe-1x＞0、x﹣a＞0，
设h（x）＝f'（x），则h′(x)=(exe-1x)+(x-a)(exe+1x2)，
由x＞1得exe-1x＞0，(x-a)(exe+1x2)＞0，所以h'（x）＞0，
可知f'（x）在（1，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
要证f′(32)＜f′(x0)＜f′(3)，只需证32＜x0＜3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
由（1）知f（x）在（1，+∞）上单调递增，
只需证f(32)＜f(x0)＜f(3)，又f（x0）＝0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
只需证f(32)＜0且f（3）＞0.f(32)=(12-a)e+aln32-32=(ln32-e)a+e2-32，
由ln32＜lne=1，e＞1，得ln32-e＜0，又e2-32＜0，所以f(32)＜0；
f（3）＝（2﹣a）e2+aln3﹣3，由2﹣a＞1得f（3）＞e2+aln3﹣3＞0，
综上所述，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
方法二（综合法）：
当0＜a＜1时，由（1）知f（x）在（0，1]上的最大值为f（a），
可知f（a）＝﹣ea﹣1+alna﹣a＜0，所以f（x）在（0，1]上无零点．
若x0是函数f（x）的零点，则x0＞1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
而f(32)=(12-a)e+aln32-32=(ln32-e)a+e2-32，
由ln32＜lne=1，e＞1，得ln32-e＜0，又e2-32＜0，所以f(32)＜0；
f（3）＝（2﹣a）e2+aln3﹣3，由2﹣a＞1得f（3）＞e2+aln3﹣3＞0，
所以f(32)＜0＜f(3)，又f（x0）＝0，即f(32)＜f(x0)＜f(3)，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
由（1）知f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以32＜x0＜3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
而f′(x)=(x-a)(exe-1x)(x＞1)，
由y＝x﹣a和y=exe-1x在（1，+∞）上单调递增，
且exe-1x＞0、x﹣a＞0，
可知f'（x）在（1，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
所以f′(32)＜f′(x0)＜f′(3)，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝a2（a∈R，a为常数），过点P（2，1）、倾斜角为30°的直线l的参数方程满足x=2+32t，（t为参数）．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且|PA|•|PB|＝2，求a和||PA|﹣|PB||的值．
【解答】解：（1）由ρ2cos2θ＝a2得ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝a2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2﹣y2＝a2，
∴C的普通方程为x2﹣y2＝a2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∵过点P（2，1）、倾斜角为30°的直线l的普通方程为y=33(x-2)+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
由x=2+32t得y=1+12t
∴直线l的参数方程为x=2+32ty=1+t2（t为参数）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）将x=2+32ty=1+t2代入x2﹣y2＝a2，
得t2+2(23-1)t+2(3-a2)=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
依题意知△=[2(23-1)]2-8(3-a2)＞0
则上方程的根t1、t2就是交点A、B对应的参数，∵t1⋅t2=2(3-a2)，
由参数t的几何意义知|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝|t1•t2|，得|t1•t2|＝2，
∵点P在A、B之间，∴t1•t2＜0，
∴t1•t2＝﹣2，即2（3﹣a2）＝﹣2，解得a2＝4（满足△＞0），∴a＝±2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∵||PA|﹣|PB||＝||t1|﹣|t2||＝|t1+t2|，又t1+t2=-2(23-1)，
∴||PA|-|PB||=43-2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[﹣2，1]时，f（x）≤3x+a，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）法一：|f（x）|＝||x+1|﹣|x﹣1||≤|（x+1）﹣（x﹣1）|＝2，
∴﹣2≤f（x）≤2，f（x）的值域为[﹣2，2]；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
法二：f(x)=-2，x＜-12x，-1≤x＜12，x≥1，得﹣2≤f（x）≤2，
∴f（x）的值域为[﹣2，2]；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
（2）由f（x）≤3x+a得a≥|x+1|﹣|x﹣1|﹣3x，
由x∈[﹣2，1]得x﹣1≤0，
∴a≥|x+1|+x﹣1﹣3x＝|x+1|﹣2x﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
设g（x）＝|x+1|﹣2x﹣1（﹣2≤x≤1），
①当﹣2≤x≤﹣1时，x+1≤0，g（x）＝﹣（x+1）﹣2x﹣1＝﹣3x﹣2，
∴g（x）max＝g（﹣2）＝4；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
②当﹣1＜x≤1时，x+1＞0，g（x）＝x+1﹣2x﹣1＝﹣x，
∴g（x）＜g（﹣1）＝1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
综上知，g（x）max＝4，
由a≥g（x）恒成立，得a≥4，即a的取值范围是[4，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
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