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一类植物疾病模型的动力学分析宝鸡文理学院学报（自然科学版），第44卷，第1期，第1-5，18 页，2 0 2 4年3月Journal of Baoji University of Arts and Sciences(Natural Science),Vol.44,No.1,pp.1-5,18,Mar.2024DOI:10.13467/ki.jbuns.2024.01.001摘要：目的讨论具有饱和效应的控制措施对植物疾病传播过程的影响。方法建立了一类以移除感染植株和补种健康植株为控制措施的植物疾病模型，采用饱和函数刻画移除感染植株的数量。结果模型的无病平衡态和地方病平衡态均不稳定，不存在极限环。模型存在无穷远奇点，且不稳定。结论模型的解最终趋于连接3个奇点的异宿轨。关键词：植物疾病；饱和效应；平衡态;Poincar变换；无穷远奇点中图分类号：0 17 5.7Dynamic analysis of a class of plant disease model(School of Mathematics and Information Science,Baoji University of Arts and Sciences,Baoji 721013,Shaanxi,China)Abstract:PurposesTo investigate the impact of control measures with saturation effect on thespread of plant disease.Methods-A class of plant disease model with the control measures of rogue-ing infected plants and replanting healthy plants is built in this paper.The saturation function is usedto characterize the number of infected plants.ResultsThe disease-free equilibrium and the endemic e-quilibrium are unstable.The limit cycle for the model doesnt exist.The model not only exists the sin-gularities at infinity but also is unstable.ConclusionsAny solution of the model tends to the hetero-clinic orbit which connects three singularities.Key words:plant disease;saturation effect;equilibrium;Poincar transformation;singularities atinfinityMSC 2020:34D20;92D30植物疾病是指植物在生物或非生物因子影响下发生的变色、坏死、腐烂、萎焉和畸形等病理变化。植物疾病按照病原体的种类可分为侵染性疾病和非侵染性疾病。侵染性疾病具有传染性，病原体主要为真菌、细菌、病毒、线虫和寄生性种子植物等。非侵染性疾病一般由非生物引起，无传染性。本文讨论侵染性植物疾病的传播和控制情况。侵染性植物疾病严重影响农作物的生产，如真菌、病毒和细菌都会使农作物的产量受到影响，并造成很大的经济损失1。植物病毒具有专化性，一种病毒只能侵染一种或几种特定的植物,但贺静敏，白朵，王爱丽（宝鸡文理学院数学与信息科学学院，陕西宝鸡7 2 10 13）文献标志码：AHE Jing-min,BAI Duo,WANG Ai-li*文章编号：10 0 7-12 6 1(2 0 2 4)0 1-0 0 0 1-0 5也存在少数植物病毒可侵染多种植物2 。已有研究表明，受花叶病毒侵害的木薯会出现植株矮化、叶片收缩和叶片斑驳退绿等症状，严重时会导致植株死亡,在非洲等地区的发病率高达9 6%，甚至10 0%，爆发时导致木薯产量损失6 0%3。番茄斑萎病毒（Tomato SpottedWiltVirus，TSWV)是一种具有传染性的植物病毒，由Brit-tlebank于19 15年首次在澳大利亚发现，如今许多国家都发现了它的踪迹，该病毒能够侵染的植物多达8 4科10 0 0 多种4。植物疾病具有影响范围大，爆发时危害严重的特点，因此植物疾病的*收稿日期：2 0 2 3-10-14，修回日期：2 0 2 3-12-18.基金项目：国家自然科学基金项目（118 0 10 13）；陕西省突发公共卫生应急专项项目（2 0 JG002）作者简介：贺静敏（19 9 8-），女，河南焦作人，在读硕士研究生，研究方向：生物数学.Email:hjm_通讯作者：王爱丽（19 7 8-），女，陕西宝鸡人，教授，博士，硕士生导师，研究方向：生物数学.Email：a i l y _w a n g 8 3 16 3.c o m2防控防治成为农业部门的一项重要任务，所以有必要建立模型研究植物疾病的传播动力学，分析不同控制措施的有效性。研究人员提出了不同的方法防治植物疾病，常见的方法主要有化学方法、生物方法和种植方法。化学方法是指通过喷洒杀虫剂等化学药剂杀死植物病毒的方法，具有见效快和使用简便的优势，但是长期使用会有药物残留、污染环境以及破坏生态平衡等缺点5。生物方法指利用有益微生物或天敌对植物病害进行防治的技术，如引入有益的自然天敌来减少病虫害的数量，具有无毒、无害以及无污染的优点，但是由于有益天敌自身种群的繁殖和其他诸多因素的限制，控制效果不明显6 。种植方法指的是人为改善植物疾病的生长环境，建立合理的种植制度。上述控制措施各有优缺点，对于同一控制措施采取不同的实施方案也会出现不同的控制效果，因此有必要研究控制措施的实施方法。到目前为止，已有很多研究工作通过建立数学模型研究不同措施在植物疾病控制中的作用7-15。文献7 建立模型刻画了一种化学方法(使用具有高挥发性的异硫氰酸烯丙酯（AITC)缓解植物疾病)在通过土壤传播的植物疾病控制中的作用。文献8 建立模型刻画了生物方法，研究了数学模型的正周期解的存在性，该模型描述了在植物种群上生存于向量种群中的病原体的传播动力学。文献9 研究了具有经济阈值和物理控制策略的植物疾病模型，推广了综合疾病管理中植物疾病模型的经典结论，使得植物疾病得到有效控制。文献10 分析了防御和治疗疗法对植物疾病传播动力学的影响，确定了平衡点存在和流行病传播的阈值条件。文献11 采用正比例函数刻画移除感染植株和补种健康植株在植物疾病控制中的作用，建立了一个具有比例种植率的Fil-ippov植物疾病模型，应用定性分析和Lyapunov稳定性理论，研究了模型的全局吸引子。文献12建立了一个具有Logistic 增长率的植物疾病模型，刻画当感染植株数量达到一定经济阈值时需采取控制措施。文献13一15 建立具有脉冲控制策略和时滞的植物疾病模型，讨论了模型正周期解的存在性和稳定性，研究发现选择适当的控制频率和强度可将染病植株数量控制在可接受的水平。本文同时考虑移除感染植株和补种健康植株的控制方法，采用饱和函数刻画移除感染植株宝鸡文理学院学报（自然科学版）的数量，在此基础上建立植物疾病模型。通过分析模型的平衡态和无穷远奇点16 ，探究植物疾病的传播过程和控制结果。本文第1节建立一类具有饱和效应的植物疾病模型，并分析模型的无病平衡态和地方病平衡态的存在性和稳定性，同时分析模型的等倾线和渐近线。第2 节将通过Poincar变换，同时应用高阶奇点的相关分析方法，讨论模型的无穷远奇点的存在性和稳定性。第3节总结本文所得的主要结论。1植物疾病模型及平衡态的稳定性考虑到实践中对感染植株的移除率会随着感染植株的数量增加，但这种涨幅会随着感染植株的数量激增而减缓。下面采用饱和函数l/（m 十I）刻画移除的感染植株数量，这里I表示感染植株的数量，和为正常数，当感染植株数量较大时，移除感染植株；当感染植株数量较小时，移除的植株数量与感染植株数量成比例，比例系数为/。当感染植株数量不断增加，一且达到充分大的数量时,移除的植株数量将会维持在这个水平不变。具有类似移除率的处理方式可以避免移除的植株的无界性。因此建立如下模型(dS=bS-SI-dS+nsdtdI(dt=RSI-l-lm+I其中，S表示易感植株的数量，b表示易感植株的种植比率，表示感染植株的传染率，d表示易病植株的死亡率，表示感染植株的死亡率，表示易感植株的补种率。考虑到植物疾病的实际情况，以下总假设bd。下面讨论模型（1）的平衡态。通过计算可得模型（1)的无病平衡态为Ei=（0,0）,地方病平衡态为E=（S2，I）,其中，(m+b-d n)S=(m+b-d+n)b-d+n模型（1）的雅克比矩阵如下J(S,I)=b-I-d+n一BSIpS-(m+_(m+I)2对无病平衡态Ei，有2024年(1)第1期J(O,0)=其存在2 个异号的特征值，由此知无病平衡态为一鞍点，是不稳定的。对地方病平衡态E2，有J(S2,I)=b-I2-d+n-BS2BI2S2一(m+I2)2由此有tr(J2(E,)=m+b-d+nlb-d+n+mA=Le(b=+n(m+b-d+n)4(b-d+n)(m+b-d+n)+lm+b-d+n从而，当 0 时，E2是不稳定的焦点，当0 时，E是不稳定的结点，如图1所示。8070605040302010001020304050607080S图1模型(1)的相图Fig.1The phase diagram of model(1)综上所述，可得到定理1。定理1模型（1）的无病平衡态Ei是不稳定的鞍点，地方病平衡点E2是不稳定的焦点或结点。当 0 时，E2是不稳定的结点。接下来判断极限环的存在性。为讨论方便，记(sS=bs-gsI-ds+rs P(S.1)dtdIdtBSI-l-Lm+T=Q(S,I)为了研究极限环的存在性,选择Dulac 函数 B(S,I）=S-1I-1,其中 n，n 为非负数。由模型(1)贺静敏等一类植物疾病模型的动力学分析b-d+n00一mJmm(2)82gi3可得a(BP)a(BQ)a(bS I2-1 BSI2a1S-1 I2-(nb-rI-nd+mu-lm+mS-am-(m+I)2)当n=0,n2=0时,有a(BP)a(BQ)1a1I l(m+I)2因此,模型在第一象限不存在极限环。以上结果表明，地方病平衡态是不稳定的焦点或结点，且在第一象限里不存在极限环，如图1所示。图1中圆点表示地方病平衡态，gi表示初值为（15，3）的轨线，g2表示初值为（0.8,0.8）的轨线，L，为竖直等倾线，L为水平等倾线。其中参数值为b=1,=0.5,d=0.2,=0.4，=0.8,m=1,n=0.3。下面计算模型（1）的等倾线。今=0.可得模型(1)有 2 条竖直等倾线dtL和 L2,即LI:S=O,b-d+nL2:I=应dI二0，可得模型（1）具有2 条水平等倾线dtL和 L4,即L3:I=0,L4:S=%+(m+I)。接着计算模型(1）的渐近线。令S=S-S,I=I-I,则有dsdt=b(S+S)-(S+S)(I+i)-d(S+S)+n(S2+S)-S:+3)(E+1)(I+1)(3)dt(I+1)m+I+1对模型（3）进行化简，得dS In2+nS I2)m+14ds(b-lz-d+n)s-Sz i-psidt(1+I)1dt=I23+BSI+由模型(4)可得BI2+3i+d(m+I)(m+I+i)sdsb-z-d+n-S2对（5）式左右两边取极限，则有Bli+Cmulkk。b-I2-d+n-Sz k化简得到关于k的一元二次方程BS2k2+（m+12)直接计算可知，当 0 时，则模型（1）的渐近线的斜率k1，k 2 分别如下一2B(b-d+n)-(m+b-d+n)(m+b-d+mLa(m+b-d+n+一2B(b=d+n)+(Bm+b-d+n)V(m+b-d+)L(m+b-d+n)+其中由（2）式定义。由此知，当 0 时，模型（1）存在2 条渐近线Ls和L，即Ls:Ii=ki(S-S2)+I2,L6:Iz=k2(S-S2)+I2。当 0 时，模型（1）不存在渐近线。当=0 时，模型（1）有一条渐近线。综上所述，可得以下结论。定理2 当 0 时，模型（1）存在2 条渐近线；当=0时，模型(1）有一条渐近线。2楼模型的无穷远奇点本节计算模型（1）的无穷远奇点。令a1dS=bs-pSI-ds+nsdtsI-l-1+a1dIa21dt作时间变换d=1+adt,则模型(6)变为S=S(b-d+n)+(ab-a d+dtai n-)I-ai Id宝鸡文理学院学报（自然科学版）(4)(m+I)(m+I+i)(I,+i)1一BIS-k+I2=0。1，a 2=片,则模型(1)变为mm2024年对(7)式作Poincar变换,即令1S则有=-(b-d+n+a)y+dy-(ai+ain+aib-(5)ai d-)cy+aic+aia?l=(b-d+ny-(ab-ad-dt再作时间变换弯=d,则可得=a L y+apa+(a d-a b-dtain-ai+)ya-(az+b-d+n)y?+aia?=L-(b-d+p)y-(ab-dtaid+ain+-)yx+ar模型（9）存在平衡态（0，0），此时模型（1）在无穷远处存在一个奇点O=（0,0）。下面判断O1的稳定性。为分析其稳定性，先作Briot-Bouquet变换=兴，可得=a(al+)wi-a pu+dtaiarw2-wdt+b-d+n)w-(ab-ai d+ain+ai)x?w对模型（10）作时间变换dt=dt,则有dt+b-d+n)-(aib-(6)ad+an-+ai)wdtai acw2-u2由此得，O=（0,0）是鞍点，从而得知模型(7)（1）存在唯一的无穷远奇点，且是不稳定的。综上可得以下结论。定理3模型（1）存在无穷远奇点O=（0，(8)y(9)(10)(11)第1期0),其为不稳定的。下面对模型（7）作第二次Poincar变换则有d=-a-au+(a b-aid+d之ain+ai-)z-zu+(b-d+n+a+)之=a+(a+)x-u-al(dt之对模型(12）作时间变换d=dt,则有ain+ai-)-zu+(13)(b-d+n+ai+)之d由模型（13）可知，此种情况下模型（1）存在一个奇点O2=（0,0）。为分析O=（0,0）的稳定性，作Briot-Bouquet变换=二,则可得do=La-(aib-aid+ain-dt)-(b-d+n)2d=-au-a o+(ab-ad+dtai n-+ai)u2-03+(a2+b-d+n)g类似讨论可得，模型（1）的无穷远奇点O=（0，0）是鞍点，其不稳定。综上可得如下结论。定理4模型（1)存在无穷远奇点O2=（0，0),其为不稳定的。由以上分析可知，模型（1）不存在极限环，无病平衡态E和地方病平衡点E,均为不稳定的。其存在2 个无穷远奇点O和O2，且均为不稳定的。综上可得，模型（1）的动力学如下。定理5模型(1）的任一解将最终趋向于连接无病平衡态Ei、无穷远奇点O和无穷远奇点O2的异宿轨,即模型（1）的所有解将围绕其地方病平衡态E2旋转。综上可得，当环境容纳量足够大时，植物疾病不能得到控制,即使在一些时间内染病植株数量可以控制在非常低的水平，但经过一段时间后，又贺静敏等一类植物疾病模型的动力学分析会出现再次爆发。3总结本文建立了一类以移除感染植株和补种健康植株为控制措施的植物疾病模型，刻画了具有饱和效应的移除率在植物疾病控制中的作用。分析了模型的平衡态，得到无病平衡态和地方病平衡态均为不稳定的，同时得到模型不存在极限环。(12)此外，讨论了模型的无穷远奇点的存在性、类型以及稳定性。运用Poincar变换将平面系统的无穷远奇点可转变为一个具有有限坐标的点，据此得到模型具有2 个无穷远奇点。利用高阶奇点的判定方法，分析2 个无穷远奇点均为不稳定的，研究得到模型的解最终趋于连接3个奇点的异宿轨。本文主要结果表明，论文建模时假定环境容量足够大时，由文中结论可知此种情况下，采取饱和效应的控制措施不能很好地控制植物疾病。说明当环境容纳量充分大时，控制措施需要调整以更好地控制植物疾病。参考文献：1GIBSON R W,LEGG J P,OTIM-NAPE G W.UUnusually severe symptoms are a characteristic ofthe current epidemic of mosaic virus disease of cas-sava in Uganda J.Annals of Applied Biology,1996,128(3)：47 9-49 0.2HUANG CJ,XIE Y,ZHOU X P.Efficient virus-(14)induced gene silencing in plants using a modifiedgeminivirus DNAl componentJJ.Plant Biotechnol-0gy Journal,2009,7(3):254-265.3JEGER M J,HOLT J,VAN DEN BOSCH F,et al.Epidemiology of insect-transmitted plant viruses:Modelling disease dynamics and control interven-tionsJJ.Physiological Entomology,2004,29(3):291-304.4ZHANG Z J,ZHANG J H,LI X W,et al.Theplant virus tomato spotted wilt orthotospovirus ben-efits its vector Frankliniella occidentalis by decrea-sing plant toxic alkaloids in host plant datura stra-moniumJ.International Journal of Molecular Sci-ences,2023,24(19)：144-151.5PAUL A,CHAKRABORTY N,SARKAR A,et 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