1.2.1经济模型与应用.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
1.2.1经济模型与应用（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、
重点

难点

教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配
1、 常用的几种经济函数 20分钟
例1-例5 25分钟
2、 经济分析中的导数模型 15分钟
例6-例13 30分钟

作业

备注

14
1.2.1经济模型与应用
1、 常用的几种经济函数
（1） 需求函数与供给函数
① 需求函数
某种商品的需求量是消费者愿意购买此种商品，并且有支付能力购买该种商品的数量。
一般来说，商品的需求量将随着市场价格的上涨而减少，即需求函数为价格的单调递减函数（特殊函数除外）。
在经济学中，常见的函数有以下几种类型：
线性需求函数
二次需求函数
指数需求函数
② 供给函数
某种商品的供给量是指在一定时期内，生产者(厂家）在一定价格下，愿意并可能出售商品的数量。
一般来说，与需求函数相反，当某商品的市场价格比较高时，生产者愿意多生产此种商品，所以当市场上该商品的价格上涨时，供给量会增加。因而供给函数是一个单调递增函数。
在经济学中，常见的供给函数有以下几种类型：
线性供给函数
幂供给求函数
指数供给函数
③ 均衡价格
均衡价格是指市场上需求量与供给量相同时的价格（即供需
均衡的条件是）。
【例1】某电子市场销售某品牌微机，当单价为6000（元/台）时，每月能销售100台；为了进一步吸引消费者，增加销售量，商店将微机的价格调低为5500（元/台），这样每月可多销售20台，假设需求函数是线性的，求这种微机的需求函数。
解 设需求函数为，将已知条件代入，得方程组
解得，所求的需求函数为

【例2】某种商品的需求函数是，供给函数是，求该商品的市场均衡价格和市场均衡商品量。
解 由供需均衡条件，可得
解得市场均衡价格，市场均衡商品量。
（2） 总成本函数、总收入函数和总利润函数
① 总成本函数
总成本是生产者用于生产产品的所有费用。一般可分为两部分：第一部分是厂房、设备等固定资产的折旧，管理者的工资等。这一类成本的特点是短期内不发生变化，即不随产品产量的变化而变化，称为固定成本，用来表示；第二部分是能源费用、原材料费用、劳动者的工资等，这类成本的特点是随产品产量的变化而变化，称为可变成本，用表示。总成本用表示，产品的产量用来表示，则总成本函数为

常见的总成本函数有：
线性函数
二次函数
单从总成本看不出生产者生产水平的高低，还要进一步考察单位产品的成本，即平均成本，记为，即

称它为平均成本函数，其中是总成本函数。
【例3】某工厂生产某种产品的固定成本为30000元，每生产一个单位产品总成本增加100元，求：（1）总成本函数；（2）平均成本函数；（3）生产100个单位产品时的总成本和平均成本。
解 （1）总成本函数

（2）平均成本函数

（3）生产100个单位产品时的总成本和平均成本
（元）
（元）
② 总收入函数
总收入是指生产者的商品售出后的收入，用表示。生产者销售某种商品的总收入取决于该商品的销量和价格。如果用表示销量的函数，则总收入函数为

除总收入外，还有平均收入，用表示，它是销售单位产品的收入

【例4】已知某种商品的需求函数为，试求该商品的总收入函数，并求出销售100件商品时的总收入和平均收入。
解 由需求函数得

总收入函数为

平均收入函数为

③ 总利润函数
总利润是生产者的总收入减去总成本后的剩余部分，用表示。由于总成本和总收入都是产量的函数，因而总利润也是产量的函数，即总利润函数为

单位产品所获得的利润称为平均利润，用表示，即

【例5】某工厂每生产某种商品个单位的总成本为（元），得到的总收入为（元），求总利润函数，并求产量为1000时的总利润。
解 总利润函数

2、 经济分析中的导数模型
（1） 边际分析
在经济学中，将经济函数的导数称为边际函数。例如：需求函数的导数称为边际需求函数，供给函数的导数称为边际供给函数，总收入函数的导数称为边际收入函数，总利润函数的导数称为边际利润函数等。一般地，如经济函数，其边际函数在点处的函数值称为这个函数在处的边际函数值，它表示在处，若产生一个单位的改变时，相应地变化了个单位。
① 边际成本
总成本函数的导数称为边际
成本函数。其经济意义为：当产量为时，再生产一个单位产品所增加的总成本。
【例6】某厂生产某种商品，总成本函数为（元），（1）指出固定成本、可变成本；
（1） 求边际成本函数及产量时的边际成本；（3）说明其经济意义。
解 （1）固定成本
可变成本
（2）边际成本函数

（3）经济意义：在产量为200时，再多生产一个单位产品，总成本要增加24元。
②边际收入
总收入函数的导数称为边际收入函数。其经济意义为：在销量为时，再多销售一个单位产品作增加的总收入。
【例7】通过调查得知某种家具的需求函数为，其中（单位：元）为家具的销售价格，（单位：件）为需求量。求销售该家具的边际收入函数，以及当销售量、600、750件时的边际收入。
解 由需求函数得价格

总收入函数为
则边际收入函数

② 边际利润
总利润函数的导数称为边际利润函数。其经济意义为：

在销量为时，再多销售一个单位产品所增加的总利润。
因为总利润函数等于总收入函数减去总成本函数，即

由导数的运算法则可知

所以，边际利润等于边际收入减去边际成本。
【例8】某厂每月生产某产品（单位：百件）单位时的总成本为（单位：千元）。若每百件的销售价格为4万元，试写出总利润函数。

解 由题意得总收入函数为
总利润函数为
（2） 弹性分析
① 函数的弹性
定义1对于函数，如果极限存在，那么称此极限为函数在点处的弹性，记作，即

定义2对于函数，如果极限存在，那么称此极限为函数在点处的弹性，记作，即

也称为函数的弹性函数。
【例19】求函数的弹性函数及在处的弹性。
解 弹性函数

② 需求弹性
设某商品的需求函数为，则需求弹性为

需求弹性表示某种商品需求量对价格的变化的敏感程度。
当时，称为单位弹性，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等，此价格是最优价格；
当时，称为富有弹性，此时商品需求量的相对变化大于价格的相对变化，此时价格的变动对需求量的影响较大。换句话说，适当降价会使需求量较大幅度上升，从而增加收入；

当时，称为缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化，此时价格的变动对需求量的影响较小。在适当降价后不会使需求量有较大的下降，从而增加收入。
【例10】设某商品的需求函数为（其中，是商品价格，使需求量），求（1）需求弹性函数；（2）时的需求弹性，并说明经济意义。
解 （1），所求弹性函数为

（2），，
经济意义：当时，，此时价格上涨1%时，需求只减少0.6%，需求量的变化幅度小于价格变化的幅度，适当提高价格可增加销售量，从而增加总收入；当时，，此时价格上涨1%时，需求将减少1%，需求量的变化幅度等于价格变化的幅度，是最优价格；当时，，此时价格上涨1%时，需求将减少1.2%，需求量的变化幅度大于价格变化的幅度，适当降低价格可增加销售量，从而增加总收入。
（3）最大值与最小值在经济活动中的应用
【例11】某工厂生产某商品的总成本函数为（元/件）
问该厂生产多少件产品时平均成本最低？
解 平均成本函数

由，得驻点（舍去）
又
因此是的极小点，也就是最小点，即当该厂生产3000件产品时平均成本最小。
最大利润原则：
因为

总利润函数取得最大值的必要条件是，即

总利润函数取得最大值的充分条件是，即

亦即边际收入的导数小于边际成本的导数。
【例12】已知某产品的需求函数，总成本函数为，求产量为多少时总利润最大？并验证是否符合最大利润原则。
解 由需求函数，得总收入函数为

总利润函数为

另，得，，所以当时，总利润最大。
此时；

所以符合最大利润原则。
【例13】某公司每周生产单位产品和单位产品，其成本函数为
产品、的单位售价分别为200元和300元。假设两种产品均很畅销，试求公司获得最大利润时这两种产品的生产量及相应的最大利润。
解 由题意，公司的总收入函数为

公司的总利润函数为

求得，

解方程组
得驻点。又由于
，，
因此
而，由二元函数极值存在的充分条件知，当，时，取极大值也是最大值，即当产品、的产量均为50个单位时，公司可获得最大利润，其最大利润为
（元）
在经济活动中，还会遇到其它类型的优化问题，如下面的最优批量问题。
在按一定的产量计划分批生产的情况下，产品的生产准备费和库存保管费与产品的批量（即每批的生产量）有关，现讨论使总费用达到最小的条件。
设产品的年计划产量为，分批生产，均匀销售（即产品的平均库存量为批量的一半），每批产品的生产准备费为，每单位产品的年库存保管费为。记每批的生产批量为，则全年的生产批数为，年平均库存量为，股权年的总费用是批量的函数，即

由费用函数的导数

可知在的驻点处有

因此，当总费用达到最小时，生产准备费应等于库存保管费。
的驻点显然是唯一的，并且的二阶导数

故在点处取得最小值，此时总费用最小。
【例14】某厂生产的产品年销售量为100万件，假设这些产品分为若干批生产，每批需生产准备费1000元（与批量大小无关）；产品均匀销售，且每件产品库存一年需存费0.05元，求使每年生产所需的生产准备费与库存保管费之和最小的最佳批量。
解 设每年生产所需的生产准备费与库存保管费之和为元，批量为万件，则

由得，由知驻点为最小值点。因此，最佳批量为20万件。
3．经济模型应用举例
（1）存贮模型
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。存贮量多少合适？
存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。下面建立允许缺货的存贮模型。
模型假设：
① 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；
② 产品每日的需求量为常数 r ；
③ 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；
④生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需在下次生产（订货）时补足。
模型建立：
总费用=生产准备费+存贮费+缺货损失费
存贮费=存贮单价×存贮量
缺货损失费=缺货单价×缺货量
求存贮量和缺货量为多少时，总费用最省？
因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值， q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T1) = 0，如图。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。

一个周期内存贮费

一个周期内缺货损失费

一个周期的总费用

每天平均费用

模型求解：

用微分法，令

每天平均最小费用

每个周期的供货量

与不允许缺货模型相比较，有

结果解释：

① 即允许缺货时，周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。
②缺货损失费愈大， 愈小， 愈接近 ， 愈接近 。
③

不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。
（2）空调销售量的预测
某家电商场经营两种品牌的空调，销售图表显示，当A品牌空调每台定价x（千元）、B品牌空调每台定价y（千元）时，A品牌空调的销售量为

（台）
假若现在是2月份，在未来的几个月内，随着气温的逐渐升高，两种空调的销售价格都呈上升趋势，预计从现在起的第t个月，A品牌空调的销售价格为
（千元|台）
B品牌空调的销售价格为
（千元|台）
现在，就让我们根据以上所提供的信息，利用边际函数帮助商场预测一下7月份A品牌空调的销售量是增加还是减少。
我们知道，边际销售函数在（月）处的函数值近似表示第（月）增加的销售量，由于现在是2月份，而7月份是从现在起的第5各月，因此我们只要求出即可。由

及，可得

上述结果表明，7月份A品牌空调的销售量比6月份大约将减少4台。造成A品牌空调的销售量不但没能增加反而减少的原因，主要是B品牌空调价格上调的幅度相对偏小的缘故。因为到了7月份，A品牌空调的销售价格已经上调为
（千元）
而B品牌空调的销售价格仅为
（千元）
一般说来，在品牌知名度，质量以及售后服务水平相差无几的情况下，较高的价格往往难以激起消费者的购买欲望。