2.1.7定积分的换元法与分部积分法.doc

新编经济应用数学(微分学 积分学)第五版
课题
2.1.7 定积分的换元法与分部积分法（2学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 理解定积分的换元法。
2、 掌握定积分的分部积分法。
重点
理解定积分的换元法、分部积分法。
难点
理解定积分的换元法、分部积分法。
教
学
方
法
手
段
讲练结和
主
要
内
容
时
间
分
配
一、 定积分的换元法 （45分钟）
二、 定积分的分部积分法 （45分钟）
作业

备注

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2.1.7 定积分的换元法与分部积分法
新编经济应用数学
§2.1.7 定积分的换元法与分部积分法
从上节微积分学的基本公式知道,求定积分的问题可以转化为求被积函数在区间上的增量问题。从而在求不定积分时应用的换元法和分部积分法在求定积分时仍适用,本节我们来学习定积分的换元积分法与分部积分法。
一、定积分的换元积分法
定理 如果函数在区间上连续，函数在区间上单调且有连续导数，当在上变化时，在上变化，且，则

上式称为定积分的换元公式。应用该公式时，要注意“换元必换限”以及不一定小于。
【例1】求
解：令，则，从而
当时，，当时，

=
【例2】求
解：令，则，则
当时，时，

　　　　　　 ＝
【例3】 设函数在区间上连续，设，

求证：
（1）当为偶函数时，有
（2）当为奇函数时，有
证明：由定积分对区间的可加性，得

对积分作变换 当时，时，
则有

于是

（1） 当为偶函数时，有，则

（2）当为奇函数时，有，则

【例4】 证明
证明：令，则
当时，，当时，
左=右
二、定积分的分部积分法
设函数在区间上有连续导数，则有

即
【例5】 求
解：设则

＝
【例6】 求
解：

【例7】求
解：
＝
＝
＝
所以 2
即
【例8】求
解：先用换元法，再用分部积分法。

设，则.
当时，；当时，.

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2.1.7 定积分的换元法与分部积分法