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数值分析思考题8
1、 简述一般插值型求积公式的积分原理。Newton-Cotes求积公式为什么没有Gauss型求积公式代数精度高？
给定一组节点a≤x0<x1<x2<…<xn≤b,已知f(x)在节点上的值，作插值函数Ln(x)，取In=,作为积分I的近似值，构造求积公式In=,系数Ak=，lk(x)为插值基函数。余项为R[f]=。如果求积公式为插值型，对于不超过n的多项式f(x)，其余项R[f]等于0，这是求积公式至少具有n次代数精度。
高斯型求积公式的节点是经过适当选取的，具有2n+1次代数精度,因此精度也比Newton-Cotes求积公式的n次（n为偶数则为n+1）次代数精度高。
2、 梯形法与两个节点的Gauss型方法哪个更精确？证明Simpson方法的代数精度为3。
两个节点的Gauss型方法更加精确。
Simpson公式：
将f(x)=x3代入得到S=I,因此具有三次代数精度。
将f(x)=x4代入得到S=，通常情况下S不等于I，因此不具有四次代数精度。
3、确定下列数值积分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。
（1）；
A-1=A1=, A0=

（2）。
w1=w2= w3=w4=
3、 分别用复化梯形公式、复化Simpson公式计算的数值积分，误差不超过
精确值为0.620115.
复化梯形公式：Tn=
取h=(b-a)/2得，Tn=0.618994
取h=(b-a)/4得，Tn=0.619836
取h=(b-a)/8得，Tn=0.620045, 满足精度要求。
复化Simpson公式：
Sn=
取h=(b-a)/2得，Tn=0.620116，满足精度要求。
4、 分别用Romberg算法和Gauss型求积公式计算的数值积分。
Romberg算法：
k
h

0
b-a
1.875000

1

1.537500
1.425000

2

1.428090
1.391620
1.389395

3

1.398572
1.388732
1.388539
1.388525
求得近似值
Gauss型：令,得到原式 ≈