概率论与数理统计考试题及答案.doc

一、填空题(每小题3分,共30分)
1、“事件中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 .
2、设,则________________.
3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 .
4、设随机变量的分布律为则_________.
5、设随机变量在内服从均匀分布,则 .
6、设随机变量的分布律为

则的分布律是 .
7、设随机变量服从参数为的泊松分布,且已知 则 .
8、设是来自正态总体的样本,是样本均植,则服从的分布是
.
9、设总体,是来自总体的样本,则参数的矩估计量为 .
10、设是来自总体的样本,是的无偏估计,则
.

二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求:
(1)求取出的产品为次品的概率;

(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.

三、(本题12分)设随机变量的概率密度为
(1)确定常数; (2)求的分布函数;
(3)求.

四、(本题12分)设二维随机向量的联合分布律为

试求: (1) a的值; (2)与的边缘分布律; (3)与是否独立?为什么?

五、(本题12分) 设随机变量的概率密度为

求.

六、(本题12分)设离散型随机变量的分布律为
,
其中为未知参数,为一组样本观察值,求的极大似然估计值.

七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米()?
(附:

一、填空题(每小题3分,共30分)
1、或 2、0.6 3、或或0.3636
4、1 5、 6、
7、1 8、 9、
10、
二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求:
(1)求取出的产品为次品的概率;
(2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率.
解 设分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,表示取出的零件为次品,则由已知有
2分
(1)由全概率公式得
7分
(2)由贝叶斯公式得
12分
三、(本题12分)设随机变量的概率密度为

(1)确定常数; (2)求的分布函数; (3)求.
解 (1)由概率密度的性质知

故. 3分
(2)当时,;
当时, ;
当时, ;
当时, ;
故的分布函数为
9分
(3) 12分
四、(本题12分)设二维随机向量的联合分布律为

试求:
(1) a的值; (2)和的边缘分布律; (3)与是否独立?为什么?
解 (1)由分布律的性质知

故 4分
(2)分别关于和的边缘分布律为
6分
8分
(3)由于,,故

所以与不相互独立. 12分
五、(本题12分) 设随机变量的概率密度为

求.

解 6分
9分
12分
六、(本题12分)设离散型随机变量的分布律为
,
其中为未知参数,为一组样本观察值,求的极大似然估计值.
解 似然函数
4分
对数似然函数
6分
8分
解似然方程得. 10分
所以的极大似然估计值为 12分
七、(本题10分)某种零件的尺寸方差为,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03
设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米()?
(附:)
解 总体,总体方差已知,检验总体期望值是否等于32.50.
(1) 提出待检假设 1分
(2) 选取统计量,在成立的条件下 2分
(3) 对于给定的检验水平,查表确定临界值

于是拒绝域为 5分
(4) 根据样本观察值计算统计量的观察值:

8分

(5)判断: 由于,故拒绝H0,即不能认为这批零件的平均尺寸是32.50毫米 10分

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