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第5章 扭 转
5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算
5.1.1、扭转的概念
在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。
图5.1
图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。

图5.2
图示5.3，载重汽车的传动轴。

图5.3

图示5.4，挖掘机的传动轴。

图5.4
图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。

图5.5
分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。

图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。
5.1.2、外力偶矩的计算
工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为：
（5.1）
式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为；
N-----轴传递的功率，单位为；
n------轴的转速，单位为r/min。

图5.7

5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图
5.2.1 扭矩
已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a为受扭圆轴，设外力偶矩为，求距A端为x的任意截面上的内力。假设在截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b），由平衡条件，得内力偶矩T和外力偶矩的关系

内力偶矩T称为扭矩。
扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。

图5.8
图示5.8的b和c，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是或。
5.2.2 扭矩图
为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在轴上方，负值扭矩画在轴下方。这种图形称为扭矩图。

例题5.1 图示传动轴，转速，A轮为主动轮，输入功率，B、C、D为从动轮，输出功率分别为，，，试求各段扭矩。
解：1、计算外力偶矩

2、分段计算扭矩，设各段扭矩为正，用矢量表示，分别为
（图c）
（图d）
（图e）
，为负值说明实际方向与假设的相反。
3、作扭矩图

例题5.1图

5.3 等直圆轴扭转时横截面上的切应力
5.3.1 实心圆轴横截面上的应力
工程中要求对受扭杆件进行强度计算，根据扭矩T确定横截面上各点的切应力。下面用实心圆轴推导切应力在横截面上的分布规律。
1、变形几何关系
取一实心圆轴，在其表面等距离地画上圆周线和纵向线，如图5.9（a）所示，然后在圆轴两端施加一对大小相等、方向相反的扭转力偶矩，使圆轴产生扭转变形，如图5.9（b）所示，可观察到圆轴表面上各圆周线的形状、大小和间距均未改变，仅是绕圆轴线作了相对转动；各纵向线均倾斜了一微小角度

。

图5.9
根据观察到的现象，由表及里作出如下假设。
⑴ 变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；
⑵ 横截面上的半径仍保持为直线；
⑶ 各横截面的间距保持不变。
圆轴扭转时，横截面上的切应力非均匀分布，仅依靠静力方程无法求出，必须利用变形条件建立补充方程，即切应力的导出需按解超静定问题的相似步骤进行。
根据上述假设，从圆轴中取相距为的微段进行研究，如图5.10（a）所示。

图5.10
设半径R，根据平面假设，可以设想扭转时各横截面如同刚性平面一样绕杆轴作相对转动。则由图可知变形后，纵向线段

变为，和的夹角为（切应变），对应横截面的圆心角，在小变形的条件下可以建立如下关系。

为了研究横截面上任意点的切应变，从圆轴截面内取半径为的微段，如图5.10（b）所示。同理可得
（5.2）
上式表明，横截面上任意点的切应变同该点到圆心的距离成正比关系。
2、物理关系
根据剪切胡克定律，在剪切比例极限之内（或弹性范围以内）切应力和切应变成正比关系

将（5–2）式代入上式，得
（5.3）
上式表明，圆轴扭转时，横截面上任意点处的切应力与该点到圆心的距离成正比，其分布如图5.11所示，式中可利用静力方程确定。

图5.11
3、静力学关系
根据图5.11所示，横截面上任意点的切应力和扭矩有如下静力学关系

将（5.3）式代入

式中，称截面的极惯性矩，代入上式，得
（5.4）
将（5.4）式代入（5.3）式，得到圆轴扭转横截面上任意点切应力公式
（5.5）
当时，表示圆截面边缘处的切应力最大
（5.6）

式中，称为抗扭截面系数。它是与截面形状和尺寸有关的量。
5.3.2 极惯性矩和抗扭截面系数
极惯性矩 和抗扭截面系数 可按其定义通过积分求得。下面介绍其计算方法。
对于图5.12（a）实心圆轴，可在圆轴截面上距圆心为处取厚度为的环形面积作为微面积dA ，于是，从而可得实心圆截面的极惯性矩为

抗扭截面系数为

如为图（b）空心圆轴，则有

式中为空心圆轴内外径之比。空心圆轴截面的抗扭截面系数为

极惯性矩的量纲是长度的四次方，常用的单位为或。抗扭截面系数的
量纲是长度的三次方，常用单位为或。

（a） （b）

图5.12

5.4 等直圆轴扭转时的强度计算
5.4.1 圆轴扭转强度条件
工程上要求圆轴扭转时的最大切应力不得超过材料的许用切应力，即

对于等截面圆轴，表示为

上式称为圆轴扭转强度条件
试验表明，材料扭转许用切应力和许用拉应力有如下近似的关系。
塑性材料
脆性材料
例题5.2 汽车的主传动轴，由45号钢的无缝钢管制成，外径，壁厚，工作时的最大扭矩，若材料的许用切应力，试校核该轴的强度。
解：1、计算抗扭截面系数
主传动轴的内外径之比

抗扭截面系数为

2、计算轴的最大切应力

3、强度校核
主传动轴安全
例题5.3 如把上题中的汽车主传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定实心轴的直径，并比较空心轴和实心轴的重量。
解：1、求实心轴的直径，要求强度相同，即实心轴的最大切应力也为，即

2、在两轴长度相等、材料相同的情况下，两轴重量之比等于两轴横截面面积之比，即

讨论：由此题结果表明，在其它条件相同的情况下，空心轴的重量只是实心轴重量的31%，其节省材料是非常明显的。这是由于实心圆轴横截面上的切应力沿半径呈线性规律分布，圆心附近的应力很小，这部份材料没有充分发挥作用，若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大或，从而提高了轴的强度。然而，空心轴的壁厚也不能过薄，否则会发生局部皱折而丧失其承载能力（即丧失稳定性）。

5.5 等直圆轴扭转时的变形及刚度条件
5.5.1 圆轴扭转时的变形
轴的扭转变形用两横截面的相对扭转角表示，由（5.4）式，可求段的相对扭转角。

当扭矩为常数，且也为常量时，相距长度为l的两横截面相对扭转角为
（弧度） （5.7）
式中，称为圆轴扭转刚度，它表示轴抵抗扭转变形的能力。
相对扭转角的正负号由扭矩的正负号确定，即正扭矩产生正扭转角，负扭矩产生负扭转角。
若两横截面之间T有变化，或极惯性矩变化，亦或材料不同（切变模量G变化），则应通过积分或分段计算出各段的扭转角，然后代数相加，即：

在工程中，对于受扭转圆轴的刚度通常用相对扭转角沿杆长度的变化率来度量，用表示，称为单位长度扭转角。即：
（5.8）
5.5.2 圆轴扭转刚度条件
工程中轴类构件，除应满足强度要求外，对其扭转变形也有一定要求，例如，汽车车轮轴的扭转角过大，汽车在高速行驶或紧急刹车时就会跑偏而造成交通事故；车床传动轴扭转角过大，会降低加工精度，对于精密机械，刚度的要求比强度更严格。下式即为刚度条件

（5.9）
在工程中，的单位习惯用（度/米）表示，将上式中的弧度换算为度，得

对于等截面圆轴，即为

许用扭转角的数值，根据轴的使用精密度、生产要求和工作条件等因素确定，对一般传动轴，为~，对于精密机器的轴，常取在之间。
例题5.4 图示轴的直径，切变模量，试计算该轴两端面之间的扭转角。

例题5.4图
解：两端面之间扭转角为

1、作扭矩图（图b）

2、分段求扭转角

式中，

例题5.5 主传动钢轴，传递功率，转速，传动轴的许用切应力，许用单位长度扭转角，切变模量，试计算传动轴所需的直径。
解：1、计算轴的扭矩

2、根据强度条件求所需直径

3、根据圆轴扭转的刚度条件，求直径

故应按刚度条件确定传动轴直径，取。
本章小结

1、圆轴扭转横截面上任一点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，在圆心处为零。最大剪应力发生在截面外周边各点处，其计算公式如下：
，
2、圆轴扭转的强度条件为：

利用它可以完成强度校核、确定截面尺寸和许可荷截等三类强度计算问题。
3、圆轴扭转变形的计算公式为：

圆轴扭转的刚度条件是：

思 考 题
5.1 直径相同，材料不同的两根等长的实心圆轴，在相同的扭矩作用下，其最大切应力和最大单位扭转角是否相同？
5.2 横截面面积相同的空心圆轴和实心圆轴相比，为什么空心圆轴的强度和刚度都较大？

习 题
5.1 试作下列各轴的扭矩图。

题5.1图
5.2 图示传动轴，转速，A轮为主动轮，输入功率，B、C、D为从动轮，输出功率分别为，。⑴试作轴的扭矩图；⑵如果将轮A和轮C的位置对调，试分析对轴受力是否有利。

题5.2图 题5.3图
5.3 T为圆轴横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。
5.4 图示圆截面空心轴，外径，内径，扭矩，试计算的A点处的扭转切应力以及横截面上的最大和最小的扭转切应力。

题5.4图
5.5 一直径为的圆截面轴，其转速为，设横截面上的最大切应力为，试求所传递的功率。
5.6 将直径，长的钢丝一端嵌紧，另一端扭转一整圈，已知切变模量，求此时钢丝内的最大切应力。
5.7 某钢轴直径，扭矩，材料的许用切应力，单位长度许用扭转角，切变模量，试校核此轴的强度和刚度。
5.8 阶梯形圆轴直径分别为d1=40mm，d2=70mm，轴上装有三个皮带轮，如图所示。已知由轮3输入的功率为N3=3kW，轮1输出的功率为N1=13kW，轴作匀速转动，转速n=200r/min，材料的许用切应力，，许用扭转角＝。试校核轴的强度和刚度。

题5.8图
5.9 一钢轴受扭矩，许用切应力，许用扭转角，切变模量，试选择轴的直径。
5.10 桥式起重机题5.10图所示。若传动轴传递的力偶矩，材料的许用切应力，，同时规定0.5°/m。试设计轴的直径。

题5.10图
5.11 某空心钢轴，内外径之比，转速，传递功率，已知许用切应力，许用扭转角，切变模量，试设计钢轴的内径和外径。
5.12 某传动轴，横截面上的最大扭矩，许用切应力，试按下列两种方案确定截面直径：⑴横截面为实心圆截面；⑵横截面为的空心圆截面。
5.13 横截面面积相等的实心轴和空心轴，两轴材料相同，受同样的扭矩T作用，已知实心轴直径，空心轴内外径之比值。试求二者最大切应力之比及单位长度扭转角之比。
5.14 钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比值）的横截面面积相等，钢轴许用应力，铝轴许用应力，若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩？
5.15 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起，已知轴的转速，传递功率，材料的许用切应力，试选择实心轴直径和内外径比值的空心轴外径。

题5.15图
5.16 已知传动轴的功率分别为，，，若AB段和BC段轴的最大切应力相同，试求此两段轴的直径之比及两段轴的扭转角之比。

题5.16图
5.17 已知轴的许用切应力，切变模量，许用单位扭转角，试问此轴的直径d达到多大时，轴的直径应由强度条件决定，而刚度条件总可满足。
5.18 长度、材料、外力偶矩相同的两根圆轴，一根是实心轴，直径为，另一根为空心轴，内外径之比，试求两轴具有相等强度时的重量比和刚度比。
5.19 图示圆轴承受集度为m的均匀分布的扭力矩作用，已知轴的抗扭刚度和长度l，试求B截面的扭转角。

题5.18图 题5.19图
5.20 传动轴外径，长度，段内径，段内径，欲使轴两段扭转角相等，则应是多长。

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