晶体的热传导.doc

§3-8 晶体的热传导
晶格振动理论是一种简谐近似理论，即在晶体的势能中只考虑与原子位移有关的简谐项。按这一理论，各种格波是相互独立的，某一格波处于某一能级不会衰减，这样晶格振动的热平衡就无法实现。在实际晶体中，势能的非简谐项间虽然很小，但总是存在，由于非谐项的作用，简谐振子不再是相互独立的，相互间要发生作用，即声子间要发生能量交换。这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的相互作用，这种频率的声子将会转换成另一频率的声子，即一种频率的声子要湮灭，而另一种声子将产生，经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布能达到热平衡。

3. 8. 1 N过程和U过程

原子间的非谐作用使格波交换能量，是声子达到热平衡的基础。这一节要研究声子间的相互作用，并用声子气模型来解释热阻问题。
最简单的声子间相互作用是三声子过程，即2个声子（；）相互作用产生第3个声子（）的过程。在这个过程中，满足能量守恒和准动量守恒：
…………………………………………………（3-8-1）
……………………………………………………（3-8-2）
其中G为倒格矢。
如果G=0，则都在第一布里渊区内，如图3-8-1(a)所示。声子碰撞前后系统的准动量严格守恒，能量不变，这样的过程不产生热阻，不影响整个声子系统的流动，称为正常过程或正规过程，也叫N过程。
q1
q2
q3
Г
q2
q1
q3
Г
q4
G
(a) (b)
图3-8-1 两个声子的相互作用

如果G≠0，则相当于在第一布里渊区，而不在第一布里渊区（超出第一布里渊区的范围），如图3-8-1(b)所示。按照我们前面的讨论，不在第一布里渊区的波矢不代表新的物理意义，或者说有物理意义的波矢都在第一布里渊区内。我们可以将约化到第一布里渊区，用代表，即。但由于声子碰撞产生的有意义的波矢的方向与原来波矢和的方向几乎相反，而且这一过程中初态与终态的准动量差ħG，因此这种过程对于改变声子动量起重要作用，是高温下影响平均自由程的决定性因素，这个过程是产生晶格热阻的主要物理机制。常称这个过程为倒逆过程，也叫U过程。

3. 8.2 晶体的热导率

设某种材料制成的样品两端温度不同，分别为，T2（设T2>T1）。热流就会从高温端流向低温端，如图3-18所示。实验结果表明，能流密度Q正比于温度梯度
………………………………………………………………（3-8-3）
κ为热导率。它度量样品传输能量的能力，一般取κ为正值，式中负号表示能流密度与温度梯度方向相反。
x
T1
T2
图3-18 声子的热导

如果不考虑电子对热传导的贡献，则晶体中的热传导主要依靠声子来完成。在没有温度梯度时，各种q的声子在各方向上作无规运动。存在温度梯度时，由声子把能量从T2端传递到T1端，能流密度Q≠0。声子不是畅通无阻地由T2端行进到T1端，在通过样品的扩散过程中遭到频繁地碰撞。通常把声子的前后两次碰撞间走过的平均距离l称为声子的平均自由程。利用上述模型，我们可以把经典气体分子运动论中关于热导率的理论移植到声子热传导的问题中来。得到声子的热导率为：

……………………………………………………………（3-8-4）
其中是晶格（声子）比热，是声子平均速度的大小，说得更清楚一点，是布里渊区中全部占据态（声子）平均速度的大小。
在（3-8-4）中，CV是与温度相关的，平均自由程l由散射过程决定，显然也与温度密切相关，只有基本上与温度无关，所以热导率κ是温度的函数。比热与温度的关系在前面已经论述过，这里主要介绍平均自由程l与温度T的关系。
平均自由程l与温度T的关系决定于在晶体中发生的碰撞（散射）过程，这个问题非常复杂，下面只简单归纳为几个重要的散射机制：
（1）声子之间的散射
（2）声子受晶体中的点缺陷（杂质、空位等）的散射
（3）声子受样品边界的散射
与每一种散射机制相联系有一个平均自由程…，
因而产生相应的热阻…
总热阻为：W=Wa+Wb+Wc+…
总平均自由程为：
由于l与T的关系十分复杂，这里只讨论简单情况，即某一温度范围内，假设只有一种散射机制起主导作用——声子之间的散射。前面介绍了声子之间散射的N过程和U过程。对于机械波在传递能量时，并不需要媒质中一定要存在温度梯度，即热导率可无限大，热阻为零。按声子气模型，若声子间无相互作用，可只存在N过程仍不能解释热阻产生的原因。因为若开始时声子气的准动量沿

x方向，在传播过程中系统的准动量保持不变，则声子将携带能量沿x方向传播，也不需要温度梯度。只有当声子间存在U过程相互作用时，才能解释晶格热阻产生的原因。

3. 8. 3 U过程对热导的影响

如果两个声子散射后产生第三个声子，只有，波矢大小具有的量级，才可能发生的U过程，引起热阻。根据德拜理论，这两个参与碰撞的声子的能量为量级。
在高温下（T>>），因为
…………………………………………………（3-8-5）
所以总声子数与T成正比，能够参与U过程的声子数也与T成正比。由于声子数的多少与碰撞几率τ成正比，所以有：
∝T……………………………………………………………………………（3-8-6）
即l∝……………………………………………………………………………（3-8-7）
由于高温下，声子的比热容CV遵守杜隆——珀替定律，与温度无关，所以此时热导率本身随温度升高而降低，即
κ∝1/T（3-8-8）
实际上，更精确的理论分析可以导出κ∝1/()，这里x介于1到2之间，这一点已经被实验所证实。
低温（T<<）时，平均自由程l可以大到能与样品的线度相比拟，这时可以用晶体尺寸D代替。按德拜模型，低温时，则有：
…………………………………………………………………………（3-8-10）
即低温下热导率按规律变化。每当声子的平均自由程与样品的线度可以比拟时，就会出现尺寸效应。

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