根轨迹法习题和答案.doc

第四章 根轨迹法习题及答案
4-1 系统的开环传递函数为

试证明在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。

解 若点在根轨迹上，则点应满足相角条件

，如图所示。
对于，由相角条件

满足相角条件，因此在根轨迹上。
将代入幅值条件：

解出 ： ，

4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出时系统的闭环传递函数。
（1） （2）
解 (1)

(2) =

4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。

解
根轨迹如图。
时，

4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ (2)
(3) (4)
解 ⑴
三个开环极点：,,
① 实轴上的根轨迹：,
② 渐近线：
③ 分离点：

解之得：，(舍去)。

④ 与虚轴的交点：
特征方程为

令
解得
与虚轴的交点（0，）。
根轨迹如图所示。

⑵
根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：,
② 分离点：
解之得：。
根轨迹如图所示。

⑶根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：,
② 渐近线：
③ 分离点：
用试探法可得 。
根轨迹如图所示。

(4) 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：[0, 1],[-1,-2]
②分离点：
求解得：
根轨迹如图所示。

4-5 已知单位反馈系统的开环传递函数为

要求：(1) 绘制系统的根轨迹；(2) 确定系统临界稳定时开环增益k的值；
(3) 确定系统临界阻尼比时开环增益k的值。
解 (1)

① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-]
② 分离点：
求解得
③ 渐近线：
根轨迹如图所示。
(2) 系统临界稳定时
(3) 系统临界阻尼比时

4-6 已知系统的开环传递函数为，要求绘制根轨迹并确定系统阶跃响应无超调时开环增益k的取值范围。
解
① 实轴上的根轨迹：
② 渐近线：

③分离点：
解之得：。
④与虚轴交点：

把代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：

解得：
⑤起始角：
由相角条件，。
根轨迹如图所示。
所有根为负实根时阶跃响应无超调，此时 所以
4-7 单位反馈系统的开环传递函数为，
试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的k值范围。
解 ：根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：
② 渐近线：

③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

把代入上方程，
令
解得： ，
根轨迹如图所示。由图可知使系统稳定的值范围为 。

4-8 已知控制系统的开环传递函数如下，试绘制系统根轨迹（要求求出起始角）。

解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：

② 渐近线：

③ 分离点：

解之得： (舍去)
④　与虚轴交点：闭环特征方程为

把代入上方程，
令
解得：
⑤　起始角：
解出 根轨迹如图所示。

4-9 已知系统开环传递函数如下，试分别绘制以a和T为变化参数的根轨迹。
(1) ，；(2) ，

解 (1)
① 实轴上的根轨迹：
② 渐近线：
③ 分离点：
根轨迹如图所示。
(2)
① 实轴上的根轨迹：
② 起始角终止角：

解得起始角

解得终止角 根轨迹如图所示。

4-10 已知系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的根轨迹，
并求出所有根为负实根时开环增益k的取值范围及系统稳定时k的值。

解
① 实轴上的根轨迹：
② 分离点：，
③ 渐近线：，
④ 与虚轴交点：，
根轨迹如图所示。
，，
结论：时所有根为负实根，时系统稳定。
4-11 已知系统结构图如图所示，试绘制时间常数变化时系统的根轨迹，并分析参数的变化对系统动态性能的影响。

解：
作等效开环传递函数
根轨迹绘制如下： （注意：
① 实轴上的根轨迹：,
② 分离点： 解得。
根据幅值条件，对应的。
③ 虚轴交点：闭环特征方程为

把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

解得：
④ 起始角：
参数从零到无穷大变化时的根轨迹如图所示。(请注意根轨迹的方向！)
从根轨迹图可以看出，当时，系统阶跃响应为单调收敛过程；时，阶跃响应为振荡收敛过程；时，有两支根轨迹在s右半平面，此时系统不稳定。

若取另外一种等效开环传递函数则解题步骤如下：

三条根轨迹中两条起于-10，一条起于，均终止于原点
① 实轴上的根轨迹：,
② 分离点： 解得。
其余步骤与上基本相同，根轨迹相同，只是-10处为两个开环极点，原点处为3个开环零点，根轨迹方向与图中一样。

4-12 控制系统的结构如图所示，试概略绘制其根轨迹()。

解 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。
① 实轴上的根轨迹：,
② 分离点：
解得
③ 起始角：根据相角条件，

得 ，，。
根轨迹如图所示。

4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的值。
解 由开环传递函数的表达式知需绘制根轨迹。
① 实轴上的根轨迹： ；
② 分离点：
解得： ,
将, 代入幅值条件得：
,
③ 与虚轴交点：闭环特征方程为

把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

解得：
根轨迹如图所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆 。系统产生重实根的为0.54，7.46，产生纯虚根的为2。

Ok