MATLAB实现拉格朗日插值.doc

数值分析上机报告

题目：插值法

学号：201014924

姓名：靳会有

一、调用MATLAB内带函数插值
1、MATLAB内带插值函数列举如下：

interp1
interpft
interp2
interp3
interpn
spline
meshgrid
ndgrid
griddata
一维数据内插(查表法)
使用FFT方法的一维数据内插
二维数据内插(查表法)
三维数据内插(查表法)
多维数据内插(查表法)
三次样条内插
为三维绘图产生X和Y阵
为多维函数和内插产生阵列
数据网格
2、取其中的一维数据内插函数（interp1）为例，程序如下：
其调用格式为：
yi=interp1(x, y, xi)
yi=interp1(x, y, xi, method)
举例如下：
　 x=0:10:100
　　y=[40 44 46 52 65 76 80 82 88 92 110];
　　xi=0:1:100
　　yi=interp1(x,y,xi,'spline')
3、其他内带函数调用格式为：
Interpft函数：
y=interpft(x,n)
　　y=interpft(x,n,dim)
interp2函数：

ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI)， ZI=imerp2(Z, ntimes)
ZI=interp2(Z, XI, YI) ，ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI, method) interp3函数：
VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) VI=interp3(V, ntimes)
VI=interp3(V,XI,YI,ZI) VI=interp3(…, method)
Interpn函数：
VI=interpn(X1, X2, X3, …, V, Y1, Y2, Y3, …)
VI=interpn(V, ntimes)
VI=interpn(V, Yl, Y2, Y3, …) 　VI=interpn(…, method)
Spline函数：
yi=spline(x,y,xi)
　　pp=spline(x,y)
meshgrid函数：
[X,Y]=meshgrid(x,y)
[X,Y]=meshgrid(x)
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z)
Ndgrid函数：
[X1, X2, X3, …]=ndgrid(x1, x2, x3, …)
　　[X1, X2, X3, …]=ndgrid(x)
Griddata函数：
ZI=griddata(x, y, z, XI, YI)
[XI, YI, ZI]=griddata(x, y, z, xi, yi)
　 […]=griddata(… method)
二、自编函数插值
1、拉格朗日插值法：
建立M 文件：
function f = Language(x,y,x0)

syms t l;
if(length(x) == length(y))
n = length(x);
else
disp('x和y的维数不相等！');
return; %检错
end
h=sym(0);
for (i=1:n)
l=sym(y(i));
for(j=1:i-1)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
for(j=i+1:n)
l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));
end;
h=h+l;
end
simplify(h);
if(nargin == 3)
f = subs (h,'t',x0); %计算插值点的函数值
else
f=collect(h);
f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数
end
在MATLAB中输入：
x=[18 31 66 68 70 72 70;]
y=[23 33 52 51 43 40 46];

f=Language(x,y)
plot(x,y)
结果为：
f =Inf + (-t)*Inf - 54329.8*t^2 + 1503.75*t^3 - 22.2065*t^4 + 0.16789*t^5 - 0.000512106*t^6
图形如下：

MATLAB实现拉格朗日插值
建立如下拉格朗日插值函数：
function y=lagrange(x0,y0,x);
n=length(x0);
m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n

if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end

画图程序如下：
x=[-5:1:5];
y=1./(1+x.^2);
x0=[-5:0.001:5];
y0=lagrange(x,y,x0);
y1=1./(1+x0.^2);
plot(x0,y0,'r')
hold on
plot(x0,y1,'g')

注：画出的图形为n =10的图形

得到图形如下：

n=10的图像

牛顿K次插值多项式
一、实验目的：
1、掌握牛顿插值法的基本思路和步骤。
2、 培养编程与上机调试能力。
二、牛顿插值法基本思路与计算步骤：
给定插值点序列（。构造牛顿插值多项式。输入要计算的函数点并计算的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；另一方面的各项系数恰好又是各阶均差，而各阶均差可用均差公式来计算。
为 的 一阶均差。
为 的 k 阶均差。
均差表：

零阶均差
一阶均差
二阶均差
三阶均差

X0
f(X0)

X1
f(X1)
f[X0, X1]

X2
f(X2)
f[X1, X2]
f[X0,X1, X2]

X3
f(X3)
f[X2, X3]
f[X1, X2,X3]
f[X0,X1, X2 X3]
M
M
M
M
M
牛顿插值法计算步骤：
1． 输入值及（；要计算的函数点。
2． 对给定的由

计算的值。
3．输出。
程序清单：
function[c, d]=newpoly(x, y)
%牛顿插值的MATLAB实现
%这里 x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。
%c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。
n=length(x);%取x的个数。
d=zeros(n, n);%构造nXn的空数组。
d(: , 1)=y';
for j=2 : n
for k=j : n
d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1)) / (x(k)-x(k-j+1));
end
end
c =d(n, n);
for k=(n-1) : - 1 : 1
c =conv(c, poly(x(k)));% conv求积，poly(x)将该多项式的系数赋给向量。
m=length(c);
c(m)=c(m)+d(k, k);
end
五、测试数据与结果：
测试数据：（第三章习题第三题第2题）
f(x)=lnx的数值如表所示， 构造牛顿插值多项式并求ln0.53的值。
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.357765
-0.223144
解： 由表可知x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, x3=0.7, x4=0.7，函数值：

Y0=-0.916291, y1=-0.693147, y2=-0.510826, y3=-0.357765, y4=-0.223144
建立一个主程序np.m
clc
clear
newpoly([0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],[ -0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.357765, -0.223144])
计算结果如下：
ans =

-0.3096 2.6083 -5.4861 5.6921 -2.4744
由此看出所求的牛顿多项式为：
P(x)= -0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744
P(0.53)= -0.6347。

（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）