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向量基础知识梳理
1．向量：
既有________，又有________的量叫向量．
2．向量的几何表示：
以A为起点，B为终点的向量记作________．
3．向量的有关概念：
（1）零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．
（2）单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．
（3）相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．
（4）平行向量（共线向量）：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．
①记法：向量a平行于b，记作________．
②规定：零向量与__________平行．
1．向量的加法法则
（1）三角形法则

如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量________叫做a与b的和（或和向量），记作__________，即a＋b＝＋＝________．上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______．
（2）平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
2．向量加法的运算律
（1）交换律：a＋b＝______________．
（2）结合律：（a＋b）＋c＝______________________．

3．向量的减法
（1）定义：a－b＝a＋（－b），即减去一个向量相当于加上这个向量的__________．
（2）作法：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________．如图所示．

（3）几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为________，被减向量的终点为________的向量．例如：－＝________．
1．向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫做向量的__________，记作________，其长度与方向规定如下：
（1）|λa|＝__________．（2）λa （a≠0）的方向；
特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝________或λ0＝________．
2．向量数乘的运算律
（1）λ（μa）＝________．
（2）（λ＋μ）a＝____________．
（3）λ（a＋b）＝____________．
特别地，有（－λ）a＝____________＝________；
λ（a－b）＝____________．
3．共线向量定理
向量a （a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______________．
4．向量的线性运算
向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝__________________．
1．平面向量基本定理
（1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的______向量a，__________实数λ1，λ2，使a＝____________________________．
（2）基底：把________的向量e1，e2叫做表示这一平面内________向量的一组基底．
2. 两向量的夹角与垂直

（1）夹角：已知两个__________a和b，作＝a，＝b，则________＝θ （0°≤θ≤180°），叫做向量a与b的夹角．
①范围：向量a与b的夹角的范围是______________．
②当θ＝0°时，a与b________.
③当θ＝180°时，a与b________.
（2）垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作______________．
3．平面向量的坐标表示
（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解．
（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个____________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝____________，则________________叫作向量a的坐标，________________叫作向量的坐标表示．
（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A（x，y），则＝________，若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝________________________．
1．平面向量的坐标运算
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．
（2）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝____________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
（3）若a＝（x，y），λ∈R，则λa＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
2．两向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．
（1）当a∥b时，有______________________．
（2）当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．
3．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．
当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．
1．平面向量数量积
（1）定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量______________叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．
（2）规定：零向量与任一向量的数量积为____．
（3）投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________．
2．数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影______________的乘积．
3．向量数量积的运算律
（1）a·b＝________（交换律）；
（2）（λa）·b＝________＝________（结合律）；
（3）（a＋b）·c＝______________________（分配律）．
1．平面向量数量积的坐标表示
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝_______．即两个向量的数量积等于_____________．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
则a⊥b⇔________________．
3．平面向量的模
（1）向量模公式：设a＝（x1，y1），则|a|＝________________．
（2）两点间距离公式：若A（x1，y1），B（x2，y2），则||＝________________________．
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则cos θ＝________＝__________．
向量方法在几何中的应用
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的等价条件：a∥b（b≠0）⇔________⇔______________________．
（2）证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔____________⇔______________．
（3）求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝_______________＝_____________．
（4）求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝_______．