最短路径问题.doc

最短路径问题 姓名
类型一、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之和最小的问题：
1. 一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。
作法：连接两个定点，交直线于一点，交点即为所求。
例1、如图，在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．
作法：连接AB，交直线l于点P，点P即为所求。
说明：∵连接A、B两点的线中，线段最短。
∴连接AB，交直线l于点P，此时PA+PB最小=AB
2. 一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之和最小，确定动点的位置。
方法：利用轴对称变换将直线同侧两个定点转化为直线异侧两个定点，然后根据“两点之间线段最短”，用例1的方法确定动点的位置。
例2、 如图，在直线上求一点P，使PA+PB值最小．
作法：①作点A关于直线的对称点A’；
②连接A’B，交直线l于点P，点P即为所求。
说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线对称，
∴直线是AA’的垂直平分线，∴PA=PA’，∵两点之间，线段最短。
∴此时PA+PB最小=PA’+PB=AB。
类型二、一条直线外两个定点到直线上一动点距离之差最大的问题：
1. 一条直线同侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。
例3、在直线上求一点P，使的值最大．
作法：连接AB，并延长交直线于点P，点P即为所求。
证明：在直线上另取一点P’，连接P’A和P’B， ∵三角形的两边之差大于第三边，
∴； 而连接AB，并延长交直线于点P，此时，

2. 一条直线异侧两个定点到直线上一动点距离之差最大，确定动点的位置。
方法：利用轴对称变换将直线异侧两个定点转化为直线同侧两个定点，
然后根据“三角形的两边之差大于第三边”，用例3的方法确定动点的位置。
例4、如图，在直线上求一点P，使的值最大．
作法：①作点B关于直线的对称点B’，②连接AB’，并延长交直线于点P，点P即为所求。
说明：连接AP、AA’，∵点A和点A’关于直线对称，∴直线是AA’的垂直平分线∴PA=PA’，
若在直线上另取一点P’，连接P’A和P’B， ∵三角形的两边之差大于第三边，
∴ ∴此时
总结：“同侧差最大，异侧和最小；位置不满足，对称后再看；三点共线找交点”。
类型三、两条直线之间的区域内有一定点，两直线上各有一动点，要使连接这三点所得的三角形周长最小，确定两动点的位置。
例5、如图，在直线上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．
方法分析：利用轴对称，将定点P分别转化到两直线所夹区域的外部去
（即直线的另一侧），再根据“两点之间，线段最短”，
连接点P的两个对称点，与直线的交点即为所求。
作法：①分别作点P关于直线的对称点;

说明：连接MP、NP，∵点P和点P1关于直线对称，∴直线是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，
∵点P和点P2关于直线对称，∴直线是PP2的垂直平分线，∴NP=NP2 ，
∵两点之间，线段最短 ，∴此时PM+MN+PN最小=MP1+MN+NP2=P1P2
类型四、两条直线的之间有两个定点，两直线上各有一动点，要使连接这四点所得的四边形周长最小，确定两动点的位置。
例1、在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN周长最小.
方法分析：利用轴对称，将两个定点P、Q分别转化到两直线所夹区域的外部去
（即直线的另一侧），一侧一个点，再根据“两点之间，线段最短”，
连接点P、Q的对称点，与直线的交点即为所求。
作法：①作点Q关于直线的对称点; ②作点P关于直线的对称点；

说明：连接MP、NQ，∵点P和点P1关于直线对称，∴直线是PP1的垂直平分线，∴MP=MP1，
∵点Q和点Q1关于直线对称，∴直线是QQ1的垂直平分线，∴NQ=NQ1，
∵两点之间，线段最短 ，∴此时PM+MN+PN最小=MP1+MN+NQ1=P1Q1
例2、如图，牧童星期天从A处赶了几只羊到草地放羊，然后赶到小河饮水，之后再回到B处的家，假设牧童赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线标明放羊与饮水的位置。

类型五、架桥修路距离最短的问题
1、 两条平行线之间的距离为d，直线外有异侧两定点A、B，在上分别有两个动点M、N，且，要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置。
作法：
①从点A向下作AA’⊥m且AA’=d（即：将点A向下平移d个单位长度至点A’）
②连接A’B，交直线n于点N，
③作NM⊥m于M，M、N即为所求。
说明：连接AM、BN，此时，AA’平行且等于MN，四边形AA’NM是平行四边形，
AM=A’N， ，且AM+MN+BN最小=A’B+MN。
例1、如图，从A地到B地经过一条小河（两岸平行），今要在河上建一座桥
（桥与河岸垂直），应如何选择桥的位置才能使A到B的路程最短?

例2、荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，
需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与
河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？

2、一条直线a上有两个动点M、N（点M在N的左边），M、N的距离为定值d，直线a外有异侧两定点A、B，要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置。
作法：①从点A向右作AA’∥a且AA’=MN=d（即：将点A向右平移d个单位长度至点A’）
②连接A’B，交直线a于点N，
③在直线a上点N的左边截取NM=d，M、N即为所求。
说明：连接AM、BN，此时，AA’平行且等于MN，
四边形AA’NM是平行四边形，AM=A’N， 且AM+MN+BN最小=A’B+MN。

3、一条直线a上有两个动点M、N（点M在N的左边），M、N的距离为定值d，直线a外有同侧两定点A、B，要使AM+MN+BN的值最小，试确定动点M、N的位置。
作法：①作点A关于直线a的对称点，（问题即转化为2中的问题）
②从点A向右作且（即：将点向右平移d个单位长度至点）
③连接，交直线a于点N，
④在直线a上点N的左边截取NM=d，M、N即为所求。
说明：连接AM、BN，此时，平行且等于MN，四边形是平行四边形，
， 且AM+MN+BN最小=A’B+MN。
注：解决有关距离最大最小的问题，应先将问题转化成以上基本模型，再按其基本方法确定题目中所需点的位置。