马氏链模型及其一些应用.doc

A 基础理论 B 应用研究 C 调查报告 D 其他本科生毕业设计（论文）马氏链模型及其一些应用二级学院：专 业：年 级：学 号：作者姓名：指导教师：完成日期：2013年5月10日目录1 马氏链模型的思想原理11.1 马氏链模型的简介11.2马氏链模型的基本原理12 马氏链模型的两个应用32.1 马氏链模型在广东各城市人均GDP中的应用32.1.1 人均GDP类型划分32.1.2 年份的状态转移矩阵62.2 马氏链模型在教育评价中的应用83 评价与改进12参考文献.13马氏链模型及其一些应用摘 要：本文给出马氏链模型在预测广东各城市人均GDP以及在教育评价中的应用首先将人均GDP情况分为5种状态，然后根据往年人均GDP的数据，建立马氏链模型，对10年后人均GDP进行科学分析和预测；利用两班两次考试成绩应用马氏链模型分析法分析两班的教学效果 关键词:马氏链模型；人均GDP；教育评价；概率转移矩阵Markov chain model and its some applicationsAbstract：This article give a markov chain model in the prediction of guangdong cities GDP per capita and the application of education evaluation. GDP per capita is first divided into five kinds of state, and then according to the data of the GDP per capita in the previous years, markov chain model is established, scientific analysis and projections for GDP per person 10 years from now; Twice with two class exam results using markov chain model analysis, the analysis of two class teaching effect. Key words：Markov chain model;GDP per capita;Education evaluation;The transfer matrix of probability1 马氏链模型的思想原理1.1 马氏链模型的简介 在考察有随机因素影响的动态系统时，常常碰到这样的情况：系统在每个时期所处的状态是随机的从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各时期的状态无关这种性质称为无后效性，或马尔可夫(Markov)性，通俗地说就是：已知现在，将来与历史无关具有无后效性的，时间、状态均为离散的随机转移过程通常用马氏链（Markov Chain)模型描述马氏链模型在经济、教育、社会、生态、遗传等许多领域有着广泛的应用1.2 马氏链模型的基本原理 按照系统的发展，时间离散化为,对每个，系统的状态用随机变量表示设可以取k个离散值且记即状态概率，从到的概率记即转移概率如果的取值只取决于的取值及转移概率而与的取值无关那么这种离散状态按照离散时间的随机转移过程称为马氏链由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程为（1） 并且和应满足 （2） （3） （4）引入状态概率向量（行向量）和转移概率矩阵 （5） （3）式表明转移矩阵是非负阵，(4)式表示的行和为1，称为随机矩阵 定义1:一个有k个状态的马氏链如果存在正整数使从任意状态经次转移都以大于零的概率到达状态则称为正则链用下面的定理容易检验一个马氏链是否为正则链 定理1：若马氏链的转移矩阵为则它是正则链的充要条件是：存在正整数使(指的每一元素大于零)定理2：正则链存在惟一的极限状态概率使得当状态概率与初始状态概率无关又称为稳态概率，满足 （6） （7） 定理3：设P是一个马氏链转移矩阵（的行向量是概率向量），是初始分布行向量，则第步的概率分布为 （8）2 马氏链模型的两个应用2.1 马氏链模型在广东各城市人均GDP中的应用 为了了解广东各城市发展水平和发展趋势，逐步消除各城市发展不均衡以此来促进经济协调发展因此，本文应用马氏链优化模型来确定广东22个城市人均GDP的变化规律，并对其进行预测及分析2.1.1 人均GDP类型划分判断一个地区的发展程度重要的指标就是人均GDP，根据1990年世界发展报告中的分类标准可以将各国家（城市）人均GDP划分为贫穷、温饱、小康、富裕和发达五种类型针对广东现实状况，按照下面的标准划分为五种类型： -贫穷（人均GDP在0美元300美元）； -温饱（人均GDP在300美元800美元）； -小康（人均GDP在800美元1500美元）； -富裕（人均GDP在1500美元3000美元）； -温饱（人均GDP在3000美元以上）因为人均GDP具备了“无后效性”这个特点，所以可以看成是一个以，为状态空间的马氏链由广东的年鉴表可以查到广东20052010年各城市的GDP如表1.表1 广东20052010年各城市的GDP（元） 年份城市200520062007200820092010广州538096249569673764407938387458深圳608016844176273834318414794296珠海453205218961303667986804277888汕头128831445916483186341998222776佛山420665039459329680337169180313顺德423825 5112759407686057288181154韶关116081387516607192582024524505河源7483922211847141271416316301梅州767084749940115391245314554惠州219092450328288317483314238650汕尾7419849210062119381333615845东莞332873917345057504714898852798中山364354228648441529215415660797江门195462285826225299103099935622阳江127171484517241203402226026676湛江127291480416713197741670820161茂名127291480416713197742084725496肇庆118901362616441200412255427987清远90791193916540210012346829487潮州112151268114601169601838121107揭阳7417850010217125391407517264云浮8664984311776138891474117074 针对1990年世界发展报告中的标准当时是由人民币对美元按照1:8的汇率换算，将表1的数据转换为以美元为单位，由此得到表2表2 广东20052010年各城市的GDP（美元）年份城市200520062007200820092010广州6726.1257811.8758709.12595559922.87510932.25深圳7600.1258555.1259534.12510428.87510518.37511787珠海56656523.6257662.8758349.758505.259736汕头1610.3751807.3752060.3752329.252497.752847佛山5258.256299.257416.1258504.1258961.37510039.125顺德52978.1256390.8757425.8758575.6259110.12510144.25韶关14511734.3752075.8752407.252530.6253063.125河源935.3751152.751480.8751765.8751770.3752037.625梅州958.751059.251242.51442.3751556.6251819.25惠州2738.6253062.87535363968.54142.754831.25汕尾927.3751061.51257.751492.2516671980.625东莞4160.8754896.6255632.1256308.8756123.56599.75中山4554.3755285.756055.1256615.1256769.57599.625江门2443.252857.253278.1253738.753874.8754452.75阳江1589.6251855.6252155.1252542.52782.53334.5湛江1591.1251850.52089.1252471.752088.52520.125茂名1591.1251850.52089.1252471.752605.8753187肇庆1486.251703.252055.1252505.1252819.253498.375清远1134.8751492.3752067.52625.1252933.53685.875潮州1401.8751585.1251825.12521202297.6252638.375揭阳927.1251062.51277.1251567.3751759.3752158云浮10831230.37514721736.1251842.6252134.25将广东22个城市20052010年人均GDP的数据为依据建立马氏链模型由表2可以看出广东20052010年各城市的人均GDP均超过了温饱水平，故将广东各城市的人均GDP划分为下面三种类型： -小康（人均GDP在800美元1500美元）； -富裕（人均GDP在1500美元3000美元）； -温饱（人均GDP在3000美元以上）按照上述四种类型的分类标准，表3给出了广东各城市20052010年人均GDP的状态个数的数据表3 广东各城市20052010年人均GDP的状态个数 年份 类型20052006200720082009 20109652006881113878999142.1.2 年份的状态转移矩阵 根据各年的状态数量变化情况，得到了20052006年状态转移数量，如表4，通过观察可以发现，有个9从出发（转移出去）的状态中，有6个是从转移到的，有3个是从转移到，所以表4 广东各城市20052006年状态转移情况本期状态下期状态 630051007由此计算方法可以得到20052006年的概率转移矩阵同理可以得到20062007年，20072008年，20082009年，20092010年的状态转移矩阵 为减少随机误差，增加一步转移矩阵计算的可信度和准确性，取状态转移矩阵的平均值，通过matlab计算可以得到一步转移矩阵：假设在期间没有发生如战争、天灾、疾病等严重影响经济发展的外因，那么对于上述状态转移阵求极限，极限的结果必然最后各城市的人均GDP类型变为(发达地区)因此，利用马氏链模型来预测未来十年后的各地区的人均GDP情况现取20052010年广东各城市的人均GDP地区类型数平均值为初始地区类型数根据定理3，利用步转移矩阵得到10年后的人均GDP的情况： 由此可知：10年后广东省贫困和温饱情况下的城市皆为0个，小康情况下的城市为0.0002个，富裕情况下的城市为2.8476个，发达情况下的城市为17.9683个这些预测结果是在假设在没有扰动的情况下进行预测的，按照目前稳定的经济发展状况，10年广东省大多城市从现在的小康社会步入到比较富裕和发达的社会，这是符合马氏链模型概率转移矩阵求极限即经过无数次转移后广东各城市成为发达地区类型的规律 但是本次预测是基于不出现重大自然灾害、战争和金融危机的假设下进行的，而且马尔科夫链的预测仅适用于短期预测，因此具有一定的局限性2.2 马氏链模型在教育评价中的应用 在教育教学评价中，利用马氏链模型进行评价，通过分析学生两次测试的不同成绩等级的变化，根据学生的“进步度”来把握整体的进步情况，以此来评定教学效果的好坏更为科学、客观 将学生成绩分为五个等级，即优秀、良好、中等、及格、不及格计算方法为：90分以上（含90分）为优秀，8089分（含80分）为良好，7079分(含70分)为中等，6069分（含60分）为及格，60分以下为不及格建立如下模型：1、 定义1：其中为的转移进步度，为的权重值的大小和正负表示进步或退步的程度，指数“3”是用来调节正负和权重大小2、 定义2：为转移矩阵的进步矩阵3、 定义3：为转移矩阵的效率度 现在选取湛江师范学院09数本2班以及09统计1班两学期数学分析的成绩作为样本数据，记9数本2班、9统计1班分别为A、B班第一学期结束时进行测试，作为初始状态，第二学期，经过教师一个学期的教学过程，教学效果有所转变，学期末进行第二次测试，作为转移后的状态通过统计可以看到A、B两个班学生成绩情况如附录1，由于B班的人数比A班多一人为便于统计、分析去掉B班学号排在最后一名同学的成绩，对总体评估效果影响忽略不计然后统计一步转移之后转移频数和各状态的频数如表5、表6表5 A班各成绩等级之间的一步转移频数状态转移频数优秀良好中等及格不及格优秀818440良好11300中等00100及格00000不及格00000表6 B班各成绩等级之间的一步转移频数 状态转移频数优秀良好中等及格不及格优秀55141良好02550中等00230及格00132不及格00011 经过计算可以得到A、B两班第二次的平均成绩分别为：82.525,69.048不能就此认定A班的教学效果优于B班，因为这样的计算方法没有充分考虑到两个班学生基础原有的差异，A班为选拔成绩较好的学生组成的课改实验班，学习成绩总体要比B班好，显然单纯比较平均分是不够客观不够科学的必须要利用能反应总体进步情况的因素来评估，这里用马氏链模型来分析正好符合这一特点设第一次测验后各等级水平的学生人数分别为；第二次测验后，原来90分以上学生成绩的名学生中，仍保持者有人，下降为8089分者有人，下降7079分为人，下降为6069分为人，下降为6069分为人，可得出第一次考试成绩在90分以上的学生的成绩转移情况同理，可求其他各等级转移情况分别为、根据表5可以计算出各两班等级概率转移矩阵、 从而利用定义2可以求出、的进步矩阵 由定义3可得、的效率值分别为：、 从模型直观上看，假如教学效率高，总体上学生进步大，那么其效率值就越大因为A、B两班的效率值都是负数，说明两班的第二学期的成绩相比上学期是退步的，这是由于多方面的因素造成的，可能第一学期学生刚上大学学习热情高，努力程度相比第二学期较高，花时间在学习上也多，而第二学期则有放松的状态，学习时间有所减少；也有可能是由于试题的难度有所差异造成的但由于即A班的效率值大于B班，由此说明A班的教学效果明显比A班好 在教学评价过程中，由于学生的来源差别大，基础有所不同，因此仅依学生成绩直接评价教师教学效果的好坏是不够合理的而马氏链模型评估模型则充分考虑到了整个教学过程的变化，着重考虑系统未来发展下去的趋势，而对过去的状态不予以考虑，因此更加公平、公正3 评价与改进 本文主要介绍了研究马氏链模型的意义、基本概念，根据这些预备知识基础上结合马氏链模型的基本原理，借助实例对马氏链模型的有关方法进行预测和分析，得出结论，做出评价能合理地预测出未来的人均GDP的变化，能利用马尔可夫链理论进行发展性评价研究的优越性和客观性由于本人的能力有限，在许多方面并不让做到很完美，如在预测广东各城市历年的人均GDP，找数据时，只能找到20052010年的数据，数据不够完善，对结果有一定的影响而且在确定基础矩阵时只是选取平均矩阵作为基础矩阵，若能将矩阵优化后作为基础矩阵，结果可能会更科学，又由于影响10年后的人均GDP有很多的不确定因素，本文给以不考虑，若能做扰动分析会更合理；在教育评价中，仅根据进步效率值来做出评价还是比较片面，若能综合其他因素会更好参考文献1 姜启源数学模型M北京：高等教育出版社，2008：333-3412 吴建国.数学建模案例精编M. 北京：中国水利水电出版社，2005:5-50.3湛江师范学院2004届本科优秀毕业论文选编M. 湛江：湛江师范学院教务处编，2004：127-131.4 肖振宇, 王煊. 中国各地区人均GDP的马尔可夫预测及变动分析J. 西北农林科技大学学 报(社会科学版), 2004：1-6.5朱孔来.应用马尔可夫链预测粮食产量J.农业系统科学与综合研究,1990:5053.6 温海彬马尔可夫链预测模型及一些应用J/OL20122012-1-20 7 程向阳.马尔可夫链模型在教育评估中的应用J/OL. 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