梯形面积公式推导的多样方法.doc

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梯形面积公式推导的多样方法
课本中介绍梯形面积公式推导的方法，通常只有一种方法，那就是用两个相同梯形拼成一个平行四边形，然后用这个平行四边形的面积推得其中梯形的面积。这种方法很简洁，实际上梯形面积公式推导还有其它方法，现介绍如下：
方法一：把一个梯形剪拼成平行四边形。

　　把梯形两腰的中点用线连起来，顺着这一条线剪下，把上面的梯形翻转和下面的梯形拼在一起，就成了一个平行四边形。
　　S梯形＝S平行四边形=（上底+下底）×（高÷2）
　 　　　　=（上底+下底）×高÷2
方法二：把一个梯形剪拼成一个三角形。

　　找到BC的中点E，把D和E用线连起来，剪下，按箭头的方向翻转，就拼成一个三角形。
　　S梯形＝S△AFD=（上底+下底）×高÷2
方法三：如图所示，把梯形切割成两块，一块是平行四边形，一块是三角形。
平行四边形的底就是原梯形的上底，三角形的底是梯形的下底与上底之差，而平行四边形和三角形的高都等于梯形的高。
所以，梯形的面积
= 平行四边形的面积＋三角形的面积
= 上底×高＋（下底－上底）×高÷2
=（2×上底）×高÷2＋（下底－上底）×高÷2
=（2×上底＋下底－上底）×高÷2
=（上底＋下底）×高÷2
因此 梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2
方法四：把梯形分成两个三角形，分别算面积，然后计算它们的和。
把梯形分成两个三角形，如图所示，一个在左下，一个在右上。
右上三角形的面积 = 上底×高÷2
左下三角形的面积 = 下底×高÷2
所以 梯形的面积 = 上底×高÷2＋下底×高÷2
= （上底＋下底）×高÷2
因此 梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2
方法五：如图所示，把梯形的缺角补上，正好补成一个长方形，则：
长方形的面积=下底×高
而补上的两个小三角形的总面积为：
小三角形面积和=（下底－上底）×高÷2
所以梯形面积
= 长方形的面积－小三角形面积和
=下底×高－（下底－上底）×高÷2
= [下底－（下底－上底）÷2] ×高
= [2×下底－（下底－上底）] ×高÷2
=（上底＋下底）×高÷2
方法六：如图所示，分别沿梯形两腰中点向下底作垂线，与腰、下底正好围成两个直角三角形，把这两个三角形分别按逆时针或顺时针旋转1800角，使得原来的梯形被拼组成一个长方形。
梯形的上下底总长度，正好等于现在长方形两个长的总长度，即长方形的长=（上底＋下底）÷2。长方形的宽正好等于梯形的高。
长方形的面积 = 长×宽
所以 梯形的面积 =[（上底＋下底）÷2 ]×高
=（上底＋下底）×高÷2
因此 梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2
方法七：如图所示，在梯形的一侧补上一个三角形，使整个图形成为一个平行四边形。平行四边形的底就是梯形的下底，三角形的底恰好是梯形的下底与上底之差。它们的高都是析梯形的高。所以梯形的面积为：
下底×高－（下底－上底）×高÷2
= [下底－（下底－上底）÷2] ×高
= [2×下底－（下底－上底）] ×高÷2
=（上底＋下底）×高÷2
因此 梯形的面积 =（上底＋下底）×高÷2
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