齐次化解定点定值问题.doc

齐次化齐次化联立联立解解决决定点定值问题定点定值问题 广东省英德中学（513000）陈国宗 一、概述一、概述 圆锥曲线是历年高考命题的重点与难点，而定点定值问题又始终在圆锥曲线的问题中占有一席之地，该问题对学生分析问题能力，知识综合运用能力，数学运算能力与技巧要求较高.学生普遍存在计算不完或者计算不对的现象.为此，本文将介绍齐次化联立的方法解决一类定点定值问题，以提高运算的效率与准确率.二、例题分析二、例题分析 例 1.已知,A B为抛物线24xy上异于原点O的两点，设,OAOBkk分别为直线,OA OB的斜率且2OAOBkk.证明：直线AB的斜率为定值.解：设直线AB与抛物线的交点11(,)A x y，22(,)B xy 设直线AB的方程为1mxny.由241xymxny 联立得：24()xy mxny 即22440nymxyx 变形得：24410yynmxx 又2OAOBkk，即12122yyxx424mn即2mn 直线AB的斜率2mkn.点评点评：上述解法的巧妙之处在于将条件中11OAykx与22OBykx的关系转化为关于yx（视为整体）的一元二次方程的两根关系.将直线AB的方程设为1mxny是为了联立抛物线方程后方便将方程中的各项补齐为二次式，进而转化为关于yx的一元二次方程.例 2.如图 1 所示，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点为6,0F，点,A B及点(2,1)P 都在椭圆C上，若直线PA与直线PB的倾斜角互补.（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：直线AB的斜率为定值.解：（1）依题意224116abc，化简得4211240aa 解得28a 或23a（舍去）2222bac 故椭圆C的标准方程为22182xy.（2）分别平移,x y轴，建立以(2,1)P 为原点的直角坐标系x Py，如图 2 所示 在直角坐标系x Py下：已知(0,0)P，设1122,(,)A x yB x y 设直线AB方程为1mxny 易知椭圆C的方程为2221182xy 变形得：224480 xyxy 由2244801xyxymxny 联立得：224480 xyx mxnyy mxny 化简变形得：248841 40yynmnmxx 直线PA与直线PB的倾斜角互补，故0PAPBkk 即12120yyxx 84048mnn 12mn 直线AB的斜率为12k .易知直线在平移前后斜率不变，综上所述：直线AB的斜率为定值12.点评点评：1.上述解法的核心在于对坐标轴进行平移，联立直线与椭圆方程齐次化，最后转化为关于yx的一元二次方程的两根关系问题.故我们称上述方法为平移齐次化.2.一般地，设000(,)(0)P xyx 为圆锥曲线:(,)0Cf x y 上一点，由点P引倾斜角互补的 两弦,PA PB，利用平移齐次化方法证明直线AB斜率为定值的基本步骤为：平移坐标轴，建立以000(,)(0)P xyx 为原点的新平面直角坐标系x Py.在直角坐标系x Py下，求得圆锥曲线C的方程为00(,)0f xxyy，并将直线AB方程设为1mxny.联立直线与椭圆方程齐次化，将问题转化为关于yx的一元二次方程两根关系问题.3.解题过程中应注意到圆锥曲线C：00(,)0f xxyy的常数项为 0，以及直线平移前后斜率不变的一般规律.事实上，利用平移齐次化方法我们还可以得到一个更为的结论：设000(,)(0)P xyx 为有心二次曲线（圆、椭圆、双曲线）221xymn上一点，由点P引倾斜角互补的两弦,PA PB，则直线AB的斜率为定值00nxmy，证明留给读者.例 3（2017 全国 I 卷理科 20 题）已知椭圆2222:1(0)xyCabab，四点12(1,1),(0,1),PP 3433(1,),(1,)22PP中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过2P点且与C相交于,A B两点.若直线2P A与直线2PB的斜率的和为-1，证明：l过定点.解：（1）因为3433(1,),(1,)22PP关于y轴对称，所以34,P P两点在椭圆C上.故221314ab 又2222111314abab 1P不在椭圆上，2P在椭圆上.222111314bab解得2241ab 故C的方程为2214xy.（2）平移x轴，建立以2(0,1)P为原点的直角坐标系2xP y，如图 3 所示 在直角坐标系x Py下：已知2(0,0)P，设1122,(,)A x yB x y 设直线AB方程为1mxny 易知椭圆C的方程为22114xy 变形得：22480 xyy 由224801xyymxny 联立得：22480 xyy mxny 化简变形得：248810yynmxx 又221P AP Bkk，即12121yyxx.8148mn 即212nm.直线AB的方程为2()20n xyx，直线AB过定点(2,2)故在原坐标系xoy下直线AB过定点(2,1).点评点评：利用平移齐次化方法证明定点问题时应注意平移前后定点坐标的关系.事实上，利用平移齐次化的方法我们还可以得到一个更为一般的结论：设00(,)P xy为有心二次曲线221xymn上一点，若动弦AB相对点P张角为直角时，则弦AB所在的直线经过定点220022,22e xe yee，其中e有心二次曲线的离心率.证明留给读者.三、结束语三、结束语 以上是本人对平移齐次化方法在定点定值问题中的一些见解，通过文中的几则实例，我们可以感受到该方法摒弃常规、独辟蹊径、解法高效.这也启发我们学习数学应该要有敢于创新、勇于突破的精神，而非墨守成规、千篇一律.