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一元二次方程应用面面观

刘冬艳

一元二次方程实际应用极其广泛，现归类解析，供大家学习时参考.
一、百分率问题
例1 某钢铁厂去年1月份某种钢产量为5000吨，3月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
解析：此题为平均增长率问题.先用直接设元法设出题目中缺少的量，即这两个月平均每月增长的百分率x，依次表示出2月份钢产量为5000（1 + x）吨，3月份钢产量为5000（1 + x）2吨.
根据题意，得5000（1 + x）2 [=7200]，解得[x1=0.2]，[x2=-2.2]（不符合题意，舍去）.
答：这两个月平均每月增长的百分率是20%.
点评：解决增长率问题的关键是掌握有关结论：增长数 = 基数 × 增长率、实际数 = 基数+增长数、原来的 ×（1+增长率）增长期数 = 后来的，然后再依据等量关系列出方程.
二、面积问题
例2 将长为20 cm的铁丝剪成两段，并分别以每段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面積之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）这两个正方形的面积之和可能等于12 cm2吗？若能，求出这两段铁丝的长度;若不能，请说明理由.
解析：先用直接设元法设出题目中缺少的量，即设剪成两段中的一段长为x cm，则另一段长为（20 - x） cm，两个正方形的边长分别为[x4] cm、[20-x4] cm，依次表示出两个正方形的面积为[x42]cm2和[20-x42]cm2.
（1）根据题意，得[x42+20-x42=17]，
方程化简，得[x2-20x+64=0]，
解得 [x1=16]，[x2=4].
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16 cm、4 cm.
（2）假设这两个正方形的面积之和等于12 cm2，
根据题意，得[x42+20-x42=12]，
方程化简，得  [x2-20x+104=0]，[∵b2-4ac=-16<0]，∴方程没有实数根.
答：这两个正方形的面积之和不能等于12 cm2.
点评：利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题，首先要依据几何图形的性质寻求问题中的等量关系并列出方程，其次要正确地求解方程并检验解的合理性，最后写出答案.
三、销售问题
例3 某超市经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克;销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克. 针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，且使顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？
解析：先用间接设元法设出题目中缺少的量，即销售单价应涨x元，依次表示出此时销售量为（500 - 10x）千克，每千克利润为（10 + x）元，
根据题意，得（10 + x）（500 - 10x） = 8000，
方程化简，得[x2-40x+300=0]，
解得  [x1=10]，[x2=30].
为使顾客得到实惠，取[x=10]，因此销售单价应定为60元.
答：销售单价应定为60元.
点评：由售价 - 进价 = 利润、单件利润 × 销售量 = 总利润、单价 × 销售量 = 销售额等可列出方程.
四、行程问题
例4 某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标. 如图，当该军舰行至A处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB = 90海里，如果军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由. （1节 = 1海里/小时）
解析：先用直接设元法设出题目中缺少的量，即侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰，表示出此时侦察船距A的路程为（90 - 30x）海里，军舰距A的路程为20x海里，
根据题意，得（90 - 30x）2 + （20x）2 = 502，
方程化简，得  [13x2-54x+56=0]，解得  [x1=2]，[x2=2813]（舍去）.
答：侦察船最早由B出发经过2小时侦察到军舰.
点评：首先整体地、系统地审读题意，其次根据勾股定理特有的等量关系列出方程并正确求解.
综上，在列方程解应用题时，首先要充分利用题设中的已知条件，并能挖掘其隐含关系;其次要能根据题意对两根加以检验，即判断或确定方程的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的解舍去.

-全文完-