空间误差分析平差数学模型与最小二乘原理省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

空间数据误差处理空间数据误差处理Surveying Adjustment第1页第四章第四章 平差数学模型与平差数学模型与最小二乘原理最小二乘原理第2页回回顾顾测量平差测量平差求平差值求平差值精度评定精度评定何谓平差值何谓平差值怎样去求？怎样去求？精度指标精度指标精度指标求法精度指标求法方差、协方差阵方差、协方差阵权、协因数阵权、协因数阵定义定义广义传输律广义传输律单位权方差单位权方差对应权倒数对应权倒数第3页第四章第四章平差数学模型与最小二乘原理平差数学模型与最小二乘原理v4-1 测量平差概述测量平差概述v4-2函数模型函数模型v4-3 函数模型线性化函数模型线性化v4-4测量平差数学模型测量平差数学模型v4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理v小小结结第4页4-1测量平差概述测量平差概述 几个主要概念几何模型、几何量、函数模型、必要观察、多出观察、条件方程 测量平差第5页4-1测量平差概述测量平差概述v一、主要概念一、主要概念w1.几何模型几何模型在测量工作中，为了确定待定点高程，需要建立水在测量工作中，为了确定待定点高程，需要建立水准网，为了确定待定点平面坐标，需要建立平面控准网，为了确定待定点平面坐标，需要建立平面控制网（包含测角网、测边网、边角网），我们常把制网（包含测角网、测边网、边角网），我们常把这些网称为这些网称为几何模型几何模型。第6页4-1测量平差概述测量平差概述w2.几何量几何量每种几何模型都包含有不一样几何元素，如水准网每种几何模型都包含有不一样几何元素，如水准网中包含点高程、点间高差，平面网中包含角度、边中包含点高程、点间高差，平面网中包含角度、边长、边坐标方位角以及点二维或三维坐标等元素。长、边坐标方位角以及点二维或三维坐标等元素。这些元素都被称为这些元素都被称为几何量几何量。第7页4-1测量平差概述测量平差概述w3.函数模型函数模型要确定一个几何模型，并不需要知道其中全部元素要确定一个几何模型，并不需要知道其中全部元素大小，只需知道其中一部分就能够了，其它元素能大小，只需知道其中一部分就能够了，其它元素能够经过它们之间函数描述而确定出来，这种描述所够经过它们之间函数描述而确定出来，这种描述所求量与已知量之间关系式称为求量与已知量之间关系式称为函数模型函数模型。第8页4-1测量平差概述测量平差概述w4.必要观察必要观察（1 1）必要元素必要元素：能够唯一地确定一个几何模型所必能够唯一地确定一个几何模型所必要元素，称为要元素，称为必要元素必要元素。必要观察元素个数用。必要观察元素个数用t 表示，表示，称为称为必要观察个数必要观察个数。（2）必要元素选取与性质）必要元素选取与性质 能能唯一唯一确定该模型确定该模型最少最少需要需要元素间元素间不存在不存在任何确定关系任何确定关系第9页4-1测量平差概述测量平差概述（3 3）独立量）独立量一个几何模型必要观察元素之间是不存在任何确定一个几何模型必要观察元素之间是不存在任何确定函数关系，即其中任何一个必要观察元素不可能表函数关系，即其中任何一个必要观察元素不可能表示为其余必要观察元素函数。这些彼此不存在函数示为其余必要观察元素函数。这些彼此不存在函数关系量称为关系量称为函数独立量函数独立量。第10页4-1测量平差概述测量平差概述w5.多出观察多出观察假设对模型中几何量总共观察假设对模型中几何量总共观察n 个，个，n t，能够确定模型，还能够发觉粗差能够确定模型，还能够发觉粗差多出观察多出观察就是观察值个数就是观察值个数n 与必要观察个数与必要观察个数t 之之差，用差，用r 表示。表示。r=n t 在统计学中也叫在统计学中也叫自由度自由度。第11页4-1测量平差概述测量平差概述v例例1 1v例例2 2n=6，t=3，r=3n=7，t=4，r=3ADCBh1h4h3h5h6h2第12页4-1测量平差概述测量平差概述w6.条件方程条件方程每增加一个多出观察，在它们中间就必定增加且只每增加一个多出观察，在它们中间就必定增加且只增加一个确定函数关系式，有多少个多出观察，就增加一个确定函数关系式，有多少个多出观察，就会增加多少个这么关系式。这种函数关系式，在测会增加多少个这么关系式。这种函数关系式，在测量平差中称为量平差中称为条件方程条件方程。第13页4-1测量平差概述测量平差概述v二、测量平差二、测量平差误差存在误差存在三角形图形三角形图形条件闭合差条件闭合差第14页4-1测量平差概述测量平差概述求更正数求更正数V消除矛盾消除矛盾产生矛盾产生矛盾多出观察多出观察平差值平差值一个测量平差问题，首先要由观察值和未知量间一个测量平差问题，首先要由观察值和未知量间组成函数模型，然后采取一定平差标准对未知量进组成函数模型，然后采取一定平差标准对未知量进行预计，最终分析结果精度。行预计，最终分析结果精度。评定精度评定精度函数函数模型模型VTPV=min第15页4-2函数模型函数模型 条件平差函数模型 附有参数条件平差函数模型 间接平差函数模型 附有限制条件间接平差函数模型第16页4-2函数模型函数模型测量数据函数模型：测量数据函数模型：几何模型、物理模型几何模型、物理模型或或几何、物理模型几何、物理模型。（测量控制网如水准网、三角网、测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型网等都属于几何模型）建立不一样函数模型，就有不一样平差方法，测量中惯建立不一样函数模型，就有不一样平差方法，测量中惯用有：用有：1.条件平差函数模型条件平差函数模型2.附有参数条件平差函数模型附有参数条件平差函数模型3.间接平差函数模型间接平差函数模型4.附有限制条件间接平差函数模型附有限制条件间接平差函数模型第17页4-2函数模型函数模型v一、条件平差函数模型一、条件平差函数模型w1.条件平差法条件平差法：以条件方程为函数模型平差方以条件方程为函数模型平差方法，称为条件平差法。法，称为条件平差法。ADCBh1h4h3h5h6h2第18页4-2函数模型函数模型第19页4-2函数模型函数模型w2.特点特点（1）一个平差问题，条件形式不唯一！）一个平差问题，条件形式不唯一！选取形式最选取形式最简为宜简为宜。（2）各条件式之间是）各条件式之间是独立独立。找出观察值真值之间应。找出观察值真值之间应该满足该满足r个不相关关系式个不相关关系式。第20页w3.模型模型4-2函数模型函数模型ADCBh1h4h3h5h6h2第21页4-2函数模型函数模型第22页4-2函数模型函数模型第23页 假如有假如有n个观察值个观察值 ，必要观察个数为，必要观察个数为 t，则应，则应列出列出 r=n-t 个条件方程个条件方程:线性形式：线性形式：令令条件平差自由度为多出观察数条件平差自由度为多出观察数r，即条件方，即条件方程个数。程个数。4-2函数模型函数模型第24页4-2函数模型函数模型v例例1 1：已知点：已知点A、B高程高程；观察值：；观察值：h1h5t=2，n=5，r=3第25页4-2函数模型函数模型v二、附有参数条件平差函数模型二、附有参数条件平差函数模型w1.附有参数条件平差法附有参数条件平差法：设在平差问题中，观设在平差问题中，观察值个数为察值个数为n，t为必要观察数，则可列出为必要观察数，则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了个条件方程，现有增设了u个独立量作为参数，个独立量作为参数，而而0ut，每增设一个参数应增加一个条件方程，每增设一个参数应增加一个条件方程。以含有参数条件方程作为平差函数模型，称。以含有参数条件方程作为平差函数模型，称为附有参数条件平差法。为附有参数条件平差法。第26页4-2函数模型函数模型w2.模型模型（1）依然按条件平差列依然按条件平差列r 个方程个方程（2）然后增加然后增加一个一个参数，就会增加参数，就会增加一个一个条件方程：条件方程：（3）联立）联立写成矩阵形式写成矩阵形式第27页4-2函数模型函数模型（1）按条件平差列按条件平差列函数模型函数模型（2）选）选C点高程为参数，则点高程为参数，则增加一个增加一个条件方程：条件方程：（3）写成矩阵形式写成矩阵形式t=2，n=5，r=3第28页4-2函数模型函数模型普通而言，其普通形式为：普通而言，其普通形式为：假如条件方程是线性，其形式为：假如条件方程是线性，其形式为：令令 此平差问题，因为选择了此平差问题，因为选择了u u个独立参数，方个独立参数，方程总数由程总数由r r 个增加到个增加到 c=r+uc=r+u 个，故平差自由度个，故平差自由度为为 r=c-ur=c-u。第29页4-2函数模型函数模型w3.特点特点（1）“特殊特殊”条件平差条件平差（2）不一样于间接平差，参数）不一样于间接平差，参数u选择：选择：0ut个参数，其中包含个参数，其中包含t个独立参数个独立参数，则多项选择，则多项选择s=u-t个参数必定是个参数必定是t个独立参数函数，即在个独立参数函数，即在u个参数之间存在个参数之间存在着着s个函数关系式。方程总数个函数关系式。方程总数c=n+s=r+t+s=r+u个，建立个，建立模型时，除了列立模型时，除了列立n个个观察方程（间接平差）观察方程（间接平差）外，还要外，还要增加参数之间满足增加参数之间满足s个条件方程，以此作为平差函数模个条件方程，以此作为平差函数模型平差方法称为附有限制条件间接平差法。型平差方法称为附有限制条件间接平差法。第41页4-2函数模型函数模型w2.模型模型（1）t=2（2）选选u=2+1 个参数：个参数：（3）产生约束条件产生约束条件（4 4）函数模型：）函数模型：（5 5）写成矩阵形式写成矩阵形式间接平差间接平差约束条件约束条件第42页4-2函数模型函数模型间接平差间接平差约束条件：约束条件：第43页4-2函数模型函数模型函数模型普通形式为：函数模型普通形式为：线性形式函数模型为：线性形式函数模型为：令：令：第44页4-2函数模型函数模型w3.3.特点特点（1 1）“特殊特殊”间接平差，即仍要选参数，参数个数间接平差，即仍要选参数，参数个数 ut（2 2）多项选择参数个数）多项选择参数个数 s=u-t，参数之间不独立，产生，参数之间不独立，产生 s 个个函数式函数式（3 3）函数模型由两部分组成函数模型由两部分组成:间接平差组成方程间接平差组成方程 参数之间条件方程参数之间条件方程（4 4）函数模型总数）函数模型总数 c=n+s=r+t+s=r+u（5 5）自由度）自由度 r=n-t=n-(u-s)第45页4-2函数模型函数模型v条件条件w特殊条件平差特殊条件平差w需要选参数，且参数间独立需要选参数，且参数间独立w参数个数参数个数u：0utw函数模型个数：函数模型个数：c=r+u=r+t+s=n+sw函数模型类型函数模型类型 1.1.按间接平差观察方程按间接平差观察方程 2.2.参数之间条件方程（限制条件参数之间条件方程（限制条件式）式）附有参数条件平差与附有限制条件间接平差比较附有参数条件平差与附有限制条件间接平差比较第46页4-2函数模型函数模型四种平差方法与参数关系四种平差方法与参数关系参数个数参数个数平差方法平差方法函数模型普通式u=0条件平差条件平差0ut附有限制条件间接平差第47页4-2函数模型函数模型v例例5.5.如图所表示，如图所表示，A为已知点，为已知点，B、C、D、E为待定点，为待定点，观察了观察了9条路线高差条路线高差h1h9，列出下面四种情况函数模型，列出下面四种情况函数模型，试指出所列情况属于基本平差方法哪一类函数模型，并指试指出所列情况属于基本平差方法哪一类函数模型，并指出方程个数。出方程个数。ACB9876521E43D第48页4-2函数模型函数模型（1 1）选取）选取B、C、D三三点高程平差值为参数点高程平差值为参数（2 2）选取）选取h1h5高差平差值为参数高差平差值为参数（3 3）选取）选取h5h8平差值为参数平差值为参数（4 4）选取）选取C、E两点间高差为参数两点间高差为参数ACB9876521E43u=3t，附有限制条件间接平差模型，附有限制条件间接平差模型，c=r+u=5+5=10 u=4=t，间接平差函数模型，间接平差函数模型，c=n=9 u=10，有，有，则称则称是是 一致预计量。一致预计量。第68页4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理v引例引例1.为了确定刀具磨损速度，做以下试验：经过一定时为了确定刀具磨损速度，做以下试验：经过一定时间（如每隔一小时），测量一次刀具厚度，得到一组试验间（如每隔一小时），测量一次刀具厚度，得到一组试验数据以下：数据以下：编号编号0 01 12 23 34 45 56 67 7时间时间ti0 01 12 23 34 45 56 67 7刀具厚度刀具厚度yi27.027.026.826.826.526.526.326.326.126.125.725.725.325.324.824.8第69页4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理f(t)=at+b问题：确定问题：确定a，b选取选取a，b，使得使得 f(t)在在t0，t1，t2t7函数值与试验数据函数值与试验数据y0，y1，y2y7 相差很小，即使偏差相差很小，即使偏差 yi-f(ti)最小。最小。最小二乘法最小二乘法第70页4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理v引例引例2.匀速运动质点在时刻匀速运动质点在时刻 位置位置y表示为：表示为：第71页4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理写成矩阵：写成矩阵：间接平差函数模型间接平差函数模型第72页4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理最小二乘法最小二乘法第73页4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理v二、最小二乘原理二、最小二乘原理w1.定义定义在满足在满足条件下解出参数估值，这种求预计量方法就称为最条件下解出参数估值，这种求预计量方法就称为最小二乘法小二乘法或或第74页4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理w2.权阵权阵独立观察值：独立观察值：相关观察值：相关观察值：第75页4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理v例例1 1：设对某物理量：设对某物理量 进行了进行了n次同精度独立观察，得观察次同精度独立观察，得观察值值 ，试按最小二乘准则求该量预计值。，试按最小二乘准则求该量预计值。第76页4-5参数预计与最小二乘原理参数预计与最小二乘原理v例例2.2.一个三角形，等精度观察了三个内角一个三角形，等精度观察了三个内角Li，求三内角平，求三内角平差值。差值。解：（解：（1 1）函数模型）函数模型 （2 2）随机模型）随机模型 （3 3）平差准则）平差准则第77页平差方法平差方法函数模型函数模型随机模型随机模型备注备注条件平差条件平差附有参数条件平差间接平差间接平差附有限制条件间接平差小小结结第78页