经典电磁理论及其数学基础wang省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第一章第一章 经典电磁理论及其数学基础经典电磁理论及其数学基础主主 要要 内内 容容电磁场基本物理量、梯度、散度、旋度、电磁场基本物理量、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹亥姆霍兹定理定理1.电荷及其分布电荷及其分布2.电场强度电场强度3.电流与电流密度电流与电流密度4.安培力定律与安培力定律与磁感应强度磁感应强度5.标量和矢量标量和矢量6.标量场方向导数与梯度标量场方向导数与梯度 7.矢量场通量与散度矢量场通量与散度8.矢量场环量与旋度矢量场环量与旋度9.无散场和无旋场无散场和无旋场10.唯一性定理唯一性定理 11.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理12.坐标系坐标系第第1 1页页1.电荷及其分布电荷及其分布电荷分布在一定体积内时，其电荷分布在一定体积内时，其体密度体密度表示为：表示为：电荷分布在一定表面上时，其电荷分布在一定表面上时，其面密度面密度表示为：表示为：电荷分布在线上时，其电荷分布在线上时，其线密度线密度表示为：表示为：第第2 2页页电荷与电荷密度关系为：电荷与电荷密度关系为：体电荷体电荷 面电荷面电荷线电荷线电荷第第3 3页页点电点电荷荷概念概念 若两个带电体之间距离远远大于它们本身尺寸，那么能够不考虑带若两个带电体之间距离远远大于它们本身尺寸，那么能够不考虑带电体上电荷分布，认为全部带电量都集中在其几何中心处。即认为电体上电荷分布，认为全部带电量都集中在其几何中心处。即认为带电体为一个带电体为一个“点点”，称为点电荷。，称为点电荷。点电荷是一个相正确概念，与带电体大小无关。点电荷是一个相正确概念，与带电体大小无关。两个点电荷之间作用力可用两个点电荷之间作用力可用库仑定律库仑定律表示以下：表示以下：第第4 4页页2.电场强度电场强度电场对某点单位电场对某点单位正正电荷作用力称为该点电场强度电荷作用力称为该点电场强度，以以E 表示表示。式中式中q 为试验电荷电量，为试验电荷电量，F 为电荷为电荷q 受到作用力。受到作用力。电场强度经过任一曲面通量称为电通电场强度经过任一曲面通量称为电通，以以 表示表示,即即 依据库仑定律依据库仑定律 若为分布电荷，则若为分布电荷，则 第第5 5页页电场线电场线方程方程用电场线围用电场线围成成电场管电场管带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几个经典电场线分布几个经典电场线分布由此可见，电场线疏密程度能够显示电场强度大小。由此可见，电场线疏密程度能够显示电场强度大小。第第6 6页页xzyr21r0例例 求长度为求长度为L，线密度为，线密度为 均匀线分布电荷电场强度。均匀线分布电荷电场强度。令圆柱坐标系令圆柱坐标系 z 轴与线电荷长度方轴与线电荷长度方位一致，且中点为坐标原点。因为结构位一致，且中点为坐标原点。因为结构旋转对称，场强与方位角旋转对称，场强与方位角 无关。因为无关。因为电场强度方向无法判断，不能应用高斯电场强度方向无法判断，不能应用高斯定律求解其电场强度。只好进行直接积定律求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。分，计算其电位及电场强度。因场量与因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点无关，为了方便起见，可令观察点P 位于位于yz平面，即平面，即 ，那么，那么 第第7 7页页考虑到考虑到求得求得当长度当长度 L 时，时，1 0，2 ，则，则第第8 8页页例例 在空气中，半径为在空气中，半径为a圆平面上均布面电荷密度为圆平面上均布面电荷密度为s电荷（电荷（s为为常数）。求在圆平面中心垂直轴线上任意点处电场强度。常数）。求在圆平面中心垂直轴线上任意点处电场强度。它它z分量为分量为式中：式中：第第9 9页页讨论圆盘为无限大时，即讨论圆盘为无限大时，即a,从以上结果得从以上结果得第第1010页页3 3 电流与电流密度电流与电流密度 分类：分类：传导电流传导电流与与运流电流运流电流。传导电流传导电流是导体中自由电子（或空穴）或者是电解液中离子运动是导体中自由电子（或空穴）或者是电解液中离子运动形成电流形成电流。运流电流运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成电流。电流。第第1111页页 电流强度：电流强度：单位时间内穿过某一截面电量，又简称为电流，单位时间内穿过某一截面电量，又简称为电流，以以 I 表示。电流单位为表示。电流单位为A（安培安培）。所以，电流所以，电流 I 与电荷与电荷 q 关系为关系为 电流密度：电流密度：是一个矢量，以是一个矢量，以 J 表示。电流密度方向为表示。电流密度方向为正正电荷运电荷运动方向，其大小为单位时间内动方向，其大小为单位时间内垂直垂直穿过单位面积电荷量。穿过单位面积电荷量。式中式中 即为正电荷运动方向。即为正电荷运动方向。第第1212页页体电流体电流：电荷在某一体积内定向运动所形成电流。：电荷在某一体积内定向运动所形成电流。体电流体电流穿过任一有向面元穿过任一有向面元 dS 电流电流 dI 与电流密度与电流密度 J 关系为关系为 在电磁理论研究中，惯用到体电流模型、面电流模型和线电流模型。在电磁理论研究中，惯用到体电流模型、面电流模型和线电流模型。J 体电流密度矢量体电流密度矢量 ,单位单位 是是A/mA/m2 2那么，穿过任一截面那么，穿过任一截面 S 电流电流 I 为为此式表明，此式表明，穿过某一截面电流等于穿过该截面电流密度穿过某一截面电流等于穿过该截面电流密度通量通量。第第1313页页面电流面电流：电荷在一个厚度能够忽略薄层内定向运动所形成电流。：电荷在一个厚度能够忽略薄层内定向运动所形成电流。穿过任一有向线元穿过任一有向线元 dl 电流电流 dI 与电流密度与电流密度 Js 关系为关系为 面电流密度矢量面电流密度矢量 ,单位单位 是是A/mA/m那那么么，经经过过薄薄导导体体层层上上任任意意有有向向曲曲线线 电电流流 为为 面电流面电流第第1414页页 在在外外源源作作用用下下，大大多多数数导导电电媒媒质质中中某某点点传传导导电电流流密密度度 J 与与该该点点电电场强度场强度 E 成正比，即成正比，即式中式中 称为电导率，其单位为称为电导率，其单位为 S/m。值愈大表明导电能力愈强，值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱电场作用下，也可形成很强电流。即使在微弱电场作用下，也可形成很强电流。上式又称为欧姆定律上式又称为欧姆定律 微分形式。微分形式。线电流线电流：电荷在一个横截面积能够忽略细线中定向运动所形成电流。：电荷在一个横截面积能够忽略细线中定向运动所形成电流。对线电流，认为电流是集中在细导线轴线上。对线电流，认为电流是集中在细导线轴线上。第第1515页页 电导率为无限大导体称为电导率为无限大导体称为理想导电体理想导电体。显然，在理想导电体中，。显然，在理想导电体中，无需电场推进即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可无需电场推进即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可能存在恒定电场，不然，将会产生无限大电流，从而产生无限大能能存在恒定电场，不然，将会产生无限大电流，从而产生无限大能量。不过，任何能量总是有限。量。不过，任何能量总是有限。电导率为零媒质，不含有导电能力，这种媒质称为电导率为零媒质，不含有导电能力，这种媒质称为理想介质理想介质。媒媒 质质电导率电导率(S/m)媒媒 质质电导率电导率(S/m)银银海海 水水4紫紫 铜铜淡淡 水水金金干干 土土铝铝变压器油变压器油黄黄 铜铜玻玻 璃璃铁铁橡橡 胶胶第第1616页页 运流电流运流电流电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度方向电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度方向与电场强度方向也可能不一样与电场强度方向也可能不一样。能够证实。能够证实运流电流电流密度运流电流电流密度J 与运与运动速度动速度 v 关系为关系为 式中式中 为电荷密度。为电荷密度。与介质极化特征一样，媒质导电性能也表现出均匀与非均匀，与介质极化特征一样，媒质导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特征含义与前线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特征含义与前相同。上述公式仅适合用于各向同性线性媒质。相同。上述公式仅适合用于各向同性线性媒质。第第1717页页式中，式中，v=l/tv=l/t为电荷运动速度，则电流密度大小为为电荷运动速度，则电流密度大小为写成矢量形成写成矢量形成式中，式中，是该处运动电荷体电荷密度。是该处运动电荷体电荷密度。例例1.41.4一个半径为一个半径为a a球内均匀分布总电荷量为球内均匀分布总电荷量为Q Q电荷，球体均匀角速度电荷，球体均匀角速度绕一个直径旋转，求球内电流密度。绕一个直径旋转，求球内电流密度。解：首先推导电流密度与电荷运动速度和体电荷密度之间关系解：首先推导电流密度与电荷运动速度和体电荷密度之间关系第第1818页页设球内任意一点，其到球心距离为设球内任意一点，其到球心距离为r r，球直径与，球直径与r r 夹角为夹角为 ，则该点电荷运动速度为，则该点电荷运动速度为则则写成矢量形成写成矢量形成第第1919页页4.安培力定律与磁感应强度安培力定律与磁感应强度 已知磁场表现为对于运动电荷有力作用，所以，能够依据运动已知磁场表现为对于运动电荷有力作用，所以，能够依据运动电荷或电流元受到作用力描述磁场强弱。电荷或电流元受到作用力描述磁场强弱。两个电流回路之间作用力可表示为两个电流回路之间作用力可表示为上式称为上式称为安培力定律安培力定律。第第2020页页矢量矢量 B 称为称为磁感应强度磁感应强度，单位为，单位为T（特斯拉）（特斯拉）。值得注意是，运动电荷受到磁场力一直与电荷运动方向值得注意是，运动电荷受到磁场力一直与电荷运动方向垂直垂直，所以，所以，磁场力无法改变运动电荷速度大小，只能改变其运动方向，磁场力无法改变运动电荷速度大小，只能改变其运动方向，磁场与运动电荷之间没有能量交换磁场与运动电荷之间没有能量交换。此图反应了此图反应了B 、Idl 、dF三者三者之间关系。之间关系。依据安培力定律，磁感应强度可表示为依据安培力定律，磁感应强度可表示为第第2121页页 磁感应强度也可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点切线方磁感应强度也可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点切线方向为磁感应强度矢量方向，这些曲线称为向为磁感应强度矢量方向，这些曲线称为磁场线磁场线。磁场线矢量方程。磁场线矢量方程为为 当然，磁场线也不可相交。与电场线一样，若以磁场线组成磁场管，当然，磁场线也不可相交。与电场线一样，若以磁场线组成磁场管，且要求相邻磁场管中磁通相等，则磁场线疏密程度也可表示磁场强且要求相邻磁场管中磁通相等，则磁场线疏密程度也可表示磁场强弱，磁场线密表示磁感应强度强。弱，磁场线密表示磁感应强度强。磁感应强度磁感应强度 B 经过某一表面经过某一表面 S 通量称为通量称为磁通磁通，以，以 表示表示，即即 磁通单位为磁通单位为Wb（韦伯韦伯）。第第2222页页B 线性质：线性质：B 线是闭合曲线线是闭合曲线;B 线不能相交线不能相交 (除除 B=0 B=0 外外 )；闭合闭合 B B 线与交链电流成线与交链电流成 右手螺旋关系；右手螺旋关系；B B 强处，强处，B B 线稠密，反之，线稠密，反之，稀疏稀疏。图图 1 1 一载流导线一载流导线 I I 位于无限大铁板上方位于无限大铁板上方磁场分布（磁场分布（B B 线）线）图图 2 2 长直螺线管磁场分布（长直螺线管磁场分布（B B 线）线）图图 3 3 一载流导线一载流导线I I位于无限大铁板内磁场位于无限大铁板内磁场分布（分布（H H 线）线）第第2323页页图图 1 1 两根异向长直流导线磁场分布两根异向长直流导线磁场分布图图 2 2 两根相同方向长直流导线磁场分布两根相同方向长直流导线磁场分布图图 3 3 两对上下放置传输线磁场分布两对上下放置传输线磁场分布图图 4 4 两对平行放置传输线磁场分布两对平行放置传输线磁场分布第第2424页页 这么，若已知电流分布，可直接建立电流与磁感应强度关系为这么，若已知电流分布，可直接建立电流与磁感应强度关系为 此式称为此式称为毕奥毕奥沙伐定律沙伐定律。已知电流分布以后，依据此式即可直接。已知电流分布以后，依据此式即可直接计算空间任一点磁感应强度。计算空间任一点磁感应强度。恒定电流场中介绍电流能够分布在体积中，也可分布在表面上恒定电流场中介绍电流能够分布在体积中，也可分布在表面上或细导线中。面分布电流称为或细导线中。面分布电流称为表面电流表面电流，细导线中电流称为，细导线中电流称为线电流线电流，线电流无密度可言。对电流元而言线电流无密度可言。对电流元而言,体电流、面电流及线电流可分别体电流、面电流及线电流可分别表示为表示为 第第2525页页 那么，能够导出那么，能够导出面面电流和电流和线线电流产生磁感应强度分别为电流产生磁感应强度分别为 对于一些恒定磁场，依据其基本方程计算磁感应强度将十分简便。对于一些恒定磁场，依据其基本方程计算磁感应强度将十分简便。面电流面电流线电流线电流第第2626页页例例 计算在空气中长度为计算在空气中长度为2 2l直线电流空间一点直线电流空间一点P P磁感应强度。磁感应强度。解解:选择圆柱坐标系，选择圆柱坐标系，z轴与通电导线重轴与通电导线重合，坐标原点选择在线段中点，在通电合，坐标原点选择在线段中点，在通电导线上取一个电流元导线上取一个电流元Idz,则电流元则电流元Idz产生磁感应强度为产生磁感应强度为由对称性，由对称性，dB只有只有 分量，其大小为分量，其大小为第第2727页页由图可知由图可知空间点空间点P P磁感应强度方向为磁感应强度方向为 方向，大小为方向，大小为对无限长直导线，对无限长直导线，第第2828页页例例1.61.6在真空中半径为在真空中半径为a a、电流为、电流为I I圆形线圈，计算轴线上一点磁感圆形线圈，计算轴线上一点磁感应强度。应强度。解解:选择圆柱坐标系，设坐标原点在圆形选择圆柱坐标系，设坐标原点在圆形线圈圆心，线圈圆心，z z轴与线圈轴线重合。在通电轴与线圈轴线重合。在通电导线上取一个电流元导线上取一个电流元Idl,则电流元则电流元Idl产生产生磁感应强度为磁感应强度为dB大小为大小为dB方向如图所表示，其含有方向如图所表示，其含有 和和 分量分量第第2929页页写成矢量形式为写成矢量形式为由对称性，由对称性，dB只有只有 分量。分量。当当 ，圆环中心磁感应强度为，圆环中心磁感应强度为第第3030页页5.5.标量和矢量标量和矢量人们把只有大小而无方向物理量称为标量，如长度、质量、时间、电荷体人们把只有大小而无方向物理量称为标量，如长度、质量、时间、电荷体电荷密度、电荷面电荷密度等都是标量；电荷密度、电荷面电荷密度等都是标量；人们把现有大小又有方向物理人们把现有大小又有方向物理量称为矢量，如力、速度、加速度、电场强度、磁场强度等都是矢量。量称为矢量，如力、速度、加速度、电场强度、磁场强度等都是矢量。矢量表示方法矢量表示方法图1.11 P P（x,y,zx,y,z）点处矢量）点处矢量任意一个矢量任意一个矢量A A均可借助代表大小模均可借助代表大小模A A和代表方向单位矢量和代表方向单位矢量 表示为表示为A=A 第第3131页页矢量在直角坐标系表示法矢量在直角坐标系表示法式中式中第第3232页页位置矢量位置矢量r r和距离矢量和距离矢量R R 矢量代数运算矢量代数运算（1 1）矢量相等矢量相等A=BAx=Bx Ay=By Az=Bz第第3333页页则则（3 3）矢量加法与减法矢量加法与减法（2 2）矢量与标量乘积矢量与标量乘积第第3434页页（4 4）矢量标量积与矢量积矢量标量积与矢量积矢量矢量A A与矢量与矢量B B标量积标量积C CC=AB=ABcos矢量矢量A A与矢量与矢量B B矢量积矢量积C CC=ABC=ABsin(0)第第3535页页在直角坐标系中，不难得出三个坐标单位矢量满足下面关系，即在直角坐标系中，不难得出三个坐标单位矢量满足下面关系，即 第第3636页页矢性函数及其微分和积分矢性函数及其微分和积分假如一个矢量模和方向都不发生改变，则这种矢量称为常矢量；假如一个矢量模和方向都不发生改变，则这种矢量称为常矢量；假如假如某矢量是一个或者几个变量函数，则称这个矢量为变量矢性函数。某矢量是一个或者几个变量函数，则称这个矢量为变量矢性函数。假如矢量假如矢量A A随随x x、y y、z z和和t t而改变，则记为而改变，则记为A A（x,y,z,tx,y,z,t）（1 1）矢性函数导数矢性函数导数在直角坐标系中，在直角坐标系中，A A（t t）可表示为）可表示为则则第第3737页页（2 2）矢性函数微分矢性函数微分在直角坐标系中在直角坐标系中（3 3）矢性函数积分矢性函数积分对于矢性函数对于矢性函数A A（t t）,在在t t某个区间上不定积分记作某个区间上不定积分记作 A(t)dt=B(t)+C(CA(t)dt=B(t)+C(C为任意常矢量为任意常矢量)在直角坐标系中，在直角坐标系中，第第3838页页例1.7对于给定矢量：对于给定矢量：解：解：第第3939页页第第4040页页6.6.标量场方向导数与梯度标量场方向导数与梯度标量场及其等值面标量场及其等值面场中物理量在各点不随时间发生改变，则这个场称为静态场；场中物理量在各点不随时间发生改变，则这个场称为静态场；假如物理量在各点随时间发生改变，则称这个场为时变场。假如物理量在各点随时间发生改变，则称这个场为时变场。设在空间某区域存在一个静态标量场设在空间某区域存在一个静态标量场u=u(x,y,z)u=u(x,y,z)，为了更清楚地描述，为了更清楚地描述标量场分布规律，人们把标量场中数值相同点连接起来形成一个面，标量场分布规律，人们把标量场中数值相同点连接起来形成一个面，这个面称为等值面，如图这个面称为等值面，如图1.171.17所表示。所表示。图图1.171.17等值面示意图等值面示意图第第4141页页矢量场矢量场-矢量线矢量线等值线（面）方程为等值线（面）方程为其方程为其方程为三维场三维场在直角坐标下在直角坐标下:二维场二维场 矢量线等值线形象描绘场分布工具形象描绘场分布工具-场线场线标量场标量场-等值线等值线(面面).).第第4242页页方向导数方向导数:标量场在某点方向导数表示标量场自该点沿某一方向标量场在某点方向导数表示标量场自该点沿某一方向 上改变率。上改变率。比如标量场比如标量场 在在 P 点沿点沿 l 方向上方向导数方向上方向导数 定义为定义为Pl第第4343页页梯度梯度:标量场在某点梯度大小等于该点标量场在某点梯度大小等于该点最大最大方向导数，梯度方方向导数，梯度方 向为该点含有向为该点含有最大最大方向导数方向。可见，方向导数方向。可见，梯度是一个矢量梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场在直角坐标系中，标量场 梯度可表示为梯度可表示为式中式中grad 是英文字母是英文字母 gradient 缩写。缩写。若引入算符若引入算符，它在直角坐标系中可表示为，它在直角坐标系中可表示为则梯度可表示为则梯度可表示为第第4444页页例例1 1 三维高度场梯度三维高度场梯度例例2 2 电位场梯度电位场梯度高度场梯度 与过该点等高线垂直与过该点等高线垂直；数值等于该点位移最大改变率；数值等于该点位移最大改变率；指向地势升高方向。指向地势升高方向。电位场梯度 与过该点等位线垂直；与过该点等位线垂直；指向电位增加方向。指向电位增加方向。数值等于该点最大方向导数；数值等于该点最大方向导数；梯度物理意义梯度物理意义 标量场梯度是一个矢量标量场梯度是一个矢量,是空间坐标点函数是空间坐标点函数;梯度方向为该点最大方向导数方向梯度方向为该点最大方向导数方向,即与等值线（面）相垂直方向，它即与等值线（面）相垂直方向，它指向函数增加方向指向函数增加方向.梯度大小为该点标量函数梯度大小为该点标量函数 最大改变率，即该点最大方向导数最大改变率，即该点最大方向导数;三维高度场梯度 电位场梯度第第4545页页通量：通量：矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 面积分称为矢量面积分称为矢量 A 经过该有向曲经过该有向曲 面面 S 通量，以标量通量，以标量 表示，即表示，即 7.矢量场通量与散度矢量场通量与散度 通量可为正、或为负、或为通量可为正、或为负、或为零零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场闭合面中存在产生该矢量场源源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场面中存在汇聚该矢量场洞洞（或（或汇汇）。闭合有向曲面方向通常要求为闭合）。闭合有向曲面方向通常要求为闭合面面外外法线方向。所以，当闭合面中有法线方向。所以，当闭合面中有源源时，矢量经过该闭合面通量一定时，矢量经过该闭合面通量一定为为正正；反之，当闭合面中有；反之，当闭合面中有洞洞时，矢量经过该闭合面通量一定为时，矢量经过该闭合面通量一定为负负。所。所以，前述以，前述源源称为称为正源正源，而，而洞洞称为称为负源负源。第第4646页页 矢量矢量 E 沿有向曲面沿有向曲面S 面积分面积分 0(有正源有正源)0；若处处相反，则；若处处相反，则 0。可见，环量能够。可见，环量能够用来描述矢量场用来描述矢量场旋涡旋涡特征。特征。第第5252页页 由物理学得知，真空中磁感应强度由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 环量等于该闭合曲线包围传导电流强度环量等于该闭合曲线包围传导电流强度 I 与真空磁导率与真空磁导率 0 乘积。乘积。即即 式中电流式中电流 I 正方向与正方向与 dl 方向组成方向组成 右旋右旋 关系。由此可见，环量能够关系。由此可见，环量能够表示产生含有旋涡特征源强度，不过环量代表是闭合曲线包围总源表示产生含有旋涡特征源强度，不过环量代表是闭合曲线包围总源强度，它不能显示源强度，它不能显示源分布分布特征。为此，需要研究矢量场特征。为此，需要研究矢量场旋度旋度。第第5353页页旋度：旋度：旋度是一个矢量。若以符号旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量表示矢量 A 旋度，则其旋度，则其 方向是使矢量方向是使矢量 A 含有最大环量强度方向，其大小等于对含有最大环量强度方向，其大小等于对 该矢量方向最大环量强度，即该矢量方向最大环量强度，即式中式中 rot 是英文字母是英文字母 rotation 缩写，缩写，en 为为最大环量强度方向上单位最大环量强度方向上单位矢量，矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围面积。上式表明，矢量场旋度大小能包围面积。上式表明，矢量场旋度大小能够认为是包围单位面积闭合曲线上最大环量。够认为是包围单位面积闭合曲线上最大环量。第第5454页页直角坐标系中旋度可用矩阵表示为直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 或用算符或用算符 表示为表示为 应该注意，不论梯度、散度或旋度都是应该注意，不论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示场在，它们表示场在某某点点附近改变特征，场中各点梯度、散度或旋度可能不一样。所以，附近改变特征，场中各点梯度、散度或旋度可能不一样。所以，梯度、梯度、散度及旋度描述是场散度及旋度描述是场点点特征或称为特征或称为微分微分特征特征。函数连续性是可微必要条。函数连续性是可微必要条件。所以在场量发生不连续处，也就不存在前面定义梯度、散度或旋度。件。所以在场量发生不连续处，也就不存在前面定义梯度、散度或旋度。第第5555页页斯托克斯定理斯托克斯定理 同高斯定理类似，从数学角度能够认为同高斯定理类似，从数学角度能够认为斯托克斯斯托克斯定理建立了面积定理建立了面积分和线积分关系。从物理角度能够了解为分和线积分关系。从物理角度能够了解为斯托克斯斯托克斯定理建立了区域定理建立了区域 S 中场和包围区域中场和包围区域 S 闭合曲线闭合曲线 l 上场之间关系。所以，假如已知区域上场之间关系。所以，假如已知区域 S 中场，依据斯托克斯定理即可求出边界中场，依据斯托克斯定理即可求出边界 l 上场，反之亦然。上场，反之亦然。或者写为或者写为第第5656页页 散度处处为散度处处为零零矢量场称为矢量场称为无散场无散场，旋度处处为，旋度处处为零零矢量矢量场称为场称为无旋场无旋场。9.9.无散场和无旋场无散场和无旋场两个主要公式：两个主要公式：左式表明，左式表明，任一矢量场任一矢量场 A 旋度散度一定等于零旋度散度一定等于零。所以，。所以，任一无散场能够表示为另一矢量场旋度，或者说，任何旋任一无散场能够表示为另一矢量场旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。度场一定是无散场。右式表明，右式表明，任一标量场任一标量场 梯度旋度一定等于零梯度旋度一定等于零。所以，。所以，任一无旋场一定能够表示为一个标量场梯度，或者说，任任一无旋场一定能够表示为一个标量场梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场何梯度场一定是无旋场。第第5757页页10.矢量场惟一性定理矢量场惟一性定理 位位于于某某一一区区域域中中矢矢量量场场，当当其其散散度度、旋旋度度以以及及边边界界上上场场量量切切向向分分量量或或法法向向分分量量给给定定后后，则则该该区区域域中中矢矢量量场场被被惟惟一一地地确定。确定。已知散度和旋度代表产生矢量场源，可见惟一性定理已知散度和旋度代表产生矢量场源，可见惟一性定理表明，矢量场被其表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定。共同决定。第第5858页页 若矢量场若矢量场 F(r)在在无限无限区域中处处是区域中处处是单值单值，且其且其导数连续导数连续有界有界，源分布在，源分布在有限有限区域区域 V 中，则当矢量场中，则当矢量场散度散度及及旋度旋度给定给定后，该矢量场后，该矢量场 F(r)能够表示为能够表示为 11.11.亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 式中式中 可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场无旋场与与一个一个无散场无散场之和之和。矢量场散度及旋度特征是研究矢量场矢量场散度及旋度特征是研究矢量场首要首要问题问题。第第5959页页12.12.正交曲面坐标系正交曲面坐标系1.1.直角坐标系直角坐标系直角坐标系是一个下交直线坐标系。直角坐标系是一个下交直线坐标系。直角坐标系直角坐标系第第6060页页直角坐标系中长度元、面积元和体积元直角坐标系中长度元、面积元和体积元微分长度为微分长度为矢量表示式为矢量表示式为第第6161页页梯度、散度、旋度表示式分别为梯度、散度、旋度表示式分别为拉普拉斯算子拉普拉斯算子 及表示式及表示式第第6262页页2.2.圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系由圆柱坐标系由r r、z z三个坐标变量组成三个坐标变量组成,它们改变范围分别是它们改变范围分别是0r0r、0 20 2、-z,-z,在正方向单位矢量分别为在正方向单位矢量分别为 ,如图所表示如图所表示圆柱坐标系圆柱坐标系第第6363页页圆柱坐标系中长度元、面积元和体积元圆柱坐标系中长度元、面积元和体积元从上图能够看出，圆柱坐标系中长度元、面积元、体积元和面积元矢量从上图能够看出，圆柱坐标系中长度元、面积元、体积元和面积元矢量分别为分别为第第6464页页微分长度元为微分长度元为矢量表示式为矢量表示式为第第6565页页第第6666页页3.3.球面坐标系球面坐标系球面坐标系也称为球坐标系，由球面坐标系也称为球坐标系，由r r、三个坐标变量组成，其改变范三个坐标变量组成，其改变范围分别是围分别是0r0r、00、0 2,0 2,在正方向单位矢量分别为在正方向单位矢量分别为 ,如图如图1.251.25所表示所表示球面坐标系球面坐标系第第6767页页球面坐标系中长度元、面积元和体积元球面坐标系中长度元、面积元和体积元从上图能够看出从上图能够看出,球面坐标系长度元、面积元、体积元和面积元球面坐标系长度元、面积元、体积元和面积元矢量分别为矢量分别为第第6868页页微分长度元为微分长度元为矢量表示式为矢量表示式为第第6969页页例例1.13试把矢量场试把矢量场用圆柱坐标系和球面坐标系表示出来。解：在球面坐标系中在圆柱坐标系中，有式(1.120）第第7070页页所以式中第第7171页页