初中数学因式分解6种常用方法.docx

利用平方差公式分解因式
应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。
公式表述为: a2-b2=(a+b)(a-b)。
应用平方差公式满足的条件：
等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算；等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。
1、直接应用
分解因式：x2-4= 。
分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成22，这样，左边就变形为x2-22，这样，就和公式一致了。
解：x-4=x2-22= (x+2)(x-2)。
2、提后用公式
分解因式：3x2-27= 。
分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。
解：3x2-27
=3 (x2-9)
=3 (x2-32)
=3(x+3)(x-3)。
3、变化指数后用公式
248-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少？
分析：因为，48=2×24，所以，248= (22)24= (224)2，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解：因为，48=2×24，
所以，248-1=(224)2-(1)2=(224+1)(224-1)
=(224+1)【(212)2-(1)2】
=(224+1)【(212+1)(212-1)】
=(224+1)(212+1)【(26)2-(1)2】
=(224+1)(212+1)【(26+1)(26-1)】
=(224+1)(212+1)(26+1)【(23)2-(1)2】
=(224+1)(212+1)(26+1)【(23+1)(23-1)】
=(224+1)(212+1)(26+1)×9×7
=(224+1)(212+1)×65×63
因为,整除的两个数在60和70之间,
且60<63<70，60<65<70,
所以，这两个数分别是63、65。
4、乒乓球比赛中的应用
有10位乒乓球选手进行乒乓球单循环比赛（每两人之间均要赛一场）。
如果用x1，y1顺次表示第一号选手胜与负的场数，用x2，y2顺次表示第二号选手胜与负的场数，用x10，y10顺次表示第十号选手胜与负的场数，则这10位选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和是相等的。
即x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102。你能用所学的知识解释里面的道理吗？
分析：因为，是进行的单循环比赛，所以，每一位选手的胜的场数与负的场数之和是相同的，都是9场，从比赛的整体来看，所有队员胜的场数与负的场数也一定是相等的,这两个隐含的条件是问题解决的关键所在。
解：因为，是进行的单循环比赛，
所以，x1+y1= 9，
同理，x2+ y2=9，
……
x10+y10=9，
所以，x1+x2+……+x10=y1+y2+……+y10，
所以，(x1+x2+……+x10)-(y1+y2+……+y10)=0，
所以，(x1+x2+……+x10)-(y1+y2+……+y10)
=(x12-y12)+(x22-y22)+……+(x102-y102)
=(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+……+(x10+y10)(x10-y10)
=9(x1-y1)+9(x2-y2)+……+9(x10-y10)
=9【(x1+x2+……+x10)-(y1+y2+……+y10)】
=0
所以，x1+x2+……+x10=y1+y2+……+y10
利用完全平方公式进行分解因式
应用完全平方，把多项式进行分解因式的方法，就叫做完全平方公式法。
公式表述为：a2+2ab+b2= (a+b) 2。
a2-2ab+b2= (a-b)2。
1、直接应用
（1）分解因式：x2+4x+4= 。
分析：关键是把数字4写成2，
这样，左边就变形为x2+2×x×2+22，
这样，就和公式一致了。
解：x2+4x+4=x2+2×x×2+22= (x+2)2。
（2）下列式子中是完全平方式的是（ ）
A.a2+ab+b2
B.a2+2a+2
C.a2+2b+b2
D.a2+2a+1
分析：完全平方公式的条件特点是：
a.多项式中有三项，且多项式的整体符合是:“+，+”或者“-，+”；
b.必须有平方幂底数的交叉项的积的2倍。
根据上面的两个特点，去分析，只有D是符合要求的。
解：选D。
2、提后用公式
分解因式ax3y+axy3-2ax2y2= 。(2008年聊城市)
分析：在提后用公式时，要遵循四字要领：
提、调、变、套。
具体表述为;
提：提各项的公因式，要提彻底。
调：调整各项的顺序，使之与公式的顺序相同。
变：变化常数项，变化系数，变化指数，使之与公式形式一致。
套：根据题目的特点，套用不同公式，写出最后的答案。
在具体的解题过程中，同学们要仔细体会口诀的指导作用。
解：ax3y+axy3-2ax2y2
=axy(x2+y2-2xy) .….….提：提公因式；
= axy(x2-2xy+y2) ….…调：调整各项的顺序；
=axy(x-y)2….…..套；
点评：四字口诀，在解题时，不一定都要同时用到。
3、变化指数后用公式
分解因式：a4-8a2b2+16b4
分析：由a4= (a2) 2；b4= (b2)2
把原多项式变形成符合公式的形式。
解：a4-8a2b2+16b4
=(a2)2-8a2b2+(4)2(b2)2
= (a2)2-8a2b2+(4b2)2
= (a2-4b2)2。
4、换元用
分解因式：(a+b)2-6(a+b)+9
分析：平方幂的底数是一个多项式，为了方便，我们不妨采用换元的思想，把多项式底数转化成同学们熟悉的单项式底数。
解：设x=a+b，
所以，原多项式变形为：x2-6x+9，
所以，x2-6x+9= x2-6x+32=(x-3)2，
所以，(a+b)2-6(a+b)+9
= (a+b-3)2。
5、综合用
若a、b、c是三角形的三条边长，则代数式，a2-2ab- c2+b2的值：。
A、大于零
B、小于零
C、等于零
D、与零的大小无关
分析：由a2-2ab-c2+b2= (a-b)2-c2= (a-b+c)(a-b-c)，
因为a、b、c是三角形的三条边长，
所以，两边之和一定是大于第三边的，
因此，a+c>b，b+c>a，
所以，a-b+c>0，a-b-c<0，
所以，(a-b+c) (a-b-c）<0，
因此，正确的答案是B。